Meccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Formulario

Sistemi

Centro di massa:

${\overrightarrow{r}}_{CM}=\sum _i\frac{m_i{\overrightarrow{r}}_i}{M}$

${\overrightarrow{v}}_{CM}=\sum _i\frac{m_i{\overrightarrow{v}}_i}{M}$

${\overrightarrow{a}}_{CM}=\sum _i\frac{m_i{\overrightarrow{a}}_i}{M}$

Prima equazione cardinale:

${\overrightarrow{F}}_{CM}^{tot}=\frac{d\overrightarrow{Q}}{dt}$

Problema dei due corpi

Massa ridotta:

$\mu =\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}$

Teorema di Koenig

$K=\frac{1}{2}{M}_{tot}{v}_{CM}^2+\sum _i\frac{1}{2}{m}_i{v}_i^2$

Il secondo fattore è l'energia cinetica del sistema rispetto al centro di massa.

Seconda equazione cardinale

${\overrightarrow{\tau }}^{ext}=\frac{d\overrightarrow{J}}{dt}$

Coppia di forze

$C=bf$

Dove $b$ è la distanza tra le due forze applicate e $f$ il modulo di una delle due (si considerano forze che producono momento concorde e di modulo uguale)

Rispetto a un polo qualsiasi

Dato un polo $\mathrm{\Omega }\ne$ centro di massa:

${\overrightarrow{\tau }}_{\mathrm{\Omega }}^{ext}=\frac{d{\overrightarrow{J}}_{\mathrm{\Omega }}}{dt}+{\overrightarrow{v}}_{\mathrm{\Omega }}\wedge M{\overrightarrow{v}}_{CM}$

Momenti di inerzia

Rispetto al centro di massa

Anello omogeneo o cilindro cavo di massa $M$ e raggio $R$ (valido per tutti i prossimi casi):

$I_c=M{R}^2$

Disco omogeneo o cilindro pieno omogeneo:

$I_c=\frac{M{R}^2}{2}$

Sbarretta omogenea di lunghezza $l$:

$I_c=\frac{M{l}^2}{12}$

Disco di raggio $r_2$ con buco di raggio $r_1$ (dove si considera $r_1+r_2=r$, ovvero il raggio totale del disco se fosse pieno):

$I_c=\frac{M}{2}(r_1^2+r_2^2)$

Sfera omogenea:

$I_c=\frac{2}{5}M{R}^2$

Teorema di Huygens-Steiner

$I_a=I_c+M{d}^2$

Dove $d$ è la distanza tra l'asse $c$ passante per il centro di massa e l'asse a a generico rispetto al quale si calcola il momento d'inerzia.

Corpi rotanti

Abbiamo:

$J=I\omega$

Vettorialmente:

$\overrightarrow{J}=I\overrightarrow{\omega }$

Energia cinetica di un corpo ruotante:

$K=\frac{1}{2}M{v}_{CM}^2+\frac{1}{2}I{\omega }^2$

Pendolo fisico

Equazione del moto:

$\ddot{\theta }+\frac{lMg}{2I}\theta =0$

Dove

$\omega =\sqrt{\frac{lMg}{2I}}$

Caso particolare: sbarretta omogenea ruotante attorno a un estremo:

$\omega =\sqrt{\frac{3}{2}\frac{g}{l}}$

Urti

Urto elastico: si conservano quantità di moto e energia cinetica:

$\{\begin{array}{cc}& m_1{v}_1+m_2{v}_2=\text{ cost}\\ & \frac{1}{2}{m}_1{v}_1^2+\frac{1}{2}{m}_2{v}_2^2=\text{ cost}\end{array}$

Se l'urto è anelastico si conserva solo la quantità di moto, mentre l'energia cinetica viene ridotta di un fattore percentuale.