Meccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Formulario

Sistemi

Centro di massa:

${\vec {r}}_{CM}=\sum _{i}{\frac {m_{i}{\vec {r}}_{i}}{M}}$

${\vec {v}}_{CM}=\sum _{i}{\frac {m_{i}{\vec {v}}_{i}}{M}}$

${\vec {a}}_{CM}=\sum _{i}{\frac {m_{i}{\vec {a}}_{i}}{M}}$

Prima equazione cardinale:

${\vec {F}}_{CM}^{tot}={\frac {d{\vec {Q}}}{dt}}$

Problema dei due corpi

Massa ridotta:

$\mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$

Teorema di Koenig

$K={\frac {1}{2}}M_{tot}v_{CM}^{2}+\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{2}$

Il secondo fattore è l'energia cinetica del sistema rispetto al centro di massa.

Seconda equazione cardinale

${\vec {\tau }}^{ext}={\frac {d{\vec {J}}}{dt}}$

Coppia di forze

$C=bf$

Dove $b$ è la distanza tra le due forze applicate e $f$ il modulo di una delle due (si considerano forze che producono momento concorde e di modulo uguale)

Rispetto a un polo qualsiasi

Dato un polo $\Omega \neq$ centro di massa:

${\vec {\tau }}_{\Omega }^{ext}={\frac {d{\vec {J}}_{\Omega }}{dt}}+{\vec {v}}_{\Omega }\wedge M{\vec {v}}_{CM}$

Momenti di inerzia

Rispetto al centro di massa

Anello omogeneo o cilindro cavo di massa $M$ e raggio $R$ (valido per tutti i prossimi casi):

$I_{c}=MR^{2}$

Disco omogeneo o cilindro pieno omogeneo:

$I_{c}={\frac {MR^{2}}{2}}$

Sbarretta omogenea di lunghezza $l$:

$I_{c}={\frac {Ml^{2}}{12}}$

Disco di raggio $r_{2}$ con buco di raggio $r_{1}$ (dove si considera $r_{1}+r_{2}=r$, ovvero il raggio totale del disco se fosse pieno):

$I_{c}={\frac {M}{2}}(r_{1}^{2}+r_{2}^{2})$

Sfera omogenea:

$I_{c}={\frac {2}{5}}MR^{2}$

Teorema di Huygens-Steiner

$I_{a}=I_{c}+Md^{2}$

Dove $d$ è la distanza tra l'asse $c$ passante per il centro di massa e l'asse a a generico rispetto al quale si calcola il momento d'inerzia.

Corpi rotanti

Abbiamo:

$J=I\omega$

Vettorialmente:

${\vec {J}}=I{\vec {\omega }}$

Energia cinetica di un corpo ruotante:

$K={\frac {1}{2}}Mv_{CM}^{2}+{\frac {1}{2}}I\omega ^{2}$

Pendolo fisico

Equazione del moto:

${\ddot {\theta }}+{\frac {lMg}{2I}}\theta =0$

Dove

$\omega ={\sqrt {\frac {lMg}{2I}}}$

Caso particolare: sbarretta omogenea ruotante attorno a un estremo:

$\omega ={\sqrt {{\frac {3}{2}}{\frac {g}{l}}}}$

Urti

Urto elastico: si conservano quantità di moto e energia cinetica:

${\begin{cases}&m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}={\text{ cost}}\\&{\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}={\text{ cost}}\end{cases}}$

Se l'urto è anelastico si conserva solo la quantità di moto, mentre l'energia cinetica viene ridotta di un fattore percentuale.