Meccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Momento d'inerzia

Abbiamo introdotto nello scorso modulo il momento di inerzia.

Definizione

Si definisce momento d'inerzia di un corpo rigido l'integrale:

$I=\int r^{2}dm$

Dove $r$ è la distanza dall'asse di rotazione dell'elemento infinitesimo di massa $dm$.

Il momento di inerzia varia a seconda della forma del corpo rigido e della sua massa. In questo modulo calcoleremo i momenti di inerzia di solidi noti. Ricordiamo che ci sono tre modi per esprimere $dm$, in base al tipo di densità:

$dm\Rightarrow \{\begin{array}{cc}\rho dV=\rho (x,y,z)dxdydz& \text{volumica}\\ \sigma dS=\sigma (x,y)dxdy& \text{superficiale}\\ \lambda dl=\lambda (x)dx& \text{lineare}\end{array}$

Ricordiamo infine che, per i corpi rigidi formati da più forme, il momento d'inerzia risulta essere additivo; per fare un esempio, il momento di inerzia del pendolo di un orologio a pendolo sarà la somma del momento della sbarretta e del momento del disco.

Momento d'inerzia di un anello

Prendiamo un anello di raggio $R$ e massa $M$, che ruota attorno all'asse ortogonale che passa per il suo centro. Avremo che tutti i punti distano dall'asse $Rh=R$; possiamo scrivere $dm=\lambda dl$, dove $\lambda =\frac{M}{2\pi R}$, ovvero la massa totale diviso la lunghezza totale dell'anello. Il momento di inerzia per un asse passante per il centro, quindi, sarà:

$\begin{array}{cc}{I}_c=& \int h^{2}dm=\int h^2\lambda dl=\int R^2\frac{M}{2\pi R}dl=\frac{MR}{2\pi }\int dl=\\ & \frac{MR}{2\pi }\cdot 2\pi R=M{R}^2\end{array}$

Un'osservazione importante è che questo risultato coincide con il momento di inerzia di un cilindro cavo; in questo caso potremmo scrivere $dm=\sigma dS=\sigma Ldl=\frac{M}{2\pi RL}Ldl=\frac{M}{2\pi R}dl$, che è esattamente uguale al caso dell'anello.

Momento d'inerzia di un disco omogeneo

Prendiamo un disco omogeneo di raggio $R$ e massa $M$ ruotante attorno a un asse ortogonale passante per il suo centro. La densità di massa superficiale sarà $\sigma =\frac{M}{\pi R^2}$. Per calcolare il momento di inerzia del disco, lo dividiamo in tanti piccoli anellini concentrici, i cui raggi $r$ vanno da 0 a $R$. Allora avremo che $h=r$, $dm=\sigma dS$ e $dS=2\pi rdr$. Calcoliamo il momento:

$\begin{array}{cc}{I}_c=& {\int }_0^R{h}^{2}dm={\int }_0^R{h}^2\sigma dS=({\int }_0^R{r}^2(2\pi r)dr)\frac{M}{\pi R^2}=\\ & \frac{M}{\pi R^2}{\int }_0^{R}2\pi r^{3}dr=2\frac{M}{R^2}{\int }_0^R{r}^{3}dr=\frac{2M}{R^2}\frac{R^4}{4}=\frac{M{R}^2}{2}\end{array}$

Abbiamo fin da subito portato fuori la densità $\sigma$ poiché non influiva nel calcolo dell'integrale. Notiamo che lo stesso risultato lo si ottiene per un cilindro omogeneo pieno. In questo caso potremmo scrivere $dm=\rho dV=\rho L2\pi rdr$, dove $\rho =\frac{M}{\pi R^{2}L}$. Quindi l'infinitesimo di massa $dm=\frac{M}{\pi R^{2}L}L2\pi rdr=\frac{2M}{R}rdr$, esattamente come il caso appena analizzato.

Momento d'inerzia di una sbarretta

Prendiamo una sbarretta omogenea, di cui larghezza e spessore sono trascurabili (ovvero risulta notevole solo la lunghezza) che ruota attorno a un asse passante per il suo centro. In questo caso $dm=\lambda dl$, e $dl=dx$ semplicemente; la densità $\lambda =\frac{M}{L}$. La distanza dall'asse $h=|x|$, per evitare problemi di segno. Avremo quindi:

$I_c=\int h^{2}dm=\int h^2\lambda dl=\frac{M}{L}{\int }_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}{x}^{2}dx=\frac{M}{L}\frac{x^3}{3}{|}_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}=\frac{M{L}^2}{12}$

Momento d'inerzia di un disco bucato

Prendiamo un disco omogeneo, come il caso analizzato prima, solo che questo presenta un buco al suo centro. Chiameremo $r_1$ il raggio del buco, mentre $r_2$ sarà la distanza tra la circonferenza esterna del disco e quella del buco. Notiamo che $r_1+r_2=r$, ovvero la loro somma dà il raggio del disco.

In questo caso, avremo $\sigma =\frac{M}{\pi (r_2^2-r_1^2)}$, poi $dS=2\pi rdr$ e la distanza dall'asse, come prima, $h=r$. Il metodo utilizzato è lo stesso precedente, ovvero dividere in anellini il disco bucato. Il momento di inerzia sarà:

$\begin{array}{cc}{I}_c=& \int h^{2}dm=\int h^2\sigma dS=\sigma {\int }_{r_1}^{r_2}{r}^{2}2\pi rdr=2\pi \sigma {\int }_{r_1}^{r_2}{r}^{3}dr=\\ & 2\pi \cdot \frac{M}{\pi (r_2^2-r_1^2)}{\int }_{r_1}^{r_2}{r}^{3}dr=\frac{2M}{(r_2^2-r_1^2)}\cdot \frac{r^4}{4}{|}_{r_1}^{r_2}=\frac{M}{2}(r_1^2+r_2^2)\end{array}$

Momento d'inerzia di una sfera

In questo caso, prendiamo una sfera omogenea ruotante attorno a un qualsiasi asse passante per il suo centro. La sua massa $M$ e raggio $R$. L'infinitesimo $dm=\rho dV$, dove $\rho =\frac{3}{4}\frac{M}{\pi R^3}$.

Per calcolare il momento d'inerzia della sfera, la dividiamo in tanti dischi infinitesimi a posizione $x$. Il loro raggio sarà: $\overline{R}=R^2-x^2$ e spessore $dx$.

A seguire, ogni dischetto viene diviso in tanti piccolini anellini, allo stesso modo del calcolo del momento di inerzia di un disco. Passiamo alla dimostrazione.

$\begin{array}{cc}{I}_c=& \rho \int h^{2}dV=\rho {\int }_{-R}^{R}dx{\int }_0^{\left(\sqrt{R^2-x^2}\right)}{r}^2(2\pi r)dr=\\ =& \rho {\int }_{-R}^{R}dx2\pi \frac{(R^2-x^2{)}^2}{4}=\frac{\pi \rho }{2}{\int }_{-R}^R(R^4-2x^2{R}^2+x^4)dx=\\ =& \frac{\pi \rho }{2}[{\int }_{-R}^R{R}^{4}dx-{\int }_{-R}^{R}2x^2{R}^{2}dx+{\int }_{-R}^R{x}^{4}dx]=\\ =& \frac{\pi \rho }{2}[2R^5-\frac{4}{3}{R}^5+\frac{2}{3}{R}^5]=\frac{\pi }{2}\frac{3}{4}\frac{M}{\pi R^3}\left(\frac{16}{15}\right)R^5=\\ =& \frac{2}{5}M{R}^2\end{array}$

Teorema di Huygens-Steiner

Concludiamo il modulo con un teorema di importanza fondamentale. I momenti di inerzia qui sopra calcolati sono rispetto al centro di massa, ovvero i corpi ruotano attorno a un asse che passa nel loro baricentro. Per definizione di momento d'inerzia, però, cambiando l'asse di rotazione, cambia anche il valore di $I$. Per questo motivo, poiché spesso si ha a che fare con corpi che ruotano attorno a punti diversi dal centro di massa, è opportuno dimostrare il teorema di Huygens-Steiner, che afferma:

Il momento d'inerzia di un corpo rigido ruotante attorno a un asse qualsiasi è pari a:

$I_a=I_c+M{d}^2$

Dove $I_c$ è il momento d'inerzia del corpo rispetto al centro di massa e $d$ è invece la distanza tra gli assi.

Dimostrazione

Prendiamo, per semplicità, un sistema discreto; di questo analizzo un generico punto $P_i$. Disegno il piano passante per $P_i$ che sia perpendicolare ai due assi. I punti di intersezione tra piano e assi sono $A_i$ e $C_i$, dove ricordiamo che l'asse $a$ è l'asse generico, mentre quello passante per il centro è $c$. Avremo a questo punto:

$\begin{array}{cc}& h_i=\overrightarrow{C_i{P}_i}\\ & d=\overrightarrow{C_i{A}_i}\\ & h_i^{\text{'}}=\overrightarrow{A_i{P}_i}\end{array}$

La relazione che lega le tre distanze qui sopra è: ${\overrightarrow{h_i}}^{\text{'}}=\overrightarrow{h_i}+\overrightarrow{d}$. Inoltre, ${\overrightarrow{h_i}}^{\text{'}}$ è la distanza del punto $P_i$ dall'asse $a$, ovvero quella che ci serve per calcolare il momento d'inerzia:

$\begin{array}{cc}{I}_a=& \sum _i{m}_i({h_i}^{\prime }{)}^2=\sum _i{m}_i<{\overrightarrow{h_i}}^{\prime }\cdot {\overrightarrow{h_i}}^{\prime }>=\sum _i{m}_i(\overrightarrow{h_i}+\overrightarrow{d})(\overrightarrow{h_i}+\overrightarrow{d})=\\ =& \sum _i{m}_i(h_i{)}^2+2d\sum _i{m}_i{h}_i+d^2\sum _i{m}_i=\\ I_a=& I_c+M{d}^2\end{array}$

Nell'ultimo passaggio, l'espressione $\sum _i{m}_i{h}_i$ viene nulla, poiché essa rappresenta la distanza del centro di massa dall'asse $c$, ma il centro di massa appartiene all'asse $c$. È così dimostrato il teorema.

Tabella dei momenti d'inerzia

Solidi	Momenti di inerzia rispetto al centro di massa	Momenti di inerzia rispetto a un estremo
Anello o cilindro cavo	$I_c=M{R}^2$	$I_a=2M{R}^2$
Disco o cilindro pieno	$I_c=\frac{M{R}^2}{2}$	$I_a=\frac{3}{2}M{R}^2$
Sbarretta	$I_c=\frac{M{L}^2}{12}$	$I_a=\frac{M{L}^2}{3}$
Disco o cilindro bucato	$I_c=\frac{M}{2}(r_2^2+r_1^2)$	$I_a=\frac{M}{2}(3r_1^2+r_1{r}_2+3r_2^2)$
Sfera	$I_c=\frac{2}{5}M{R}^2$	$I_a=\frac{7}{5}M{R}^2$