Meccanica del punto materiale/Energia del pendolo

Riprendiamo il discorso del pendolo semplice, stavolta studiandolo sfruttando le conoscenze sul lavoro e l'energia cinetica. Ricordiamo, prima di iniziare lo studio, le formule del lavoro che conosciamo e lo schema del pendolo:

${\begin{aligned}&L=\int _{A}^{B}{\vec {f}}\cdot d{\vec {s}}\\&K={\frac {1}{2}}mv^{2}\\&L=\Delta K={\frac {1}{2}}m(v_{B}^{2}-v_{A}^{2})\end{aligned}}$

Prendiamo come esempio di riferimento l'immagine qui sopra. Consideriamo il punto iniziale del moto il punto in cui è disegnato il punto materiale, mentre l'estremo finale del moto sarà il centro di oscillazione. Dallo studio sul moto del pendolo abbiamo osservato che il punto ha velocità nulla agli estremi di oscillazione e velocità massima al centro; tuttavia, in quel caso abbiamo dovuto compiere un'approssimazione dell'angolo, ottenendo quindi un valore della velocità approssimato anch'esso. Sfruttiamo il lavoro e l'energia per calcolare con precisione la velocità massima del sistema. Abbiamo quindi:

${\begin{aligned}&v_{i}=0\\&v_{f}=v_{\text{max}}\end{aligned}}$

Poiché sappiamo che $L_{\text{tot}}=\Delta K$, avendo le velocità iniziali e finali possiamo calcolarci il lavoro della forza totale agente sul punto:

${\begin{aligned}&L_{\text{tot}}=\Delta K={\frac {1}{2}}mv_{f}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{i}^{2}\\\Leftrightarrow \,&{\frac {1}{2}}mv_{f}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{i}^{2}={\frac {1}{2}}mv_{\text{max}}^{2}\end{aligned}}$

Quindi abbiamo che $L_{\text{tot}}={\frac {1}{2}}mv_{\text{max}}^{2}$; tuttavia possiamo calcolare il lavoro partendo anche dalla definizione stessa:

${\begin{aligned}&L_{\text{tot}}=\int _{i}^{f}{\vec {f_{\text{tot}}}}\cdot d{\vec {s}}=\int _{i}^{f}({\vec {P}}+{\vec {T}})\cdot d{\vec {s}}=\\\Leftrightarrow \,&\int _{i}^{f}{\vec {P}}\cdot d{\vec {s}}\,+\int _{i}^{f}{\vec {T}}\cdot d{\vec {s}}=\int _{i}^{f}{\vec {P}}\cdot d{\vec {s}}\end{aligned}}$

Questo perché sappiamo che ${\vec {T}}$ è perpendicolare allo spostamento lungo tutto il moto, per definizione di ${\vec {T}}$, quindi il prodotto scalare è nullo. Quindi:

$L_{\text{tot}}=\int _{i}^{f}{\vec {P}}\cdot d{\vec {s}}=\int _{i}^{f}mg\cos \phi ds=\int _{i}^{f}mg\sin \theta ds$

Questo perché il coseno di $\phi$, cioè l'angolo formato tra il peso e lo spostamento, è equivalente al seno di $\theta$. Prima di procedere con il calcolo finale, ricordiamo che possiamo scrivere $ds$ come $Ld\theta$, questo per la definizione di angolo. Infine:

${\begin{aligned}&L_{\text{tot}}=\int _{i}^{f}mg(\sin \theta )Ld\theta =mgL\int _{i}^{f}\sin \theta \,d\theta \\\Leftrightarrow &mgL\int _{0}^{\theta _{0}}\sin \theta \,d\theta =-mgL\cos \theta |_{0}^{\theta _{0}}\\\Leftrightarrow &-Lmg(\cos \theta _{0}-\cos 0)=Lmg(1-\cos \theta _{0})\end{aligned}}$

Siamo giunti a calcolare il lavoro compiuto dalle forze del sistema in due modi diversi. Un'analisi immediata: i due risultati sono entrambi positivi perché la forza peso spinge lungo tutto il moto, con verso concorde allo spostamento stesso. Uguagliamo i due risultati ottenuti:

${\begin{cases}L_{\text{tot}}={\frac {1}{2}}mv_{\text{max}}^{2}\\L_{\text{tot}}=Lmg(1-\cos \theta _{0})\end{cases}}\quad \Rightarrow {\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}mv_{\text{max}}^{2}=Lmg(1-\cos \theta _{0})\\&v_{\text{max}}^{2}=2Lg(1-\cos \theta _{0})\end{aligned}}$

Dallo studio del moto che abbiamo compiuto in qualche modulo fa, trovammo che $v_{\text{max}}=L\omega \theta _{\text{max}}$. Sostituendo a $\omega$ il suo valore, e ricordando che, in questo studio, $\theta _{0}=\theta _{\text{max}}$ perché l'angolo di partenza del moto coincide all'angolo massimo, abbiamo ricavato che:

$v_{\text{max}}^{2}=\theta _{0}^{2}Lg$

Questo perché approssimammo $\sin \theta \approx \theta$. Tuttavia, partendo dal giusto risultato, ovvero quello ottenuto con lo studio delle forze, possiamo anche questa volta approssimare $\cos \theta _{0}$ con il suo sviluppo in serie di Taylor:

$\cos \theta _{0}=1-{\frac {\theta _{0}^{2}}{2}}$

Sostituendo nella formula:

$v_{\text{max}}^{2}=2Lg(1-\cos \theta _{0})\approx 2Lg(1-1+{\frac {\theta _{0}^{2}}{2}})=\theta _{0}^{2}Lg$

Che è concorde con il risultato ottenuto nel precedente studio. L'idea di compiere approssimazioni per risolvere problemi che non hanno una soluzione analitica è, se l'approssimazione viene fatta con criterio, un ottimo modo per compiere gli studi necessari. Questo era solo un esempio di come sfruttare l'energia e il lavoro per calcolare moti particolarmente complicati.