Meccanica del punto materiale/Forza elastica

Se comprimiamo una molla, un pallone, allunghiamo un elastico, avvertiamo una forza che tende ad annullare la deformazione del corpo e a riportarlo nello stato iniziale. Questa forza, esercitata dal corpo stesso, è detta forza elastica.

Per studiare gli effetti di questa forza consideriamo una molla, di lunghezza $l_{0}$. Fissiamo un estremo della molla a un gancio e applichiamo una forza all'estremo libero, allungando la molla, che avrà ora una lunghezza $l$. Poiché la molla è ferma, ci deve essere una forza uguale e opposta alla forza esterna applicata. Questa forza, esercitata dalla molla stessa, è proporzionale alla deformazione $\Delta l=x$ subita. Infatti, allungando la molla ancora di più, dovremo applicare una forza maggiore per tenerla ferma. Se la forza agisce lungo un asse orizzontale $x$, con l'origine in corrispondenza dell'estremità libera della molla a riposo e con verso positivo nel verso di allungamento, si ha:

${\vec {F}}=-k{\vec {x}}$

Questa equazione è nota come legge di Hooke. La costante di proporzionalità $k$ è detta costante elastica della molla, ed è una misura della durezza di una molla. Più grande è $k$, più è difficile deformare la molla.

Il segno meno della forza è dovuto al fatto che è il suo verso è sempre opposto a quello dello spostamento dell'estremo libero. Infatti

• se allunghiamo la molla, lo spostamento è positivo, ma la forza elastica è diretta nel verso opposto al verso scelto come positivo, quindi avrà un segno meno;
• se comprimiamo la molla, la forza elastica sarà positiva, ma lo spostamento è negativo, quindi anche in questo caso i due vettori avranno segno opposto.

Tali considerazioni sono indipendenti dal verso positivo che scegliamo per il sistema di riferimento. La forza elastica è dunque una forza di richiamo, perché tende a riportare la molla alla condizione iniziale.

Supponiamo ora di attaccare un punto materiale di massa $m$ all'estremità di libera della molla. Se la molla viene deformata e poi rilasciata, oscillerà avanti e indietro. Trascurando gli attriti il moto del punto sarà armonico semplice. L'accelerazione è data da:

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-{\frac {k}{m}}x$

La soluzione di questa equazione differenziale ci fornisce la legge oraria del moto:

$x(t)=Asin(\omega t+\varphi )$

dove $A$ e $\varphi$ sono determinate dalle condizioni iniziali $x(0)$ e $v(0)$. Per esempio, se $\varphi =\pm \pi /2$, cioè prendendo come posizione iniziale per il punto la posizione che occupa durante la massima deformazione, l'equazione del moto diventa $x(t)=\pm Acos\omega t$. E se la massa viene rilasciata con velocità nulla l'ampiezza delle oscillazioni è uguale alla deformazione.

La pulsazione e il periodo del moto sono dati rispettivamente da:

$\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}},\qquad T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}$

Infine facciamo due osservazioni.

La legge di Hooke ha un limite di validità. Se la molla viene allungata troppo si osserva sperimentalmente che essa perde la sua elasticità, acquisendo una deformazione permanente. Da questo punto in poi il suo comportamento non potrà più essere descritto da questa equazione.

È poi importante notare che se la molla ha massa trascurabile, eserciterà ai sui estremi forze uguali in modulo e opposte in direzione. Per esempio, se attacchiamo una massa all'estremità di una molla, mentre all'estremo libero la tiriamo verso l'alto, la molla eserciterà due forze: una applicata alla nostra mano, diretta verso il basso, e una applicata alla massa, diretta verso l'alto. Questo perché la massa della molla è zero, quindi la risultante delle forze agenti sulla molla (forza della massa e forza della mano, applicate agli estremi della molla) deve essere zero, altrimenti la molla avrebbe un'accelerazione infinita.