Meccanica del punto materiale/Moto armonico
Proiettando il moto circolare uniforme sugli assi cartesiani, è evidente come questo risulti essere la composizione di due moti armonici semplici. La legge oraria di questo particolare moto vario è:[1]
dove:
- = ampiezza
- = pulsazione
- = fase del moto
- = fase iniziale
Essendo il moto descritto dalla funzione coseno o seno, ha delle caratteristiche spaziali ben precise:
- il coseno è una funzione limitata superiormente e inferiormente, dunque assume dei valori estremi (). Un punto che si muove di moto armonico quindi oscilla tra due posizioni limite corrispondenti a ;
- la funzione coseno inoltre è periodica, pertanto anche il moto armonico è un moto periodico.
Per calcolare il periodo di un moto armonico, ovvero il tempo dopo cui il moto si ripete, basta ricordare che il periodo di è e sfruttare la definizione.
Si considerino due istanti, e , con periodo del moto. Per la definizione di moto periodico, la posizione del punto in è uguale alla posizione , per cui . Essendo il periodo di , deve valere , quindi
Ecco quindi il periodo
L'inverso del periodo si definisce frequenza
La frequenza si misura come ovvero
Periodo e frequenza sono indipendenti dall'ampiezza e dalla fase iniziale, dipendono invece dalla pulsazione . In particolare possiamo fare le seguenti considerazioni: più la pulsazione è grande, più il moto è lento ( grande e piccolo), più la pulsazione è piccola, più il moto è veloce ( piccolo e grande).
Velocità e accelerazione si ricavano per derivazione dalla legge oraria:
Da qui si ricava che l'accelerazione è proporzionale allo spostamento con segno negativo:
(equazione del moto armonico)
Questa, definita equazione del moto armonico, è la condizione necessaria e sufficiente affinché un moto sia armonico. Soffermiamoci sul significato di questa affermazione. Se nello studio di un moto si trova un'accelerazione proporzionale allo spostamento con segno negativo e costante di proporzionalità , si può immediatamente dedurre che la legge oraria del moto sarà quella di un moto armonico , con pulsazione . Un ottimo esempio è costituito dal moto di un corpo sottoposto a una forza elastica. Viceversa se si conosce l'equazione di un moto ed essa rappresenta un moto armonico si può dire che l'accelerazione a cui il corpo è sottoposto è della forma .
Sovrapponendo i grafici di posizione, velocità e accelerazione, è possibile notare come questi differiscano tra loro solo per una differenza di fase:
- posizione e velocità sono in quadratura di fase (cioè sfasate di quindi di );
- posizione e accelerazione in opposizione di fase (cioè sfasate di e quindi di ).
e sono costanti, e una volta note permettono di calcolare le condizioni iniziali ():
Viceversa tali costanti possono essere ricavate conoscendo le condizioni iniziali e .
Note
[modifica | modifica sorgente]- ↑ È analogo esprimere il moto tramite un o . Infatti usando gli archi associati e basta porre per avere perfetta equivalenza. Le due funzioni differiscono solo per la fase iniziale.