Meccanica del punto materiale/Teorema delle accelerazioni relative

Nel modulo precedente abbiamo visto come varia la descrizione della velocità di un punto osservato in diversi sistemi di riferimento. Il passo successivo è naturalmente osservare cosa accade per l'accelerazione. L'accelerazione del punto $P$ rispetto al sistema fisso è

${\vec {a}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}{\hat {i}}+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\hat {j}}+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}{\hat {k}}$

L'accelerazione di $P$ misurata dal sistema mobile è

${\vec {a}}'={\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}{\hat {i'}}+{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}{\hat {j'}}+{\frac {d^{2}z'}{dt^{2}}}{\hat {k'}}$

Infine, l'accelerazione dell'origine $O'$ rispetto a $O$ è

${\vec {a}}_{O'}={\frac {d{\vec {v}}_{O'}}{dt}}$

Andiamo ora a derivare rispetto al tempo il teorema delle velocità relative

${\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {d{\vec {v}}_{O'}}{dt}}+{\frac {d{\vec {v}}'}{dt}}+{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}\times {\vec {r}}'+{\vec {\omega }}\times {\frac {d{\vec {r}}'}{dt}}$

Calcoliamo $d{\vec {v}}'/dt$:

${\frac {d{\vec {v}}'}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dx'}{dt}}{\hat {i'}}+{\frac {dy'}{dt}}{\hat {j'}}+{\frac {dz'}{dt}}{\hat {k'}}\right)={\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}{\hat {i'}}+{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}{\hat {j'}}+{\frac {d^{2}z'}{dt^{2}}}{\hat {k'}}+$

$+{\frac {dx'}{dt}}{\frac {d{\hat {i'}}}{dt}}+{\frac {dy'}{dt}}{\frac {d{\hat {j'}}}{dt}}+{\frac {dz'}{dt}}{\frac {d{\hat {k'}}}{dt}}$

Ricordando ora che la derivata del versore si può scrivere come prodotto vettoriale tra $\omega$ e il versore possiamo scrivere

${\frac {d{\vec {v}}'}{dt}}={\vec {a}}'+{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'$

Dal modulo precedente sappiamo poi che

${\frac {d{\vec {r}}'}{dt}}={\vec {v}}-{\vec {v}}_{O'}={\vec {v}}'+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'<math>quindi<math>{\vec {\omega }}\times {\frac {d{\vec {r}}'}{dt}}={\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'+{\vec {\omega }}\times \left({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'\right)$

Pertanto l'equazione che lega le accelerazioni misurate in due sistemi di riferimento in moto relativo è:

${\vec {a}}={\vec {a}}'+{\vec {a}}_{O'}+{\vec {\omega }}\times \left({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'\right)+{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}\times {\vec {r}}'+2{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'$

che esprime il teorema delle accelerazioni relative.

Quindi l'accelerazione che misura un osservatore del sistema mobile è

${\vec {a}}'={\vec {a}}-{\vec {a}}_{O'}-{\vec {\omega }}\times \left({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'\right)-{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}\times {\vec {r}}'-2{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'$

Il termine

${\vec {a}}_{t}={\vec {a}}_{O'}-{\vec {\omega }}\times \left({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'\right)-{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}\times {\vec {r}}'$

si chiama accelerazione di trascinamento, mentre l'ultimo termine

${\vec {a}}_{c}=-2{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'$

si chiama accelerazione di Coriolis, di cui parleremo ampiamente nel modulo sulle forze apparenti.