Meccanica del punto materiale/Pendolo semplice

In questo modulo vediamo come possiamo applicare la seconda legge di Newton per studiare il moto di un pendolo semplice.

Il pendolo semplice è un sistema fisico costituito da una massa puntiforme attaccata all'estremità di un filo inestensibile. Se spostiamo il filo dalla verticale la massa sarà soggetta a un moto oscillatorio, che, trascurando ogni attrito, continuerà fino a una nuova interazione col sistema.

Il moto di un pendolo è un moto circolare il cui raggio $R$ è uguale alla lunghezza $L$ del filo. Le forze agenti sulla massa sono il suo peso e la tensione del filo. Per determinare la legge oraria del moto, consideriamo innanzitutto un sistema di riferimento con due assi in direzione tangenziale (tangente alla traiettoria) e centripeta (diretta lungo il filo). Chiamiamo $\theta$ l'angolo formato dal filo con la verticale. Conveniamo che per spostamenti a destra della verticale gli angoli saranno positivi, mentre per spostamenti a sinistra della verticale saranno negativi.

Scomponendo le forze abbiamo:

${\begin{cases}T-mgcos\theta =ma_{c}\\-mg\sin \theta =ma_{t}\end{cases}}$

Il segno meno è dovuto al fatto che la direzione della componente della forza peso lungo la traiettoria è opposta alla direzione dello spostamento del punto. Se il punto si trova a destra della verticale, la forza è negativa perché opposta al verso definito positivo. Se il punto si trova a sinistra della verticale la forza è positiva, ma gli angoli negativi, quindi anche il loro seno sarà negativo. È evidente quindi l'analogia con la forza elastica.

Ricordando che l'accelerazione angolare è data da:

$\alpha ={\frac {a_{t}}{R}}$

possiamo ricavare l'accelerazione del punto:

${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-{\frac {g}{L}}\sin \theta$

Per angoli qualunque la soluzione di questa equazione differenziale è piuttosto complicata. Consideriamo dunque piccoli valori di $\theta$. Sviluppando in serie:

$\sin \theta =\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+...$

Quindi per angoli piccoli, in genere minori di 13°, possiamo approssimare $\sin \theta$ a $\theta$. L'equazione differenziale del moto diventa:

${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{L}}\theta =0$

che coincide con quella del moto armonico semplice. La legge oraria del moto è allora:

$\theta (t)=\theta _{0}\sin(\omega t+\varphi )$

Poiché la funzione seno oscilla tra valori compresi nell'intervallo $[-1,\,+1]$, l'angolo assumerà valori compresi tra $[-\theta _{0},\,+\theta _{0}]$. Quindi $\theta _{0}$ corrisponde al massimo angolo di oscillazione, ovvero $\theta _{0}=\theta _{\text{max}}$.

La pulsazione e il periodo del moto (cioè il tempo impiegato a compiere un'oscillazione completa) sono dati rispettivamente da

$\omega ={\sqrt {\frac {g}{L}}},\qquad T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}$

Un'importante considerazione da fare è che il periodo non dipende dalla massa, né dall'angolo iniziale del punto materiale (isocronismo delle piccole oscillazioni).

Ricordando ora la definizione di angolo in radianti, ovvero: $\theta ={\frac {s}{L}}$, dove $s$ rappresenta lo spostamento lungo la traiettoria, possiamo ricavare le leggi orarie dello spostamento e della velocità tangenziale (si noti che ${\dot {\theta }}$ rappresenta la velocità angolare):

$s(t)=L\theta _{0}\sin(\omega t+\varphi ),\qquad v(t)=L{\dot {\theta }}=L\omega \theta _{0}\sin(\omega t+\varphi )$

Concludiamo con un'osservazione di carattere sperimentale. Finora abbiamo trattato la massa attaccata al filo alla stregua di un punto materiale, privo di dimensioni. Nella realtà, però, se volessimo fare esperimenti con un pendolo dovremmo ricorrere a piccoli oggetti sferici, i quali hanno un diametro, seppur piccolo. Di conseguenza come raggio della circonferenza dovremo considerare la lunghezza del filo più il raggio della pallina. Il non accorgersi di questo particolare comporta un errore sistematico nelle misure.

Pendolo a cono

Un pendolo a cono è un pendolo semplice che, invece di oscillare attorno alla verticale, ruota attorno a essa, restando fermo su una quota e mantenendo l'angolo $\theta$ con la verticale costante. Le caratteristiche di questo tipo di moto sono:

• l'angolo $\theta$ con la verticale aumenta con l'aumentare della velocità;
• esiste una traiettoria stabile circolare a una certa quota;
• esiste una relazione tra $\theta$ e la velocità di rotazione $\omega$.

Per un punto materiale, vale:

$m{\vec {a}}={\vec {f}}^{tot}={\vec {T}}+m{\vec {g}}$

Inoltre, poiché mantiene la sua quota stabile, avremo che la componente $a_{z}=0$; quindi sull'asse verticale è vera la relazione:

$T\cos \theta -mg=0$

Il punto materiale compie una traiettoria circolare, ovvero possiede un'accelerazione centripeta. La forza centripeta che fornisce questa accelerazione è la componente orizzontale della tensione (infatti la forza peso non ha componenti orizzontali):

$f_{c}=ma_{c}=T\sin \theta \,\Rightarrow \,m\omega ^{2}r=T\sin \theta$

Ricordiamo che il raggio della circonferenza è dato da $r=l\sin \theta$, dove $l$ è la lunghezza del filo.

Ricavando la tensione dalla prima espressione, ovvero $T={\frac {mg}{\cos \theta }}$, la sostituiamo in questa, ricavando una relazione tra $\theta$ e $\omega$:

$m\omega ^{2}r={\frac {mg}{\cos \theta }}\sin \theta \,\Rightarrow \,\omega ^{2}={\frac {g}{l\cos \theta }}$

Passiamo ora a studiare i momenti del problema. Consideriamo due poli: il polo $O$ è l'estremo opposto al punto materiale del filo, quello fisso, mentre $O'$ è il centro della circonferenza tracciata dal punto, che si trova sulla stessa verticale di $O$. Calcoliamo prima il momento angolare e delle forze rispetto a $O'$:

${\begin{aligned}&{\vec {J}}_{O'}={\vec {r}}\wedge m{\vec {v}}\\&|{\vec {J}}_{O'}|=rmv{\text{ diretto lungo }}z\\&\Rightarrow \,{\vec {\tau }}={\frac {d{\vec {J}}}{dt}}=0\end{aligned}}$

Poiché il momento angolare è costante, il momento delle forze totali rispetto a $O'$ è nullo, quindi:

${\vec {\tau }}=({\vec {r}}_{1}\wedge {\vec {T}}+{\vec {r}}_{2}\wedge m{\vec {g}})={\vec {r}}\wedge ({\vec {t}}+m{\vec {g}})={\vec {r}}\wedge {\vec {F}}_{c}=0$

Calcoliamo i momenti rispetto al punto $O$:

${\vec {J}}={\vec {r}}\wedge m{\vec {v}}\,\Rightarrow |{\vec {J}}|=lmv$

A tal proposito, ricordiamo che $v$ è sempre perpendicolare al filo. Il momento delle forze esterne sarà uguale a:

${\vec {\tau }}={\vec {r}}\wedge ({\vec {T}}\sin \theta )\,\Rightarrow \,|{\vec {\tau }}|=T\sin \theta \,l\cos \theta$

La direzione del momento angolare ${\vec {J}}$ quindi varia e non si mantiene costante durante il moto.