Meccanica del punto materiale/Forza centripeta

Abbiamo visto che il moto di un punto materiale che percorre una traiettoria circolare è accelerato, in quanto la direzione del vettore velocità cambia continuamente. Per la seconda legge di Newton, deve esistere una forza che causa tale accelerazione. Si tratta della forza centripeta, che vale in modulo:

$F=m{\frac {v^{2}}{R}}$

dove $v$ è la velocità tangenziale di un punto di massa $m$ che percorre una circonferenza di raggio $R$. Come visto nel relativo modulo, $a=v^{2}/R$ è l'accelerazione centripeta del corpo.

La forza centripeta quindi impedisce a un corpo di muoversi in linea retta, piegando la sua traiettoria. Ovviamente la direzione della forza è la stessa dell'accelerazione, è cioè diretta verso il centro della circonferenza su cui si muove il corpo. A questo punto bisogna fare attenzione: il fatto che la forza centripeta sia diretta verso il centro della circonferenza non significa che il corpo accelera verso il centro. Se non ci fosse questa forza il corpo partirebbe per la tangente in linea retta. La forza centripeta, ripetiamo, serve solo a curvare la traiettoria del corpo. Se è presente anche un'accelerazione tangenziale l'accelerazione risultante non sarà diretta verso il centro, in quanto sarà somma vettoriale di due accelerazioni fra di loro ortogonali. Inoltre non è necessario che la traiettoria sia perfettamente circolare, basta che sia curva. In questo caso possiamo considerare la circonferenza tangente alla traiettoria in ogni punto.

Notare come la forza centripeta non è una forza a sé stante. Forze centripete posso essere infatti la forza d'attrito, la forza gravitazionale, la tensione di un filo, o qualsiasi altra forza. Il nome ci dice solo che la risultante di certe forze ha direzione radiale. Vediamo alcuni esempi.

Esempio 1. Supponiamo di essere sul sedile posteriore di una macchina che a un certo punto affronta una curva. L'unica forza agente sulla macchina diretta verso il centro è la forza di attrito tra strada e pneumatici. Poiché la macchina non si muove in direzione radiale la forza di attrito è di tipo statico, e questa è la forza centripeta agente sulla macchina. Ma se ci muoviamo di moto circolare solidali con la macchina ci deve essere una forza centripeta anche su di noi. Se l'attrito fornito dal sedile è basso, durante la curva slitteremo fino ad andare addosso alla portiera esterna alla curva. La forza normale della portiera fornisce dunque la forza centripeta necessaria per farci seguire il moto circolare della macchina.

Esempio 2. Consideriamo una stazione orbitante attorno alla Terra. In questo caso la forza centripeta agente sugli astronauti e sulla stazione è data dalla forza di gravità della Terra, diretta verso il centro della stessa. Gli astronauti fluttuano perché sono in caduta libera. Sulla stazione e sul suo contenuto agisce la forza peso e non c'è accelerazione relativa fra astronauti e stazione: non è possibile per gli astronauti premere contro il suolo della stazione, in quanto essa sta cadendo con loro. Difatti sulla Terra quello che ci da il senso di "peso" è in realtà la reazione vincolare del suolo, che ci impedisce di sprofondare, trasmessa attraverso le nostre ossa al resto del corpo. Se saltiamo quindi da una certa altezza (non troppo alta), durante i brevi secondi di caduta l'unica forza agente su di noi è la forza di gravità (siamo cioè in caduta libera, proprio come gli astronauti). Se mentre cadiamo mettiamo sotto i nostri piedi una bilancia, questa non segnerà nessun peso. Ovviamente la stazione orbitante non precipita sulla Terra, in quanto quando è stata lanciata le è stata conferita una certa velocità tangenziale. La forza di gravità quindi si limita a piegare la sua traiettoria impedendo che la stazione se ne parta per la tangente nelle profondità dello spazio.

Esempio 3. Prendiamo un secchio pieno d'acqua e facciamolo girare in un piano verticale. Se nel punto più alto della traiettoria la velocità del secchio è abbastanza alta, l'acqua non uscirà. Infatti, con una giusta velocità, il secchio esercita una forza normale sull'acqua, che, combinata con il peso della stessa, fornisce la giusta forza centripeta perché il moto sia circolare. Quindi, nonostante l'intuito ci porti erroneamente a credere che l'acqua debba per forza cadere (in fondo le forze sono dirette verso il basso, quindi l'acqua dovrebbe accelerare verso il basso), questo non succede perché la risultante di peso e normale è una forza centripeta, che serve solo a curvare la traiettoria e non fa accelerare i corpi vero l'interno. Il caso limite è quando la forza normale è zero. In questo caso è solo il peso ad avere il ruolo di forza centripeta. Se la velocità è bassa, la forza normale è negativa. Significa che l'acqua perde contatto con il secchio e ci cade addosso! Sarebbe quindi necessaria avere un'altra forza affinché l'acqua si muova di moto circolare. Vediamo quindi di determinare la velocità minima nel punto più alto. Proiettando la seconda legge di Newton in direzione verticale, abbiamo:

$mg+N=m{\frac {v^{2}}{R}}$

dove $m$ è la massa dell'acqua e $R$ è il raggio della circonferenza, cioè la lunghezza del nostro braccio. Imponendo $N\geq 0$ abbiamo:

$v\geq {\sqrt {gR}}$