Il moto parabolico è un moto bidimensionale, combinazione di due moti rettilinei simultanei e indipendenti (non si influenzano), uno rettilineo uniforme e uno uniformemente accelerato.
Prendiamo il moto di un proiettile lanciato con velocità
V
0
{\displaystyle V_{0}}
θ
{\displaystyle \theta }
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
Condizioni iniziali:
{
X
0
=
0
y
0
=
0
{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&X_{0}=0\\&y_{0}=0\\\end{aligned}}\right.}
{
V
0
x
=
V
0
cos
θ
V
0
y
=
V
0
sin
θ
{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&V_{0x}=V_{0}\cos \theta \\&V_{0y}=V_{0}\sin \theta \\\end{aligned}}\right.}
Scomposizione del moto:
{
x
(
t
)
=
x
0
+
V
0
x
t
y
(
t
)
=
V
0
y
t
−
1
2
g
t
2
{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&x(t)=x_{0}+V_{0x}t\\&y(t)=V_{0y}t-{\frac {1}{2}}gt^{2}\\\end{aligned}}\right.}
{
x
(
t
)
=
V
0
cos
θ
⋅
t
[
1
]
y
(
t
)
=
V
0
s
i
n
θ
⋅
t
−
1
2
g
t
2
[
2
]
{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&x(t)=V_{0}\cos \theta \cdot t\qquad \qquad \quad [1]\\&y(t)=V_{0}sin\theta \cdot t-{\frac {1}{2}}gt^{2}\qquad [2]\\\end{aligned}}\right.}
Ricavo
t
{\displaystyle t}
y
(
x
)
{\displaystyle y(x)}
t
=
x
V
0
cos
θ
;
{\displaystyle t={\frac {x}{V_{0}\cos \theta }};}
y
(
x
)
=
V
0
sin
θ
x
V
0
cos
θ
−
g
2
⋅
x
2
V
0
2
cos
2
θ
;
{\displaystyle y(x)=V_{0}\sin \theta {\frac {x}{V_{0}\cos \theta }}-{\frac {g}{2}}\cdot {\frac {x^{2}}{V_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }};}
y
(
x
)
=
tan
θ
x
−
g
2
x
2
V
0
2
cos
2
θ
{\displaystyle y(x)=\tan \theta x-{\frac {g}{2}}{\frac {x^{2}}{V_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}}
Pongo
y
(
x
)
=
0
{\displaystyle y(x)=0}
tan
θ
x
−
g
2
x
2
V
0
2
cos
2
θ
=
0
;
{\displaystyle \tan \theta x-{\frac {g}{2}}{\frac {x^{2}}{V_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}=0;}
V
0
sin
θ
x
V
0
cos
θ
−
g
x
2
2
V
0
2
cos
2
θ
=
0
{\displaystyle {\frac {V_{0}\sin \theta x}{V_{0}\cos \theta }}-{\frac {gx^{2}}{2V_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}=0}
2
sin
θ
cos
θ
V
0
2
x
−
g
x
2
2
V
0
2
cos
2
θ
{\displaystyle {\frac {2\sin \theta \cos \theta V_{0}^{2}x-gx^{2}}{2V_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}}
Dato che
2
sin
θ
cos
θ
=
sin
2
θ
{\displaystyle 2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta }
x
(
V
0
2
sin
2
θ
−
g
x
)
=
0
{\displaystyle x(V_{0}^{2}\sin 2\theta -gx)=0}
Per la legge di annullamento del prodotto, ricavo:
x
=
0
{\displaystyle x=0}
che è la posizione del punto di lancio, e
x
=
sin
2
θ
⋅
V
0
2
g
{\displaystyle x={\frac {\sin 2\theta \cdot V_{0}^{2}}{g}}}
che rappresenta la gittata.
Per ricavare la massima quota
y
m
a
x
{\displaystyle y_{max}}
t
i
m
p
{\displaystyle t_{imp}}
y
m
a
x
=
V
0
y
2
2
g
=
V
0
2
sin
2
θ
2
g
{\displaystyle y_{max}={\frac {V_{0y}^{2}}{2g}}={\frac {V_{0}^{2}\sin ^{2}\theta }{2g}}}
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&x(t)=V_{0}\cos \theta \cdot t\qquad \qquad \quad [1]\\&y(t)=V_{0}sin\theta \cdot t-{\frac {1}{2}}gt^{2}\qquad [2]\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5591004ca91761da7bd6c600daab871b9dfa05ee)
