Meccanica del punto materiale/Moto circolare

Moto generico in due dimensioni

Considerata una traiettoria curvilinea su cui viene fissata arbitrariamente un'origine $O$ e il verso di percorrenza:

Definizione

Si definisce ascissa curvilinea la lunghezza del tratto di curva che congiunge $x_{1}$ a $O$. Se $x_{1}$ si trova verso $x$ positive secondo il verso di percorrenza stabilito l'ascissa curvilinea $x_{1}O$ o $Ox_{1}$ è positiva, se $x_{1}$ si trova verso $x$ negative l'ascissa curvilinea è negativa. La velocità del punto definisce la concordanza tra il verso fissato e il verso di percorrenza della curva: velocità positive sono quelle che fanno muovere il punto secondo il verso fissato, negative quelle che lo fanno muovere nel verso opposto.

La velocità media

$V_{m}(t_{1},t_{2})={\frac {x(t_{2})-x(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}$

è rappresentata dal vettore che ha stessa direzione del segmento $x_{1}x_{2}$ e verso coincidente con quello del moto. Si può quindi notare come, ancor meno che nel moto a una dimensione, la velocità media dia informazioni poco dettagliate riguardo al moto del punto.

Applicando l'operazione di limite si ottiene la velocità istantanea

$V=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}V_{m}(t,t+\Delta t)=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta X}{\Delta t}}={\frac {dX}{dt}}$

il cui vettore è tangente alla traiettoria nella posizione $x_{1}$ in cui si trova il punto nell'istante $t$ considerando.

Derivando una seconda volta si ottiene l'accelerazione istantanea

$a=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {dv}{dt}}={\frac {d}{dt}}\cdot {\frac {dx}{dt}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$

il cui vettore è parallelo al raggio di curvatura in $x_{1}$, dunque perpendicolare al vettore $v(t)$.

Scomposizione generica del moto in tre dimensioni

${\hat {i}}$, ${\hat {j}}$, ${\hat {k}}$ sono versori, e sono quindi costanti in tutto lo spazio. ${\vec {x}}(t)$ è il versore posizione. Scomponendolo sui tre assi $x$, $y$ e $z$ si ottiene:

${\vec {x}}(t)=x(t)\cdot {\hat {i}}+y(t)\cdot {\hat {j}}+z(t)\cdot {\hat {k}}$

Ricavo, a partire dalla scomposizione di ${\vec {x}}(t)$, la scomposizione sui tre assi del vettore velocità ${\vec {v}}(t)$:

${\vec {v}}(t)={\frac {d{\vec {x}}}{dt}}={\frac {dx}{dt}}{\hat {i}}+{\frac {dy}{dt}}{\hat {j}}+{\frac {dz}{dt}}{\hat {k}}$

Sapendo inoltre che

${\vec {v}}(t)=v_{x}{\hat {i}}+v_{y}{\hat {j}}+v_{z}{\hat {k}}$

Deduco la seguente uguaglianza

$v_{x}={\frac {dx}{dt}};\qquad v_{y}={\frac {dy}{dt}};\qquad v_{z}={\frac {dz}{dt}}$

Si può inoltre ricavare la scomposizione sui tre assi del vettore accelerazione ${\vec {a}}(t)$:

${\vec {a}}(t)={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {dv_{x}}{dt}}{\hat {i}}+{\frac {dv_{y}}{dt}}{\hat {j}}+{\frac {dv_{z}}{dt}}{\hat {k}}$

Analogamente a quanto mostrato nel paragrafo sovrastante riguardante la velocità, dimostro che dato che

${\vec {a}}(t)=a_{x}{\hat {i}}+a_{y}{\hat {j}}+a_{z}{\hat {k}}$

allora si deduce che

$a_{x}={\frac {dv_{x}}{dt}}={\frac {d^{2}x}{dt}};\qquad a_{y}={\frac {dv_{y}}{dy}}={\frac {d^{2}y}{dt}};\qquad a_{z}={\frac {dv_{z}}{dt}}={\frac {d^{2}z}{dt}}$

Moto circolare

Definizione

Si definisce moto circolare il caso particolare di moto curvilineo che abbia traiettoria circolare di centro $O$ e raggio $R$

Si definisce coordinata curvilinea (e si indica con $s$) la lunghezza orientata dell'arco.

La legge oraria è:

$\theta =\theta (t)$

Se il moto è circolare uniforme, la velocità angolare è costante: $\omega =\omega _{0}$, quindi si ha che:

${\frac {d\theta }{dt}}=\omega _{0};\quad d\theta =\omega _{0}dt;$

$\int _{\theta _{0}}^{\theta (t)}d\theta =\int _{t_{0}}^{t}\omega _{0}dt;$

$[\theta ]_{\theta _{0}}^{\theta (t)}=\omega _{0}[t]_{t_{0}}^{t};\quad \theta (t)-\theta _{0}=\omega _{0}t-\omega _{0}t_{0};$

Dato che $t_{0}=0s,\quad \omega _{0}t_{0}=0$, perciò:

$\theta (t)=\theta _{0}+\omega _{0}t$

ponendo $\theta _{0}=0_{\text{rad}}$,

$\theta =\omega t$

Scomposizione del moto

Applicando quanto appreso nel caso generale del moto curvilineo in due dimensioni sulle componenti dei vettori $v(t)$ e $a(t)$ a quello specifico del moto circolare, ottengo:

$\left\{{\begin{aligned}&x(t)=r\cos \theta =r\cos(\omega t)\\&y(t)=r\sin(\omega t)\\\end{aligned}}\right.$

$\left\{{\begin{aligned}&V_{x}(t)={\frac {dx}{dt}}=-\omega r\sin(\omega t)\\&V_{y}(t)=\omega r\cos(\omega t)\\\end{aligned}}\right.$

$\left\{{\begin{aligned}&a_{x}(t)={\frac {dV_{x}}{dt}}=-\omega ^{2}r\cos(\omega t)\\&a_{y}(t)={\frac {dV_{y}}{dt}}=-\omega ^{2}r\sin(\omega t)\\\end{aligned}}\right.$

dove $a$ è detta accelerazione centripeta.

Definizione

L'accelerazione centripeta è l'accelerazione che causa il curvamento della traiettoria, senza modificare il modulo della velocità angolare $\omega$.

Per questo si parla di moto uniforme nonostante sia presente un'accelerazione!

Legame tra $v$, $\omega$, $a$

$\theta ={\frac {S}{R}}$

$\omega ={\frac {d\theta }{dt}}={\frac {V}{R}}$

Dato che $V={\frac {dS}{dt}}$ si può dedurre che

$\omega ={\frac {1}{R}}\cdot {\frac {dS}{dt}}$

$|{\bar {a}}|={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}={\sqrt {(\omega ^{2}R\cos(\omega t))^{2}+(\omega ^{2}R\sin(\omega t))^{2}}}=\omega ^{2}R{\sqrt {\cos ^{2}(\omega t)+\sin ^{2}(\omega t)}}$

Dato che $\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha =1$ si deduce che $\cos ^{2}(\omega t)+\sin ^{2}(\omega t)=1$ e dunque

$|{\bar {a}}|=\omega ^{2}R\cdot 1=\omega ^{2}R$

Tenendo inoltre conto del fatto che $\omega ={\frac {V}{R}}$, si può ricavare l'accelerazione in funzione della velocità istantanea

$a_{c}={\frac {V^{2}}{R}}$