Iniziamo con una definizione:
Definizione
Definiamo traiettoria il luogo geometrico dei punti occupati dal punto materiale in movimento.
Il moto rettilineo si svolge su una traiettoria rettilinea . Il punto si muove dunque lungo una retta, su cui vengono arbitrariamente fissati origine e verso, e il moto di questo è descrivibile tramite la sola coordinata
x
=
x
(
t
)
{\displaystyle x=x(t)}
(moto a una dimensione).
Attraverso lo studio delle variazioni della posizione del punto nel tempo è possibile definire la velocità del punto; una variazione di velocità nel tempo, invece, fa acquisire al punto un'accelerazione.
Definizione
Si definisce velocità media il rapporto tra lo spostamento e l'intervallo di tempo in cui esso si verifica:
v
m
(
t
1
,
t
2
)
=
Δ
x
12
Δ
t
12
=
x
2
−
x
1
t
2
−
t
1
=
x
(
t
2
)
−
x
(
t
1
)
t
2
−
t
1
{\displaystyle v_{m}(t_{1},t_{2})={\frac {\Delta x_{12}}{\Delta t_{12}}}={\frac {x_{2}-x_{1}}{t_{2}-t_{1}}}={\frac {x(t_{2})-x(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}}
Questo dato è però insufficiente a descrivere il moto di un punto.
Esempio . Un punto che parte dalla posizione
x
0
{\displaystyle x_{0}}
con velocità
v
{\displaystyle v}
e nella posizione
x
1
{\displaystyle x_{1}}
inverte il verso del moto per poi fermarsi in
x
0
{\displaystyle x_{0}}
, ha
⟨
v
⟩
=
0
{\displaystyle \left\langle v\right\rangle =0}
poiché posizione iniziale e finale coincidono.
Per definire le caratteristiche effettive del moto è quindi necessario ridurre l'intervallo di tempo considerato, facendolo tendere a zero. Si calcola cioè la derivata dello spazio in funzione del tempo
Definizione
Si definisce velocità istantanea il seguente limite:
v
=
lim
Δ
t
→
0
v
m
(
t
,
t
+
Δ
t
)
=
lim
Δ
t
→
0
x
(
t
+
Δ
t
)
−
x
(
t
)
Δ
t
=
lim
Δ
t
→
0
Δ
x
Δ
t
=
d
x
d
t
{\displaystyle v=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}v_{m}(t,t+\Delta t)=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}}=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta x}{\Delta t}}={\frac {dx}{dt}}}
Nota la velocità istantanea, si può ricavare la funzione
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
(legge oraria o equazione del moto ) attraverso l'operazione inversa della derivazione, l'integrazione.
Se la velocità non è costante ma varia nel tempo, il punto possiede un'accelerazione.
Definizione
Si definisce come accelerazione media il rapporto tra la variazione di velocità in un intervallo di tempo e l'intervallo di tempo stesso:
a
m
(
v
1
,
v
2
)
=
Δ
v
12
Δ
t
12
{\displaystyle a_{m}(v_{1},v_{2})={\frac {\Delta v_{12}}{\Delta t_{12}}}}
Anche in questo caso l'accelerazione media non è sufficiente a descrivere accuratamente il moto, pertanto è opportuno calcolare tale variazione in un intervallo di tempo tendente a zero.
Definizione
Si definisce come accelerazione istantanea la quantità:
a
=
d
v
d
t
=
d
d
t
d
x
d
t
=
d
2
x
d
t
2
{\displaystyle a={\frac {dv}{dt}}={\frac {d}{dt}}{\frac {dx}{dt}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}}
v
{\displaystyle v}
a
{\displaystyle a}
0
quiete
moto uniforme
costante
moto uniforme
moto uniformemente accelerato
+
il punto si muove nello stesso verso dell'asse
la velocità cresce
-
il punto si muove nel verso opposto dell'asse
la velocità decresce
Posso correlare tra loro spostamento, velocità iniziale, velocità finale e accelerazione tramite il seguente procedimento:
d
v
d
t
=
d
v
d
x
⋅
d
x
d
t
a
=
d
v
d
x
v
a
⋅
d
x
=
d
v
⋅
{\displaystyle {\frac {dv}{dt}}={\frac {dv}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}\quad a={\frac {dv}{dx}}v\quad a\cdot dx=dv\cdot }
∫
x
0
x
a
d
x
=
∫
v
0
v
v
d
v
∫
x
0
x
a
d
x
=
[
v
2
2
]
v
0
v
{\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}adx=\int _{v_{0}}^{v}vdv\quad \int _{x_{0}}^{x}adx=[{\frac {v^{2}}{2}}]_{v_{0}}^{v}}
∫
x
0
x
a
d
x
=
v
2
2
−
v
0
2
2
2
∫
x
0
x
a
d
x
=
v
2
−
v
0
2
{\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}adx={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2}}\quad 2\int _{x_{0}}^{x}adx=v^{2}-v_{0}^{2}}
Se a è costante (moto rettilineo uniformemente accelerato ) si ha
a
0
=
a
(
x
)
{\displaystyle a_{0}=a(x)}
, quindi:
v
2
−
v
0
2
=
2
a
Δ
x
{\displaystyle v^{2}-v_{0}^{2}=2a\Delta x}
Il moto è rettilineo uniforme con
v
0
=
⟨
v
⟩
=
v
(
t
)
{\displaystyle v_{0}=\left\langle v\right\rangle =v(t)}
, cioè con velocità costante .
In questo caso la legge oraria è:
v
=
v
0
;
d
X
d
t
=
v
0
;
d
x
=
v
0
⋅
d
t
;
{\displaystyle v=v_{0}\ ;\quad {\frac {dX}{dt}}=v_{0}\ ;\quad dx=v_{0}\cdot dt\ ;}
∫
x
0
x
t
d
x
=
∫
0
t
v
0
d
t
;
∫
x
0
x
t
d
X
=
v
0
∫
0
t
d
t
;
{\displaystyle \int _{x_{0}}^{x_{t}}dx=\int _{0}^{t}v_{0}dt\ ;\quad \int _{x_{0}}^{x_{t}}dX=v_{0}\int _{0}^{t}dt\ ;}
[
x
]
x
0
x
(
t
)
=
v
0
[
t
]
0
t
;
x
(
t
)
−
x
0
=
v
0
(
t
−
0
)
;
{\displaystyle [x]_{x_{0}}^{x(t)}=v_{0}[t]_{0}^{t}\ ;\quad x(t)-x_{0}=v_{0}(t-0)\ ;}
⇒
x
(
t
)
=
x
0
+
v
0
⋅
t
{\displaystyle \Rightarrow x(t)=x_{0}+v_{0}\cdot t}
Se l'accelerazione è costante (
⟨
a
⟩
=
a
(
t
)
{\displaystyle \left\langle a\right\rangle =a(t)}
), il moto è detto uniformemente accelerato.
L'equazione di tale moto è ricavabile attraverso una doppia integrazione dell'accelerazione istantanea. La legge oraria è:
a
0
=
a
a
0
=
d
v
d
t
d
v
=
a
0
⋅
d
t
{\displaystyle a_{0}=a\quad a_{0}={\frac {dv}{dt}}\quad dv=a_{0}\cdot dt}
∫
v
0
v
(
t
)
d
v
=
∫
0
t
a
0
d
t
∫
v
0
v
(
t
)
d
v
=
a
0
∫
0
t
d
t
{\displaystyle \int _{v_{0}}^{v(t)}dv=\int _{0}^{t}a_{0}dt\quad \int _{v_{0}}^{v(t)}dv=a_{0}\int _{0}^{t}dt}
[
v
]
v
0
v
(
t
)
=
a
0
[
t
]
0
t
v
(
t
)
−
v
0
=
a
0
⋅
(
t
−
0
)
{\displaystyle \left[v\right]_{v_{0}}^{v(t)}=a_{0}\left[t\right]_{0}^{t}\quad v(t)-v_{0}=a_{0}\cdot \left(t-0\right)}
v
(
t
)
=
v
0
+
a
0
⋅
t
{\displaystyle v(t)=v_{0}+a_{0}\cdot t}
v
(
t
)
=
d
x
d
t
v
0
+
a
0
⋅
t
=
d
x
d
t
d
x
=
(
v
0
+
a
0
⋅
t
)
d
t
{\displaystyle v(t)={\frac {dx}{dt}}\quad v_{0}+a_{0}\cdot t={\frac {dx}{dt}}\quad dx=\left(v_{0}+a_{0}\cdot t\right)dt}
∫
x
0
x
(
t
)
d
x
=
∫
0
t
(
v
0
+
a
0
⋅
t
)
d
t
∫
x
0
x
(
t
)
d
x
=
v
0
∫
0
t
d
t
+
a
0
∫
0
t
t
⋅
d
t
{\displaystyle \int _{x_{0}}^{x(t)}dx=\int _{0}^{t}\left(v_{0}+a_{0}\cdot t\right)dt\quad \int _{x_{0}}^{x(t)}dx=v_{0}\int _{0}^{t}dt+a_{0}\int _{0}^{t}t\cdot dt}
[
x
]
x
0
x
(
t
)
=
v
0
[
t
]
t
0
+
a
0
[
t
2
2
]
t
0
{\displaystyle \left[x\right]_{x_{0}}^{x(t)}=v_{0}\left[t\right]^{t_{0}}+a_{0}\left[{\frac {t^{2}}{2}}\right]^{t_{0}}}
x
(
t
)
−
x
0
=
v
0
⋅
t
+
a
0
t
2
2
{\displaystyle x(t)-x_{0}=v_{0}\cdot t+a_{0}{\frac {t^{2}}{2}}}
⇒
x
(
t
)
=
x
0
+
v
0
⋅
t
+
a
0
t
2
2
{\displaystyle \Rightarrow x(t)=x_{0}+v_{0}\cdot t+a_{0}{\frac {t^{2}}{2}}}
|
a
→
|
=
9
,
8
m
s
2
=
g
{\displaystyle \left|{\vec {a}}\right|=9,8{\frac {m}{s^{2}}}=g}
Lascio cadere un corpo dall'altezza
h
{\displaystyle h}
(trascuro la resistenza dell'aria):
y
=
y
0
+
v
0
t
+
1
2
a
⋅
t
2
{\displaystyle y=y_{0}+v_{0}t+{\frac {1}{2}}a\cdot t^{2}}
Si considerino
y
0
=
h
{\displaystyle y_{0}=h}
in cui
h
{\displaystyle h}
è l'altezza da cui si lascia cadere il corpo,
v
0
=
0
{\displaystyle v_{0}=0}
e
a
=
g
{\displaystyle a=g}
. Si ottiene in tal modo:
y
=
h
−
g
2
t
2
{\displaystyle y=h-{\frac {g}{2}}t^{2}}
Per ricavare il tempo d'impatto
t
i
{\displaystyle t_{i}}
pongo
y
=
0
{\displaystyle y=0}
:
y
=
0
h
−
g
2
t
2
=
0
t
2
=
2
h
g
{\displaystyle y=0\quad h-{\frac {g}{2}}t^{2}=0\quad t^{2}={\frac {2h}{g}}}
t
i
=
2
h
g
{\displaystyle t_{i}={\sqrt {\frac {2h}{g}}}}
Per ricavare la velocità d'impatto
v
i
{\displaystyle v_{i}}
pongo
t
=
2
h
g
{\displaystyle t={\sqrt {\frac {2h}{g}}}}
nell'equazione
v
=
v
0
+
a
0
t
{\displaystyle v=v_{0}+a_{0}t}
. Considero inoltre
v
0
=
0
{\displaystyle v_{0}=0}
e
a
=
g
{\displaystyle a=g}
:
v
=
−
g
t
=
−
g
2
h
g
=
−
2
h
g
{\displaystyle v=-gt=-g{\sqrt {\frac {2h}{g}}}=-{\sqrt {2hg}}}
Nel moto in una dimensione con attrito viscoso agisce una forza
k
>
0
{\displaystyle k>0}
che frena il moto, causando una diminuzione dell'accelerazione
a
{\displaystyle a}
che quindi è direttamente proporzionale alla costante
−
k
{\displaystyle -k}
: più è grande
k
{\displaystyle k}
, più sarà frenato il moto.
a
=
−
k
v
k
>
0
{\displaystyle a=-kv\quad k>0}
Sapendo anche che
a
=
d
v
d
t
{\displaystyle a={\frac {dv}{dt}}}
, si può dedurre la seguente equazione:
d
v
d
t
=
−
k
v
d
v
v
=
−
k
d
t
{\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=-kv\quad {\frac {dv}{v}}=-kdt}
∫
v
0
v
(
t
)
1
v
d
v
=
−
k
∫
0
t
d
t
[
l
n
v
]
v
0
v
(
t
)
=
−
k
[
t
]
0
t
{\displaystyle \int _{v_{0}}^{v(t)}{\frac {1}{v}}dv=-k\int _{0}^{t}dt\quad [lnv]_{v_{0}}^{v(t)}=-k[t]_{0}^{t}}
ln
v
(
t
)
−
ln
v
0
=
−
k
(
t
−
0
)
ln
v
(
t
)
v
0
=
−
k
t
{\displaystyle \ln v(t)-\ln v_{0}=-k(t-0)\quad \ln {\frac {v(t)}{v_{0}}}=-kt}
e
ln
v
(
t
)
v
0
=
e
−
k
t
v
(
t
)
v
0
=
e
−
k
t
{\displaystyle e^{\ln {\frac {v(t)}{v_{0}}}}=e^{-kt}\quad {\frac {v(t)}{v_{0}}}=e^{-kt}}
v
(
t
)
=
e
−
k
t
⋅
v
0
{\displaystyle v(t)=e^{-kt}\cdot v_{0}}
Diagramma orario della funzione
v
(
t
)
{\displaystyle v(t)}
:
e
−
k
t
=
1
e
k
t
{\displaystyle e^{-kt}={\frac {1}{e^{kt}}}}
, quindi
lim
t
→
∞
1
e
k
t
=
0
{\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {1}{e^{kt}}}=0}
. Posso dedurre da ciò che il grafico della funzione
v
(
t
)
{\displaystyle v(t)}
è una curva esponenziale, con
v
(
t
)
{\displaystyle v(t)}
che tende a 0 al tendere di
t
{\displaystyle t}
all'infinito.
La velocità a un tempo
t
=
τ
=
1
k
{\displaystyle t=\tau ={\frac {1}{k}}}
è:
v
(
τ
)
=
1
e
1
k
k
⋅
v
0
≃
1
2
,
7
v
0
{\displaystyle v(\tau )={\frac {1}{e^{{\frac {1}{k}}k}}}\cdot v_{0}\simeq {\frac {1}{2,7}}v_{0}}
Quindi
v
(
τ
)
{\displaystyle v(\tau )}
è pari a circa
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{3}}}
della velocità iniziale
v
0
{\displaystyle v_{0}}
Per quanto riguarda la legge oraria, sapendo che
v
(
t
)
=
d
x
d
t
{\displaystyle v(t)={\frac {dx}{dt}}}
, si ricava che:
d
x
d
t
=
v
0
e
−
k
t
d
x
=
v
0
e
−
k
t
d
t
{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=v_{0}e^{-kt}\quad dx=v_{0}e^{-kt}dt}
∫
0
x
(
t
)
d
x
=
∫
0
t
v
0
⋅
1
e
k
t
d
t
{\displaystyle \int _{0}^{x(t)}dx=\int _{0}^{t}v_{0}\cdot {\frac {1}{e^{kt}}}dt}
x
(
t
)
=
v
0
⋅
(
1
−
e
−
k
t
)
{\displaystyle x(t)=v_{0}\cdot (1-e^{-kt})}