Meccanica del punto materiale/Moto rettilineo

Iniziamo con una definizione:

Definizione

Definiamo traiettoria il luogo geometrico dei punti occupati dal punto materiale in movimento.

Il moto rettilineo si svolge su una traiettoria rettilinea. Il punto si muove dunque lungo una retta, su cui vengono arbitrariamente fissati origine e verso, e il moto di questo è descrivibile tramite la sola coordinata $x=x(t)$ (moto a una dimensione).

Attraverso lo studio delle variazioni della posizione del punto nel tempo è possibile definire la velocità del punto; una variazione di velocità nel tempo, invece, fa acquisire al punto un'accelerazione.

Velocità

Definizione

Si definisce velocità media il rapporto tra lo spostamento e l'intervallo di tempo in cui esso si verifica:

$v_m(t_1,t_2)=\frac{\mathrm{\Delta }{x}_{12}}{\mathrm{\Delta }{t}_{12}}=\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}=\frac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1}$

Questo dato è però insufficiente a descrivere il moto di un punto.

Esempio. Un punto che parte dalla posizione $x_0$ con velocità $v$ e nella posizione $x_1$ inverte il verso del moto per poi fermarsi in $x_0$, ha $⟨v⟩=0$ poiché posizione iniziale e finale coincidono.

Per definire le caratteristiche effettive del moto è quindi necessario ridurre l'intervallo di tempo considerato, facendolo tendere a zero. Si calcola cioè la derivata dello spazio in funzione del tempo

Definizione

Si definisce velocità istantanea il seguente limite:

$v=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}{v}_m(t,t+\mathrm{\Delta }t)=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{x(t+\mathrm{\Delta }t)-x(t)}{\mathrm{\Delta }t}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{dx}{dt}$

Nota la velocità istantanea, si può ricavare la funzione $x(t)$ (legge oraria o equazione del moto) attraverso l'operazione inversa della derivazione, l'integrazione.

Se la velocità non è costante ma varia nel tempo, il punto possiede un'accelerazione.

Accelerazione

Definizione

Si definisce come accelerazione media il rapporto tra la variazione di velocità in un intervallo di tempo e l'intervallo di tempo stesso:

$a_m(v_1,v_2)=\frac{\mathrm{\Delta }{v}_{12}}{\mathrm{\Delta }{t}_{12}}$

Anche in questo caso l'accelerazione media non è sufficiente a descrivere accuratamente il moto, pertanto è opportuno calcolare tale variazione in un intervallo di tempo tendente a zero.

Definizione

Si definisce come accelerazione istantanea la quantità:

$a=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\frac{dx}{dt}=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$

Velocità e accelerazione a "confronto"

	$v$	$a$
0	quiete	moto uniforme
costante	moto uniforme	moto uniformemente accelerato
+	il punto si muove nello stesso verso dell'asse	la velocità cresce
-	il punto si muove nel verso opposto dell'asse	la velocità decresce

Posso correlare tra loro spostamento, velocità iniziale, velocità finale e accelerazione tramite il seguente procedimento:

$\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}a=\frac{dv}{dx}va\cdot dx=dv\cdot$

${\int }_{x_0}^{x}adx={\int }_{v_0}^{v}vdv{\int }_{x_0}^{x}adx=[\frac{v^2}{2}{]}_{v_0}^v$

${\int }_{x_0}^{x}adx=\frac{v^2}{2}-\frac{v_0^2}{2}2{\int }_{x_0}^{x}adx=v^2-v_0^2$

Se a è costante (moto rettilineo uniformemente accelerato) si ha $a_0=a(x)$, quindi:

$v^2-v_0^2=2a\mathrm{\Delta }x$

Tipi di moto

Moto rettilineo uniforme

Il moto è rettilineo uniforme con $v_0=⟨v⟩=v(t)$, cioè con velocità costante.

In questo caso la legge oraria è:

$v=v_0;\frac{dX}{dt}=v_0;dx=v_0\cdot dt;$

${\int }_{x_0}^{x_t}dx={\int }_0^t{v}_{0}dt;{\int }_{x_0}^{x_t}dX=v_0{\int }_0^{t}dt;$

$[x{]}_{x_0}^{x(t)}=v_0[t{]}_0^t;x(t)-x_0=v_0(t-0);$

$\Rightarrow x(t)=x_0+v_0\cdot t$

Moto uniformemente accelerato

Se l'accelerazione è costante ($⟨a⟩=a(t)$), il moto è detto uniformemente accelerato.

L'equazione di tale moto è ricavabile attraverso una doppia integrazione dell'accelerazione istantanea. La legge oraria è:

$a_0=a{a}_0=\frac{dv}{dt}dv=a_0\cdot dt$

${\int }_{v_0}^{v(t)}dv={\int }_0^t{a}_{0}dt{\int }_{v_0}^{v(t)}dv=a_0{\int }_0^{t}dt$

${\left[v\right]}_{v_0}^{v(t)}=a_0{\left[t\right]}_0^{t}v(t)-v_0=a_0\cdot (t-0)$

$v(t)=v_0+a_0\cdot t$

$v(t)=\frac{dx}{dt}{v}_0+a_0\cdot t=\frac{dx}{dt}dx=(v_0+a_0\cdot t)dt$

${\int }_{x_0}^{x(t)}dx={\int }_0^t(v_0+a_0\cdot t)dt{\int }_{x_0}^{x(t)}dx=v_0{\int }_0^{t}dt+a_0{\int }_0^{t}t\cdot dt$

${\left[x\right]}_{x_0}^{x(t)}=v_0{\left[t\right]}^{t_0}+a_0{\left[\frac{t^2}{2}\right]}^{t_0}$

$x(t)-x_0=v_0\cdot t+a_0\frac{t^2}{2}$

$\Rightarrow x(t)=x_0+v_0\cdot t+a_0\frac{t^2}{2}$

Moto di un grave in una dimensione

$\left|\overrightarrow{a}\right|=9,8\frac{m}{s^2}=g$

Lascio cadere un corpo dall'altezza $h$ (trascuro la resistenza dell'aria):

$y=y_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a\cdot t^2$

Si considerino $y_0=h$ in cui $h$ è l'altezza da cui si lascia cadere il corpo, $v_0=0$ e $a=g$. Si ottiene in tal modo:

$y=h-\frac{g}{2}{t}^2$

Per ricavare il tempo d'impatto $t_i$ pongo $y=0$:

$y=0h-\frac{g}{2}{t}^2=0t^2=\frac{2h}{g}$

$t_i=\sqrt{\frac{2h}{g}}$

Per ricavare la velocità d'impatto $v_i$ pongo $t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$ nell'equazione $v=v_0+a_{0}t$. Considero inoltre $v_0=0$ e $a=g$:

$v=-gt=-g\sqrt{\frac{2h}{g}}=-\sqrt{2hg}$

Moto in una dimensione con attrito viscoso

Nel moto in una dimensione con attrito viscoso agisce una forza $k>0$ che frena il moto, causando una diminuzione dell'accelerazione $a$ che quindi è direttamente proporzionale alla costante $-k$: più è grande $k$, più sarà frenato il moto.

$a=-kvk>0$

Sapendo anche che $a=\frac{dv}{dt}$, si può dedurre la seguente equazione:

$\frac{dv}{dt}=-kv\frac{dv}{v}=-kdt$

${\int }_{v_0}^{v(t)}\frac{1}{v}dv=-k{\int }_0^{t}dt[lnv{]}_{v_0}^{v(t)}=-k[t{]}_0^t$

$\ln v(t)-\ln v_0=-k(t-0)\ln \frac{v(t)}{v_0}=-kt$

$e^{\ln \frac{v(t)}{v_0}}=e^{-kt}\frac{v(t)}{v_0}=e^{-kt}$

$v(t)=e^{-kt}\cdot v_0$

Diagramma orario della funzione $v(t)$: $e^{-kt}=\frac{1}{e^{kt}}$, quindi $\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{e^{kt}}=0$. Posso dedurre da ciò che il grafico della funzione $v(t)$ è una curva esponenziale, con $v(t)$ che tende a 0 al tendere di $t$ all'infinito.

La velocità a un tempo $t=\tau =\frac{1}{k}$ è:

$v(\tau )=\frac{1}{e^{\frac{1}{k}k}}\cdot v_0\simeq \frac{1}{2,7}{v}_0$

Quindi $v(\tau )$ è pari a circa $\frac{1}{3}$ della velocità iniziale $v_0$

Per quanto riguarda la legge oraria, sapendo che $v(t)=\frac{dx}{dt}$, si ricava che:

$\frac{dx}{dt}=v_0{e}^{-kt}dx=v_0{e}^{-kt}dt$

${\int }_0^{x(t)}dx={\int }_0^t{v}_0\cdot \frac{1}{e^{kt}}dt$

$x(t)=v_0\cdot (1-e^{-kt})$