Meccanica quantistica relativistica/Equazione di Dirac

Tale problema condusse Paul A.M. Dirac nel 1928 a formulare la sua equazione, che fra l'altro porta alla predizione dell'esistenza delle antiparticelle. La situazione in cui il numero delle particelle è una variabile viene detto seconda quantizzazione.

L'equazione che Dirac cercava doveva soddisfare i seguenti requisiti:

1. deve essere lineare (per conservare il principio di sovrapposizione proprio dell'equazione di Schrödinger);
2. deve rispettare la condizione relativistica fra $E$ e $p$, comprendere le derivate di spazio e tempo sullo stesso piano (per avere una formulazione relativistica);
3. deve contenere solo le derivate prime (per non incorrere nel problema dell'equazione di Klein-Gordon);
4. deve tuttavia soddisfare l'equazione di Klein-Gordon $[\square -m^{2}c^{2}/\hbar ^{2}]\psi =0$ (per contenere in sé la relazione relativistica $E^{2}=p^{2}+m^{2}$);
5. deve essere covariante a vista (per conservare l'invarianza per trasformazioni)

Impostiamo quindi una relazione lineare con le derivate prime, imponendo in tal modo i requisiti (1) e (3):

$E=[\alpha _{1}p_{1}+\alpha _{2}p_{2}+\alpha _{3}p_{3}+\beta mc]\psi \Rightarrow [p_{4}-\alpha _{1}p_{1}-\alpha _{2}p_{2}-\alpha _{3}p_{3}-\beta mc]\psi =0$

I coefficienti $\alpha _{i}$ e $\beta$ sono calcolati imponendo le altre condizioni. Moltiplichiamo infatti la relazione precedente per la sua coniugata $[p_{4}+\alpha _{1}p_{1}+\alpha _{2}p_{2}+\alpha _{3}p_{3}+\beta mc]$ per imporre le condizioni (2) e (4). Si ottiene allora:

${\begin{aligned}\left[p_{4}^{2}-p_{4}\sum _{i}\alpha _{i}p_{i}-p_{4}\beta mc+\sum _{i}\alpha _{i}p_{i}\cdot p_{4}-\sum _{i}\sum _{j}{\frac {\alpha _{i}\alpha _{j}+\alpha _{j}\alpha _{i}}{2}}p_{i}p_{j}+\right.\\\left.-\sum _{i}\alpha _{i}\beta mcp_{i}+\beta mcp_{4}-\beta mc\sum _{i}\alpha _{i}p_{i}-\beta ^{2}m^{2}c^{2}\right]\psi =0\end{aligned}}$

e tenendo presente che $\alpha _{i}$ e $\beta$ commutano con $p$ (sono in effetti dei coefficienti), si ricava:

$\left[p_{4}^{2}-\sum _{i}\sum _{j}{\frac {\alpha _{i}\alpha _{j}+\alpha _{j}\alpha _{i}}{2}}p_{i}p_{j}-\sum _{i}(\alpha _{i}\beta +\beta \alpha _{i})mcp_{i}-\beta ^{2}m^{2}c^{2}\right]\psi =0$

Siamo giunti quindi a un'equazione del secondo ordine, che deve corrispondere alla relazione relativistica della condizione (4). Esplicitando la componente $p_{4}$:

$\left[-{\frac {E^{2}}{c^{2}}}+\sum _{i}\sum _{j}{\frac {\alpha _{i}\alpha _{j}+\alpha _{j}\alpha _{i}}{2}}p_{i}p_{j}+\sum _{i}(\alpha _{i}\beta +\beta \alpha _{i})mcp_{i}+\beta ^{2}m^{2}c^{2}\right]\psi =0$

Per ottenere ora la relazione $E^{2}=p^{2}+m^{2}$ a partire da questa equazione, dobbiamo ritrovare il termine $p^{2}$ e i termini misti in $mcp_{i}$ devono essere nulli. I coefficienti devono quindi sottostare alle condizioni:

${\begin{aligned}{\frac {\alpha _{i}\alpha _{j}+\alpha _{j}\alpha _{i}}{2}}&=\delta _{ij}\\\alpha _{i}\beta +\beta \alpha _{i}&=0\\\beta ^{2}&=\mathbb {I} \end{aligned}}$

e in questo caso la relazione diventa:

$p_{4}\psi =\left[\sum _{i}\alpha _{i}p_{i}+\beta mc\right]\psi$

Bisogna ora esplicitare i coefficienti da inserire nell'equazione. I coefficienti $\alpha _{i}$ soddisfano la proprietà di anticommutazione e quelle delle matrici. Questo implica immediatamente che $\psi$ non può essere uno scalare, ma un vettore sul quale queste matrici possono operare. La seconda proprietà ci permette di dedurre:

$\alpha _{i}\beta =-\beta \alpha _{i}\qquad \Rightarrow \qquad \det \alpha _{i}\cdot \det \beta =(-1)^{N}\det \beta \cdot \det \alpha _{i}<math>in<math>N$ dimensioni. Ma il determinante è un numero, quindi $\mathbf {N}$ deve essere pari. Essendo anche il determinante diverso da 0, possiamo prendere le matrici inverse e dalla stessa relazione ricavare le condizioni:

$\alpha _{i}^{-1}\alpha _{i}\beta =-\alpha _{i}^{-1}\beta \alpha _{i}\quad \Rightarrow \quad \beta =-\alpha _{i}^{-1}\beta \alpha _{i}$

e prendendone le tracce:

$\mathrm {Tr} \beta =-\mathrm {Tr} \beta \quad \Rightarrow \quad \mathrm {Tr} \beta =0$

Moltiplicando invece per $\beta ^{-1}$ si ricava:

$\beta ^{-1}\alpha _{i}\beta =-\beta ^{-1}\beta \alpha _{i}\quad \Rightarrow \quad \alpha _{i}=-\beta ^{-1}\alpha _{i}\beta \quad \Rightarrow \quad \mathrm {Tr} \alpha _{i}=\mathrm {Tr} \quad \Rightarrow \quad \mathrm {Tr} \alpha _{i}=0$

Le tre matrici $\alpha _{i}$ e la $\beta$ sono quindi matrici non unitarie a traccia nulla di dimensione pari. La matrice $\beta$, per via della traccia nulla e della terza condizione sul suo quadrato, deve avere la forma:

$\beta =\left({\begin{array}{cccccc}1&&&&&\\&\ddots &&&&\\&&1&&&\\&&&-1&&\\&&&&\ddots &\\&&&&&-1\\\end{array}}\right)$

La dimensione minima che soddisfa tutte queste richieste è 4 in quanto a causa della particolare forma della terza matrice $\sigma _{3}$ non è possibile soddisfare queste condizioni in uno spazio a dimensione 2, poiché una base è composta dalle tre matrici di Pauli più la matrice unitaria. Si noti tuttavia che questo numero non ha alcuna relazione con le dimensioni dello spazio-tempo.

Notando che in uno spazio $2\times 2$ una base matriciale è costituita dalla matrice identità e dalle tre matrici di Pauli $\sigma _{k}$:

$\sigma _{1}=\left({\begin{array}{cc}0&1\\1&0\\\end{array}}\right)\quad \sigma _{2}=\left({\begin{array}{cc}0&-i\\i&0\\\end{array}}\right)\quad \sigma _{3}=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\\\end{array}}\right)$

e notando inoltre che le matrici di Pauli possono essere utilizzate a livello più generale come elementi di matrici a blocchi, si può senz'altro scegliere come base:

$\alpha _{k}=\left({\begin{array}{cc}0&\sigma _{k}\\\sigma _{k}&0\\\end{array}}\right)\quad \beta =\left({\begin{array}{cc}\mathbb {I} &0\\0&-\mathbb {I} \\\end{array}}\right)$

Ovvero, esplicitamente:

$\alpha _{1}=\left({\begin{array}{cccc}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\\\end{array}}\right)\;\alpha _{2}=\left({\begin{array}{cccc}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&-i&0&0\\i&0&0&0\\\end{array}}\right)\;\alpha _{3}=\left({\begin{array}{cccc}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\\\end{array}}\right)\;\beta =\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\\end{array}}\right)$

Questa scelta costituisce la cosiddetta rappresentazione standard o rappresentazione di Dirac; altre due rappresentazioni possibili sono quella di Weyl e quella di Majorana.

L'equazione in forma operatoriale assume questo aspetto:

$i{\frac {\partial }{\partial t}}\psi ={\frac {c}{i}}\sum _{k}\alpha _{k}\partial _{k}\psi +{\frac {mc^{2}}{\hbar }}\beta \psi$

la cui complessa coniugata è:

$-i{\frac {\partial }{\partial t}}\psi ^{\dagger }=-{\frac {c}{i}}\sum _{k}\partial _{k}\psi ^{\dagger }\alpha _{k}+{\frac {mc^{2}}{\hbar }}\psi ^{\dagger }\beta$

Seguendo il procedimento standard per trovare l'equazione di continuità, possiamo ora moltiplicare la prima per $\psi ^{\dagger }$ a sinistra e la seconda per $\psi$ a destra. Sottraendo poi la seconda dalla prima si ottiene:

$i\left[\psi ^{\dagger }{\frac {\partial }{\partial t}}\psi +{\frac {\partial }{\partial t}}\psi ^{\dagger }\cdot \psi \right]={\frac {c}{i}}\sum _{k}\left(\psi ^{\dagger }\alpha _{k}\partial _{k}\psi +\partial _{k}\psi ^{\dagger }\alpha _{k}\psi \right)$

ovvero:

$i{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\psi ^{\dagger }\psi \right)={\frac {c}{i}}\sum _{k}\partial _{k}\left(\psi ^{\dagger }\alpha _{k}\psi \right)$

È possibile quindi definire una densità di probabilità e una densità di corrente di probabilità rispettivamente come:

${\begin{aligned}\varrho &=\psi ^{\dagger }\psi \\j_{k}&=c\psi ^{\dagger }\alpha _{k}\psi \end{aligned}}$

e ottenere infine l'equazione di continuità nella solita forma, dove il termine $c{\vec {\alpha }}$ risulta legato alla velocità ed in cui la densità di probabilità è effettivamente definita positiva:

${\frac {\partial \varrho }{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\jmath }}=0$

Resta da soddisfare infine la condizione (5). L'equazione scritta qui è in realtà già covariante e si esplicita semplicemente moltiplicando a sinistra per $\beta$:

${\frac {i\beta }{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi +i\beta \alpha _{k}\partial _{k}\psi -{\frac {mc}{\hbar }}\psi =0$

Introduciamo ora la notazione standard di Dirac, facendo le posizioni (matrici di Dirac):

$i\beta \equiv \gamma _{4}\qquad \qquad \beta \alpha _{i}\equiv \gamma _{i}$

Questo permette di riscrivere l'equazione in forma più compatta:

${\begin{aligned}i\gamma _{4}\partial _{4}\psi +i{\vec {\gamma }}\cdot {\vec {\nabla }}\psi -{\frac {mc}{\hbar }}\psi &=0\rightarrow \\-\gamma _{4}{\frac {\hbar }{i}}\partial _{4}\psi -{\frac {\hbar }{i}}{\vec {\gamma }}\cdot {\vec {\nabla }}\psi -mc\psi &=0\rightarrow \\\left(\gamma _{4}p_{4}+{\vec {\gamma }}\cdot {\vec {p}}+mc\right)\psi =0\end{aligned}}$

La covarianza a vista è ormai già evidente. Riscrivendo l'equazione in termini di quadrivettori si trova la forma definitiva per l'equazione di Dirac:

${\begin{aligned}(\gamma _{\mu }\cdot {\hat {p}}_{\mu }+mc)\psi =0\end{aligned}}$

Si può introdurre anche la notazione ${\cancel {\hat {P}}}\equiv \gamma _{\mu }\cdot {\hat {p}}_{\mu }$, che permette di scrivere l'equazione di Dirac nella forma eccezionalmente compatta:

${\begin{aligned}({\cancel {\hat {P}}}+mc)\psi =0\end{aligned}}$

Evidenziamo ora alcune proprietà delle matrici $\gamma _{\mu }$. In primo luogo:

$\left.{\begin{aligned}\gamma _{4}^{\dagger }=-i\beta ^{\dagger }=-\gamma _{4}\\[1.25ex]\gamma _{i}^{\dagger }=\alpha _{1}^{\dagger }\beta ^{\dagger }=\alpha _{i}\beta =-\beta \alpha _{i}=-\gamma _{i}\end{aligned}}\right\}\Rightarrow \gamma _{\mu }^{\dagger }=-\gamma _{\mu }$

Dall'equazione di Dirac si ricava invece:

$\alpha _{i}\beta ^{2}\alpha _{j}+\alpha _{j}\beta ^{2}\alpha _{i}=2\delta _{ij}\Rightarrow -\beta \alpha _{i}\beta \alpha _{j}-\beta \alpha _{j}\beta \alpha _{i}=2\delta {ij}\Rightarrow \gamma _{i}\gamma _{j}+\gamma _{j}\gamma _{i}=-2\delta _{ij}$

e in particolare, se $i=j$, $\gamma _{i}^{2}=-\mathbb {I}$. Inoltre, per la quarta componente:

$\alpha _{i}\beta +\beta \alpha _{i}=0\Rightarrow -i\gamma _{i}\gamma _{4}-i\gamma _{4}\gamma _{i}=0$

e dunque in definitiva vale l'importante relazione:

${\begin{aligned}\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }+\gamma _{\nu }\gamma _{\mu }=-2\delta _{\mu \nu }\end{aligned}}$