Meccanica quantistica relativistica/Formalismo di seconda quantizzazione per fermioni

Il formalismo appena visto per i bosoni si può estendere ai fermioni a patto di tenere presente che la funzione d'onda totale deve essere antisimmetrica. In termini di autofunzioni di singola particella si può quindi scrivere come un determinante di Slater:

$\mathrm{\Phi }({\overrightarrow{r}}_1,{\overrightarrow{r}}_2,\dots ,{\overrightarrow{r}}_N)\equiv |{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_N⟩=\frac{1}{\sqrt{N}}\left|\begin{array}{ccc}{\phi }_{{\alpha }_1}({\overrightarrow{r}}_1)& \cdots & {\phi }_{{\alpha }_1}({\overrightarrow{r}}_N)\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ {\phi }_{{\alpha }_N}({\overrightarrow{r}}_1)& \cdots & {\phi }_{{\alpha }_N}({\overrightarrow{r}}_N)\end{array}\right|$

si noti che questa scrittura permette automaticamente di soddisfare il principio di Pauli, in quanto l'antisimmetria è automaticamente soddisfatta.

Si cerchino ora degli operatori ${\hat{O}}_i$ analoghi agli operatori bosonici:

$\hat{O}\mathrm{\Phi }({\overrightarrow{r}}_1,{\overrightarrow{r}}_2,\dots ,{\overrightarrow{r}}_N)=\sum _{l=1}^N{\hat{O}}_i{\phi }_{{\alpha }_l}({\overrightarrow{r}}_l)\text{con}{\hat{O}}_i{\phi }_{{\alpha }_l}({\overrightarrow{r}}_j)={\delta }_{ij}{\hat{O}}_l{\phi }_{{\alpha }_l}({\overrightarrow{r}}_i)$

Si possono ora presentare solo due casi: $p,l\in \{1,\dots ,N\}$ oppure $p,l\notin \{1,\dots ,N\}$. Se $l\notin \{1,\dots ,N\}$, l'operatore non agisce e restituisce 0. Se $p\in \{1,\dots ,N\}$ allora nel determinante compare una seconda riga ${\alpha }_p$ e di conseguenza si annulla.

Consideriamo il caso $l\in \{1,\dots ,N\}$ e $p\notin \{1,\dots ,N\}$. In questo caso l'operatore allora cambia la riga ma non preserva la normalizzazione. È importante specificare l'ordine degli stati e sistemarli nell'ordine giusto; si devono quindi effettuare delle permutazioni di righe che cambiano segno al determinante. Cerchiamo allora un operatore del tipo:

$\hat{O}=\sum _{p=0}^N{O}_{lp}{\hat{b}}_p^{†}{\hat{b}}_p$

dove il segno corretto è nell'operatore $\hat{b}$. Indichiamo gli stati occupati con la notazione:

$|\underset{\text{nonoccupati}}{\underbrace{0,\dots ,0}},\underset{\text{occupati}}{\underbrace{\underset{{\alpha }_1}{\underset{\uparrow }{1}},\underset{{\alpha }_2}{\underset{\uparrow }{1}},\dots ,\underset{{\alpha }_N}{\underset{\uparrow }{1}}}}⟩$

allora risulta:

$b_p|0,\dots ,0,1,\dots ,\underset{\text{p-simo}}{\underset{\uparrow }{1}},\dots ,1⟩=(-1{)}^{\sum _{{\alpha }_i<p}{\alpha }_i}|0,\dots ,0,1,\dots ,\underset{\text{p-simo}}{\underset{\uparrow }{0}},\dots ,1⟩$

dove con $\sum _{{\alpha }_i<p}{\alpha }_i$ si intende il numero di stati che precedono il p-simo. Più in generale se:

$\begin{array}{cc}{\hat{b}}_p& =(-1{)}^{\sum _{{\alpha }_i<p}{\alpha }_i}{n}_p\\ {\hat{b}}_p^{†}& =(-1{)}^{\sum _{{\alpha }_i<p}{\alpha }_i}(1-n_p)\end{array}$

allora ${\hat{b}}_p$ e ${\hat{b}}_p^{†}$ apportano il segno giusto. Consideriamo infatti per semplicità il caso $l>p$.

$\begin{array}{cc}& {\hat{b}}_l^{†}{\hat{b}}_p|0,\dots ,0,1,\dots ,\underset{p}{\underset{\uparrow }{1}},\dots ,\underset{l}{\underset{\uparrow }{0}},\dots ,1⟩={\hat{b}}_l^{†}(-1{)}^{\sum _{i=0}^{p-1}{\alpha }_i}|0,\dots ,0,1,\dots ,\underset{p}{\underset{\uparrow }{0}},\dots ,\underset{l}{\underset{\uparrow }{0}},\dots ,1⟩=\\ & =(-1{)}^{\sum _i^{p-1}{\alpha }_i}(-1{)}^{[\sum _{i=0}^{p-1}{\alpha }_i+\sum _{i=p+1}^N{\alpha }_i]}|0,\dots ,0,1,\dots ,\underset{p}{\underset{\uparrow }{0}},\dots ,\underset{l}{\underset{\uparrow }{1}},\dots ,1⟩=\\ & =(-1{)}^{\sum _{i=p+1}^N{\alpha }_i}=|0,\dots ,0,1,\dots ,\underset{p}{\underset{\uparrow }{0}},\dots ,\underset{l}{\underset{\uparrow }{1}},\dots ,1⟩\end{array}$

e $\sum _{i=p+1}^N{\alpha }_i$ è proprio il numero di posti di cui si è scambiato lo stato. Come si vede, l'operatore ${\hat{b}}_l^{†}$ crea un fermione nello stato $l$ e l'operatore ${\hat{b}}_p$ distrugge un fermione nello stato $p$ e sono chiamati pertanto rispettivamente operatore fermionico di creazione e operatore fermionico di distruzione.

Segue dalla definizione degli operatori ${\hat{b}}_p$:

$\begin{array}{c}{\hat{b}}_l{\hat{b}}_p+{\hat{b}}_l{\hat{b}}_p=0\mathrm{\forall }l,p\end{array}$

infatti se $l>p$:

${\hat{b}}_l{\hat{b}}_p|\dots ,\underset{p}{\underset{\uparrow }{1}},\dots ,\underset{l}{\underset{\uparrow }{1}},\dots ⟩={\hat{b}}_l(-1{)}^{\sum _{i=1}^{p-1}{\alpha }_i}|\dots ,\underset{p}{\underset{\uparrow }{0}},\dots ,\underset{l}{\underset{\uparrow }{1}},\dots ⟩=(-1{)}^{\sum _{i=p+1}^{l-1}{\alpha }_i}|\dots ,\underset{p}{\underset{\uparrow }{0}},\dots ,\underset{l}{\underset{\uparrow }{0}},\dots ⟩$

quando si calcola ${\hat{b}}_p{\hat{b}}_l$, ${\hat{b}}_l$ agisce su uno stato occupato in più e ha quindi un segno meno in più che annulla la somma. In modo analogo si ricavano le regole:

$\begin{array}{cc}{\hat{b}}_l^{†}{\hat{b}}_p+{\hat{b}}_p{\hat{b}}_l^{†}& ={\delta }_{lp}\\ {\hat{b}}_l^{†}{\hat{b}}_p^{†}+{\hat{b}}_p^{†}{\hat{b}}_l^{†}& =0\mathrm{\forall }l,p\end{array}$

In maniera analoga a quanto fatto per i bosoni, è possibile introdurre degli operatori definiti come:

$\begin{array}{cc}\hat{\mathrm{\Psi }}(\overrightarrow{r})& =\sum _{h=1}^n{\phi }_h(\overrightarrow{r}){\hat{b}}_h\\ {\hat{\mathrm{\Psi }}}^{†}({\overrightarrow{r}}^{\prime })& =\sum _{k=1}^n{\phi }_k^{\ast }({\overrightarrow{r}}^{\prime }){\hat{b}}_k^{†}\end{array}$

Siccome $\hat{b}$ e ${\hat{b}}^{†}$ anticommutano risulta, ancora in analogia al formalismo bosonico:

$[\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{r}),\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{r})]=[{\mathrm{\Psi }}^{†}({\overrightarrow{r}}^{\prime }),{\mathrm{\Psi }}^{†}({\overrightarrow{r}}^{\prime })]=0$

e:

$[\hat{\mathrm{\Psi }}(\overrightarrow{r}),{\hat{\mathrm{\Psi }}}^{†}({\overrightarrow{r}}^{\prime })]=\sum _{h,k=1}^l{\phi }_h(\overrightarrow{r}){\phi }_k^{\ast }({\overrightarrow{r}}^{\prime })[{\hat{b}}_h,]{\hat{b}}_k^{†}=\sum _{h=1}^l{\phi }_h(\overrightarrow{r}){\phi }_h^{\ast }({\overrightarrow{r}}^{\prime })=\delta (\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime })$

Si vede che l'operatore ${\hat{\mathrm{\Psi }}}^{†}({\overrightarrow{r}}^{\prime })$ crea un fermione nella posizione ${\overrightarrow{r}}^{\prime }$ e l'operatore $\hat{\mathrm{\Psi }}(\overrightarrow{r})$ distrugge un fermione nella posizione $\overrightarrow{r}$ e sono dunque chiamati operatori di campo fermionico.

Da notare che i campi associati non sono osservabili, in quanto se si introduce in questa trattazione anche il tempo risulta che questi operatori non commutano su distanze time-like.