Meccanica quantistica relativistica/Quantizzazione dell'interazione fotone-elettrone

Classicamente, l'interazione di un sistema di cariche con quadricorrente $j_{\mu }=(e,\varrho {\vec {v}}/c)$ con un campo elettromagnetico di potenziale vettore $a_{\mu }=(\phi ,{\vec {A}})$ è descritta da:

$H'(t)=e\int _{0}^{+\infty }j_{\mu }({\vec {r}},t)A^{\mu }({\vec {r}},t)d{\vec {r}}$

In elettrodinamica quantistica (d'ora in poi, QED) questa forma viene mantenuta, con la riserva però di considerare la quantità in questa formula come degli operatori la cui forma verrà ricavata qui di seguito. Si userà nel seguito anche la notazione ${\bar {\psi }}\equiv \psi ^{\dagger }\gamma _{0}$. Detto quindi $\psi$ questo campo di Dirac, è naturale costruire il vettore corrente:

$j_{\mu }={\bar {\psi }}\gamma _{\mu }\psi$

mediante il quale l'interazione fra fermione e campo elettromagnetico si scrive:

$H'(t)=e\int _{0}^{+\infty }{\bar {\psi }}({\vec {r}},t)\gamma _{\mu }\psi ({\vec {r}},t)A^{\mu }({\vec {r}},t)d{\vec {r}}$

cioè l'ampiezza di probabilità del dato fenomeno è il modulo quadro dell'elemento di matrice fra lo stato finale e lo stato iniziale dell'operatore:

$e^{-{\frac {i}{\hbar }}\int H'(t)dt}=e^{-i{\frac {e}{\hbar c}}\int {\bar {\psi }}({\vec {r}},t)\gamma _{\mu }\psi ({\vec {r}},t)A^{\mu }({\vec {r}},t)d^{4}x_{\mu }}$

I campi coinvolti in questa espressione sono:

${\begin{aligned}A_{\mu }&=\sum _{\alpha ,k}\left[e^{\mu }(\alpha ,k)a_{\alpha ,k}e^{-ik_{\mu }x^{\mu }}+e^{\ast \mu }(\alpha ,k)a_{\alpha ,k}^{\dagger }e^{ik_{\mu }x^{\mu }}\right]\\\psi &=\sum _{\beta ,p}\left[u(\beta ,p)b_{\beta ,-p}e^{-i{\frac {p_{\mu }}{\hbar }}x^{\mu }}+v(\beta ,p)b_{\beta ,p}e^{i{\frac {p_{\mu }}{\hbar }}x^{\mu }}\right]\\{\bar {\psi }}&=\sum _{\beta ,p}\left[{\bar {u}}(\beta ,p)b_{\beta ,-p}^{\dagger }e^{i{\frac {p_{\mu }}{\hbar }}x^{\mu }}+{\bar {v}}(\beta ,-p)b_{\beta ,p}^{\dagger }e^{-i{\frac {p_{\mu }}{\hbar }}x^{\mu }}\right]\end{aligned}}$

In questo modo, dalla relazione sulla hamiltoniana si vede che i processi elementari che possono avvenire in un punto dato sono otto, e precisamente:

1. distruzione di un fotone e di un $e^{-}$, creazione di un altro $e^{-}$ ($ab_{-}b_{-}^{\dagger }$),
2. distruzione di un fotone, di un $e^{-}$ e di un $e^{+}$ ($ab_{-}b_{+}$),
3. distruzione di un fotone, creazione di un $e^{-}$ e di un $e^{+}$ ($ab_{-}^{\dagger }b_{+}^{\dagger }$),
4. distruzione di un fotone e di un $e^{+}$ e creazione di un altro $e^{+}$ ($ab_{+}b_{+}^{\dagger }$),
5. distruzione di un $e^{-}$, creazione di un altro $e^{-}$ e di un fotone ($a^{\dagger }b_{-}b_{-}^{\dagger }$),
6. distruzione di un $e^{-}$ e di un $e^{+}$, creazione di un fotone ($a^{\dagger }b_{-}b_{+}$),
7. creazione di un fotone, un $e^{+}$ e di un $e^{-}$ ($a^{\dagger }b_{+}^{\dagger }b_{-}^{\dagger }$),
8. distruzione di un $e^{+}$, creazione di un altro $e^{+}$ e di un fotone ($a^{\dagger }b_{+}^{\dagger }b_{+}$).

la cui interazione è descritta proprio dalla hamiltoniana di sopra in cui si sono sostituite le espressioni dei campi date sopra.

Nel seguito si studieranno i processi di interazione cariche-campo elettromagnetico a diversi ordini della carica elettrica $e$, ottenuti sviluppando in serie la forma:

$e^{-i{\frac {e}{\hbar c}}\int {\bar {\psi }}({\vec {r}},t)\gamma _{\mu }\psi ({\vec {r}},t)A^{\mu }({\vec {r}},t)d^{4}x_{\mu }}=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {e^{n}}{n!}}\,\left({\frac {-i}{\hbar c}}\right)^{n}\left|\int {\bar {\psi }}({\vec {r}},t)\gamma _{\mu }\psi ({\vec {r}},t)A^{\mu }({\vec {r}},t)d^{4}x_{\mu }\right|^{n}$

Interazione cariche-campo elettromagnetico al primo ordine in e

Al primo ordine in $e$, l'operatore diventa:

$-i{\frac {e}{\hbar c}}\int {\bar {\psi }}({\vec {r}},t)\gamma _{\mu }\psi ({\vec {r}},t)A^{\mu }({\vec {r}},t)d^{4}x_{\mu }$

Dei fenomeni possibili, si consideri ad esempio il fenomeno 5): un elettrone di quadrimpulso $p_{1}$ viene distrutto e al suo posto viene creato un elettrone di quadrimpulso $p_{2}$ e un fotone $k$. In questo caso si ha:

${\begin{aligned}&\int {\bar {\psi }}({\vec {r}},t)\gamma _{\mu }\psi ({\vec {r}},t)A^{\mu }({\vec {r}},t)d^{4}x_{\mu }=\\&\quad =\int {\bar {u}}(\beta _{2},p_{2})b_{\beta _{2},-p_{2}}^{\dagger }e^{i{\frac {{p_{2}}_{\mu }}{\hbar }}x^{\mu }}\,\gamma _{\mu }\,u(\beta _{1},p_{1})b_{\beta _{1},-p_{1}}^{\dagger }e^{i{\frac {{p_{1}}_{\mu }}{\hbar }}x^{\mu }}e^{\mu }(\alpha ,k)a_{\alpha ,k}^{\dagger }e^{ik_{\mu }x^{\mu }}d^{4}x_{\mu }=\\&\quad ={\bar {u}}(\beta _{2},p_{2})\gamma _{\mu }u(\beta _{1},p_{1})e^{\mu }(\alpha ,k)\int e^{{\frac {i}{\hbar }}({p_{2}}_{\mu }-{p_{1}}_{\mu }+\hbar k_{\mu })x^{\mu }}d^{4}x_{\mu }\;b_{\beta _{2},-p_{2}}^{\dagger }b_{\beta _{1},-p_{1}}^{\dagger }a_{\alpha ,k}^{\dagger }=\\&\quad ={\bar {u}}(\beta _{2},p_{2})\gamma _{\mu }u(\beta _{1},p_{1})e^{\mu }(\alpha ,k)(2\pi )^{4}\delta ^{4}\left({\frac {{p_{2}}_{\mu }}{\hbar }}-{\frac {{p_{1}}_{\mu }}{\hbar }}+k_{\mu }\right)\;b_{\beta _{2},-p_{2}}^{\dagger }b_{\beta _{1},-p_{1}}^{\dagger }a_{\alpha ,k}^{\dagger }\end{aligned}}$

dove la presenza della delta (che deriva dall'integrale) porta alla condizione:

${p_{1}}_{\mu }={p_{2}}_{\mu }+\hbar k_{\mu }$

che esprime la conservazione del quadrimpulso. Tuttavia, per il processo in esame questa relazione non può essere verificate in quanto, se ci si mette per esempio nel sistema di riferimento in quiete rispetto al primo elettrone (dove $E_{1}=mc^{2}$, ${\vec {p}}_{1}=0$), l'altro elettrone deve avere una energia maggiore, il che non può essere. In altre parole, non è possibile che da un elettrone fermo e senza nessuna azione esterna se ne origini un altro in moto con in più l'emissione di un fotone. Formalmente, questo si vede dal fatto che valendo $p_{\mu }p^{\mu }=E^{2}-c^{2}{\vec {p}}^{2}=m^{2}c^{4}$:

${\begin{aligned}\hbar ^{2}k_{\mu }k^{\mu }&=({p_{1}}_{\mu }-{p_{2}}_{\mu })({p_{1}}^{\mu }-{p_{2}}^{\mu })={p_{1}}_{\mu }{p_{1}}^{\mu }+{p_{2}}_{\mu }{p_{2}}^{\mu }-2{p_{1}}_{\mu }{p_{2}}^{\mu }=m^{2}c^{4}+m^{2}c^{4}-2{p_{1}}_{\mu }{p_{2}}^{\mu }=\\&=2(m^{2}c^{4}-E_{1}E_{2}+{\vec {p}}_{1}\cdot {\vec {p}}_{2})=2(m^{2}c^{4}-mc^{2}E_{2})=2mc^{2}(mc^{2}-E_{2})\neq 0\end{aligned}}$

in quanto $E_{2}>mc^{2}$, d'altra parte vale $k_{\mu }k^{\mu }=|{\vec {k}}|^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}$, per cui la condizione nella delta è impossibile da verificarsi e il fenomeno fisico descritto non può avvenire. Si può ragionare in modo analogo per gli altri sette fenomeni di interazione, per cui si deduce che nessuno di questi è possibile. Quindi, gli otto processi elementari descritti non sono realizzabili al primo ordine.

Prodotto cronologico

Agli ordini successivi di approssimazione compaiono prodotti di operatori che in generale non commutano fra loro. Al secondo ordine si ha:

$-{\frac {e^{2}}{2\hbar ^{2}c^{2}}}\int {\bar {\psi }}(x_{2})\gamma _{\mu }\psi (x_{2})A^{\mu }(x_{2}){\bar {\psi }}(x_{1})\gamma _{\nu }\psi (x_{1})A^{\nu }(x_{1})d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}$

sembrerebbe dunque essere presente una certa ambiguità nella definizione dell'operatore in termini di serie, tuttavia questa ambiguità viene completamente rimossa grazie alle seguenti considerazioni. Nello sviluppo, si può scrivere la potenza $n$-sima dell'integrale come un integrale di molteplicità $n$, cioè:

$e^{-{\frac {i}{\hbar }}\int H'(t)dt}=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int \dots \int \left[H'_{1}(t)H'_{2}(t)\cdots H'_{n}(t)\right]dt_{1}dt2\cdots dt_{n}$

In questo modo, si interpreta un processo all'oridne $n$ come una successione ordinata di $n$ processi elementari: l'ordine temporale di tale successione fornisce allora l'ordine nel prodotto di operatori (naturalmente, in modo inverso). Così, ad esempio, se un processo di ordine $n$ è dato dalla successione degli $n$ processi descritti rispettivamente da $H'_{1}(t)H'_{2}(t)\cdots H'_{n}(t)$, nell'ordine temporale, ad esempio, $t_{3}<t_{1}<t_{2}<t_{h}<\ldots <t_{n}$, il prodotto in parentesi si scrive ordinatamente $H'(t_{n})\cdots H'(t_{h})H'(t_{2})H'(t_{1})H'(t_{3})$. Per esplicitare questo ordine cronologico si scrive formalmente:

${\hat {T}}e^{-{\frac {i}{\hbar }}\int H'(t)dt}={\hat {T}}e^{-i{\frac {e}{\hbar c}}\int {\bar {\psi }}({\vec {r}},t)\gamma _{\mu }\psi ({\vec {r}},t)A^{\mu }({\vec {r}},t)d^{4}x_{\mu }}$