Meccanica quantistica relativistica/Operatore energia, impulso e momento angolare

Dimostreremo ora che l'operatore ${\hat {W}}$ può essere effettivamente interpretato come operatore energia, in analogia all'equazione di Schrödinger.

Dalla sua definizione, il valore medio è dato da:

$\langle {\hat {W}}\rangle =\int _{-\infty }^{+\infty }{\vec {f}}_{k}^{\ast }{\hat {W}}{\vec {f}}_{k}d{\vec {k}}=\int _{-\infty }^{+\infty }k{\vec {f}}_{k}^{\ast }{\vec {f}}_{k}d{\vec {k}}$

Si noti incidentalmente che per particelle a massa nulla, siccome vale $E^{2}-k^{2}=0$, la relazione risulta automaticamente dimostrata.

L'energia del campo elettromagnetico è data da:

${\mathcal {E}}={\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{+\infty }\left({\vec {E}}^{2}+{\vec {H}}^{2}\right)d{\vec {r}}={\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{+\infty }\left({\vec {E}}_{k}\cdot {\vec {E}}_{k'}+{\vec {H}}_{k}\cdot {\vec {H}}_{k'}\right)e^{i({\vec {k}}+{\vec {k}}')\cdot {\vec {r}}}d{\vec {k}}\,d{\vec {k}}'\,d{\vec {r}}$

e siccome vale la relazione:

$\int _{-\infty }^{+\infty }e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}=(2\pi )^{2}\delta ({\vec {k}})$

si ricava per l'energia:

${\mathcal {E}}={\frac {(2\pi )^{3}}{2}}\int _{-\infty }^{+\infty }\left({\vec {E}}_{k}\cdot {\vec {E}}_{-k}+{\vec {H}}_{k}\cdot {\vec {H}}_{-k}\right)d{\vec {k}}$

ma ${\vec {H}}_{k}={\frac {i}{k^{2}}}{\vec {k}}\times {\vec {\dot {E}}}_{k}$ per cui risulta:

${\vec {H}}_{k}\cdot {\vec {H}}_{-k}={\frac {1}{k^{2}}}{\vec {\dot {E}}}_{k}{\vec {\dot {E}}}_{-k}$

e si ottiene:

${\mathcal {E}}=4\pi ^{3}\int _{-\infty }^{+\infty }\left({\vec {E}}_{k}\cdot {\vec {E}}_{-k}+{\frac {1}{k^{2}}}{\vec {\dot {E}}}_{k}{\vec {\dot {E}}}_{-k}\right)d{\vec {k}}$

In termini di ${\vec {f}}$ risulta:

${\mathcal {E}}=4\pi ^{3}\int _{-\infty }^{+\infty }N^{2}(k)\left[\left({\vec {f}}_{k}+{\vec {f}}_{-k}^{\ast }\right)\left({\vec {f}}_{-k}+{\vec {f}}_{k}^{\ast }\right)-\left({\vec {f}}_{k}-{\vec {f}}_{-k}^{\ast }\right)\left({\vec {f}}_{-k}-{\vec {f}}_{k}^{\ast }\right)\right]d{\vec {k}}$

ovvero:

${\begin{aligned}{\mathcal {E}}&=4\pi ^{3}\int _{-\infty }^{+\infty }N^{2}(k)\left[{\cancel {{\vec {f}}_{k}\cdot {\vec {f}}_{-k}}}+{\vec {f}}_{k}\cdot {\vec {f}}_{k}^{\ast }+{\vec {f}}_{-k}\cdot {\vec {f}}_{-k}^{\ast }+{\cancel {{\vec {f}}_{-k}^{\ast }\cdot {\vec {f}}_{k}^{\ast }}}-\right.\\&\quad \left.{\cancel {-{\vec {f}}_{k}\cdot {\vec {f}}_{-k}}}+{\vec {f}}_{k}\cdot {\vec {f}}_{k}^{\ast }+{\vec {f}}_{-k}^{\ast }{\vec {f}}_{-k}-{\cancel {{\vec {f}}_{-k}^{\ast }\cdot {\vec {f}}_{k}^{\ast }}}\right]d{\vec {k}}=\\&=16\pi ^{3}\int _{-\infty }^{+\infty }N^{2}(k){\vec {f}}_{k}^{\ast }\cdot {\vec {f}}_{k}d{\vec {k}}\end{aligned}}$

e questa è esattamente la definizione di valor medio di ${\hat {W}}$ a patto di porre:

$N(k)={\sqrt {\frac {k}{4\pi ^{3}}}}$

e cioè l'operatore ${\hat {W}}$ rappresenta effettivamente l'energia se:

${\begin{cases}{\vec {E}}_{k}&=\displaystyle {\sqrt {\frac {k}{4\pi ^{3}}}}\left({\vec {f}}_{k}+{\vec {f}}_{-k}^{\ast }\right)\\[2ex]{\vec {\dot {E}}}_{k}&=-\displaystyle {\frac {i}{4\pi }}{\sqrt {\frac {k^{3}}{\pi }}}\left({\vec {f}}_{k}+{\vec {f}}_{-k}^{\ast }\right)\end{cases}}$

Sia ora una soluzione con $k=\omega$, cioè del tipo $f_{k}=f_{k}^{0}e^{-i\omega t}$. L'energia è quindi fissata da $\omega$:

$\langle \omega \rangle =\omega \int _{-\infty }^{+\infty }{\vec {f}}_{k}^{\ast }\cdot {\vec {f}}_{k}d{\vec {k}}$

il che implica che le ${\vec {f}}_{k}$ siano normalizzate.

Riscriviamo ora l'impulso associato al campo. Il vettore di Poynting ha la forma:

${\vec {p}}=\int _{-\infty }^{+\infty }\left({\vec {E}}\times {\vec {H}}\right)d{\vec {r}}$

ovvero:

${\vec {p}}=\int _{-\infty }^{+\infty }\left[{\vec {E}}_{k}\times {\vec {H}}_{k'}\right]e^{i({\vec {k}}+{\vec {k}}')\cdot {\vec {r}}}d{\vec {k}}\,d{\vec {k}}'\,d{\vec {r}}=2\pi ^{3}\int _{-\infty }^{+\infty }\left({\vec {E}}_{k}\times {\vec {H}}_{k}\right)d{\vec {k}}$

ma:

${\vec {E}}_{k}\times {\vec {H}}_{k}={\vec {E}}_{k}\times \left(-{\frac {i}{k^{2}}}{\vec {k}}\times {\vec {\dot {E}}}_{-k}\right)$

e l'ultimo termine per la regola sul prodotto triplo fornisce:

$-{\frac {i}{k^{2}}}\left({\vec {E}}_{k}\cdot {\vec {\dot {E}}}_{-k}\right){\vec {k}}$

da cui:

${\vec {p}}=-(i2\pi ^{3})\int _{-\infty }^{+\infty }\left({\vec {E}}_{k}\cdot {\vec {\dot {E}}}_{-k}\right){\frac {\vec {k}}{k^{2}}}d{\vec {k}}$

ed esprimendo in questa equazione i campi in termini delle ${\vec {f}}_{k}$:

${\begin{aligned}{\vec {p}}&=-(i2\pi ^{3})\int _{-\infty }^{+\infty }N^{2}(k)\left({\vec {f}}_{k}+{\vec {f}}_{-k}^{\ast }\right)ik\left({\vec {f}}_{-k}-{\vec {f}}_{k}^{\ast }\right)d{\vec {k}}=\\&={\frac {(2\pi )^{3}}{16\pi ^{3}}}\int _{-\infty }^{+\infty }k^{2}{\frac {\vec {k}}{k^{2}}}\left[{\vec {f}}_{k}\cdot {\vec {f}}_{-k}-{\vec {f}}_{k}\cdot {\vec {f}}_{k}^{\ast }+{\vec {f}}_{-k}^{\ast }{\vec {f}}_{-k}-{\vec {f}}_{-k}^{\ast }{\vec {f}}_{k}^{\ast }\right]d{\vec {k}}\end{aligned}}$

ma $({\vec {f}}_{k}\cdot {\vec {f}}_{-k})^{\ast }=({\vec {f}}_{k}\cdot {\vec {f}}_{-k})$ in quanto sono reali. Si ottiene pertanto:

${\vec {p}}=\int _{-\infty }^{+\infty }{\vec {k}}\left({\vec {f}}_{k}\cdot {\vec {f}}_{k}^{\ast }\right)d{\vec {k}}$

e quindi ${\vec {k}}$ è proprio l'impulso associato al fotone. Nello spazio delle $x$:

${\vec {F}}({\vec {r}})=\int _{-\infty }^{+\infty }{\vec {f}}_{k}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}d{\vec {k}}$

ma in realtà la ${\vec {F}}({\vec {r}})$ non è interpretabile dal punto di vista probabilistico. Infatti, per poter localizzare un fotone, questo deve necessariamente interagire con i campi ${\vec {H}}$:

${\vec {E}}_{k}=N({\vec {k}})\left({\vec {f}}_{k}+{\vec {f}}_{-k}^{\ast }\right)\qquad \qquad {\vec {E}}({\vec {r}})=\int _{-\infty }^{+\infty }{\vec {E}}_{k}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}d{\vec {k}}$

La presenza di una radice di $k$ ci conduce infatti a una ${\sqrt[{4}]{\nabla ^{2}}}$ e questo significa che determinare la ${\vec {F}}({\vec {r}})$ non è sufficiente per determinare i campi ${\vec {E}}({\vec {r}})$ e ${\vec {H}}({\vec {r}})$. In altri termini: il fotone non è localizzabile esattamente e addirittura per lunghezze d'onda inferiori a quelle del fotone non ha nemmeno senso il concetto di localizzazione.

Consideriamo ora il momento angolare associato al campo elettromagnetico.

${\vec {M}}=\int _{-\infty }^{+\infty }({\vec {r}}\times {\vec {p}})d{\vec {r}}=\int _{-\infty }^{+\infty }{\vec {r}}\times ({\vec {E}}\times {\vec {H}})d{\vec {r}}=\int _{-\infty }^{+\infty }{\vec {r}}\times ({\vec {E}}_{k}\times {\vec {H}}_{k'})e^{i({\vec {k}}+{\vec {k}}')\cdot {\vec {r}}}d{\vec {k}}\,d{\vec {k}}'\,d{\vec {r}}$

in questo caso non si può estrarre la delta dall'integrale. Però, notando che:

$\int _{-\infty }^{+\infty }{\vec {r}}e^{i({\vec {k}}+{\vec {k}}')\cdot {\vec {r}}}d{\vec {r}}=-i{\vec {\nabla }}_{k'}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{i({\vec {k}}+{\vec {k}}')\cdot {\vec {r}}}d{\vec {r}}=-i(2\pi )^{3}{\vec {\nabla }}_{k'}\delta ^{3}({\vec {k}}+{\vec {k}}')$

e sostituendo:

${\vec {M}}=-i(2\pi )^{3}\int _{-\infty }^{+\infty }\left[{\vec {\nabla }}_{k'}\delta ^{3}({\vec {k}}+{\vec {k}}')\right]\times ({\vec {E}}_{k}\times {\vec {H}}_{k'})d{\vec {k}}\,d{\vec {k}}'$

si può quindi integrare per parti e (trascurando i termini a infinito che si annullano) ottenere:

${\vec {M}}=-i(2\pi )^{3}\int _{-\infty }^{+\infty }\delta ^{3}({\vec {k}}+{\vec {k}}'){\vec {\nabla }}_{k'}\times ({\vec {E}}_{k}\times {\vec {H}}_{k'})d{\vec {k}}\,d{\vec {k}}'$

che riscritta in termini delle ${\vec {f}}_{k}$:

${\vec {M}}=\int _{-\infty }^{+\infty }\left\{-i\left[{\vec {k}}\times {\vec {\nabla }}({\vec {f}}_{k}^{\ast c}\cdot {\vec {f}}_{k})\right]-i({\vec {f}}_{k}^{\ast }\times {\vec {f}}_{k})\right\}d{\vec {k}}$

dove con la notazione ${\vec {f}}_{k}^{\ast c}$ si intende "considerato costante sotto l'operatore ${\vec {\nabla }}$".

Questa equazione rappresenta di fatto il valore medio dell'operatore momento angolare:

$M_{j}=\int _{-\infty }^{+\infty }\left[-i{\vec {f}}_{k}^{\ast i}\left({\vec {k}}\times {\vec {\nabla }}\right)_{j}{\vec {f}}_{k}^{i}-i\epsilon _{ilj}{\vec {f}}_{k}^{\ast i}{\vec {f}}_{k}^{l}\right]d{\vec {k}}$

In questa equazione può essere facilmente riconosciuto un termine che rappresenta il noto momento angolare:

${\begin{aligned}{\hat {M}}={\vec {k}}\times {\vec {\nabla }}\qquad {\text{Operatore Momento Angolare}}\end{aligned}}$

più un altro termine di momento angolare $i\epsilon _{ilj}{\vec {f}}_{k}^{\ast i}{\vec {f}}_{k}^{l}$ che deve pertanto essere riconosciuto come il momento angolare associato allo spin, il cui operatore è quindi definito da:

${\begin{aligned}(s_{i}{\vec {f}}_{k})_{j}=-(s_{j}{\vec {f}}_{k})_{i}=-i\epsilon _{ilj}{\vec {f}}_{k}^{l}\qquad {\text{Operatore spin}}\end{aligned}}$

Formalmente quindi:

${\begin{aligned}{\vec {M}}=\int _{-\infty }^{+\infty }{\vec {f}}_{k}^{\ast }\left[-i{\vec {k}}\times {\vec {\nabla }}+{\vec {s}}\right]{\vec {f}}_{k}d{\vec {k}}\end{aligned}}$