Meccanica quantistica relativistica/Impostazione del problema

Nella meccanica quantistica non relativistica a ogni osservabile è associato un operatore hermitiano. Valgono il principio di corrispondenza e di sovrapposizione (che deriva dalla linearità dell'equazione):

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{cc}\hat{x}& \to x\\ \hat{p}& \to \frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial x}\end{array}\psi =\sum _n{a}_n{\psi }_n\end{array}$

e la media di un operatore $\hat{\mathrm{\Omega }}$ è data da:

$⟨\hat{\mathrm{\Omega }}⟩=\int {\psi }^{\ast }\hat{\mathrm{\Omega }}\psi d^{3}x$

L'interpretazione probabilistica della meccanica quantistica ci fornisce inoltre un'equazione di continuità per le probabilità:

${\psi }^{\ast }\psi =\varrho \frac{\partial }{\partial t}=i\hslash \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot [(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{\psi }^{\ast })\psi -{\psi }^{\ast }\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\psi ]=\overrightarrow{ȷ}$

dove la densità $\varrho$ è definita positiva.

La conseguenza fondamentale della meccanica quantistica è la relazione di indeterminazione $\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }p\ge \hslash /2$. A questo, la relatività aggiunge "solo" la condizione $v<c$ e la relazione $E^2=m^2{c}^4+p^2{c}^2$. Questo ha tuttavia grosse implicazioni sullo scarto indotto da $p$ (e quindi da $q$) su $E$:

$\mathrm{\Delta }E=\mathrm{\Delta }\left(\sqrt{m^2{c}^4-p^2{c}^2}\right)$

Lo scarto indotto su $E$ da $p$ è esprimibile anche come $\mathrm{\Delta }E=\frac{\partial E}{\partial p}\mathrm{\Delta }p<math>,percui:<math>\mathrm{\Delta }E=\frac{c^{2}p}{\sqrt{m^2{c}^4-p^2{c}^2}}\mathrm{\Delta }p=\frac{c^{2}p}{E}\mathrm{\Delta }p$

Ricordando che $p=\frac{Ev}{c^2}$ e utilizzando il principio di indeterminazione:

$\mathrm{\Delta }E=\frac{c^{2}p}{E}\mathrm{\Delta }p=v\mathrm{\Delta }p\to \frac{\delta q\mathrm{\Delta }E}{v}\simeq \hslash \to \mathrm{\Delta }q\mathrm{\Delta }E\simeq v\hslash$

e $v\hslash$ è una costante che al massimo vale $c\hslash$, per cui se $\delta q\to 0$, $\mathrm{\Delta }E\to \mathrm{\infty }$. Ma sappiamo che l'energia contribuisce alla massa, per cui all'aumentare di $\mathrm{\Delta }E$ ci si deve aspettare la creazione di nuove particelle. Una trattazione uniparticellare non è quindi più valida, il numero di particelle deve essere una variabile dinamica e questo non è come trattare un sistema a più particelle.

Vediamo ora cosa accade se cerchiamo direttamente una funzione d'onda che soddisfi la relazione relativistica fra energia e impulso: questo conduce all'equazione di Klein-Gordon.