Meccanica quantistica relativistica/Equazioni di Maxwell in forma quantistica

Consideriamo ora invece le equazioni di Maxwell nel vuoto e lavoriamo in unità naturali:

${\begin{cases}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {H}}&=0\\[1.5ex]{\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}&=\displaystyle {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\end{cases}}\qquad {\begin{cases}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}&=0\\[1.5ex]{\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}&=\displaystyle -{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}\end{cases}}$

Poiché non ha senso scriverle come un'equazione d'onda nello spazio delle $x$, passiamo nello spazio delle $k$ tramite la trasformata di Fourier:

${\begin{aligned}{\vec {E}}({\vec {r}})&=\int {\vec {E}}_{k}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}d{\vec {k}}\\{\vec {H}}({\vec {r}})&=\int {\vec {H}}_{k}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}d{\vec {k}}\end{aligned}}$

che sostituite nelle equazioni di Maxwell forniscono:

${\begin{cases}{\vec {k}}\cdot {\vec {H}}_{k}&=0\\i{\vec {k}}\times {\vec {H}}_{k}&={\vec {\dot {E}}}_{k}\end{cases}}\qquad {\begin{cases}{\vec {k}}\cdot {\vec {E}}_{k}&=0\\[1.5ex]-i{\vec {k}}\times {\vec {E}}_{k}&={\vec {\dot {H}}}_{k}\end{cases}}$

Bisogna ora naturalmente garantire che ${\vec {E}}={\vec {E}}^{\ast }$ e ${\vec {H}}={\vec {H}}^{\ast }$. Siccome vale:

${\vec {E}}^{\ast }({\vec {r}})=\int {\vec {E}}_{k}^{\ast }e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}d{\vec {k}}=\int {\vec {E}}_{-k}^{\ast }e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}d{\vec {k}}$

deve quindi risultare:

${\begin{cases}{\vec {E}}_{k}^{\ast }={\vec {E}}_{-k}\\{\vec {H}}_{k}^{\ast }={\vec {H}}_{-k}\end{cases}}$

che rappresentano sei condizioni.

Siccome:

$i{\vec {k}}\times {\vec {H}}_{k}={\vec {\dot {E}}}_{k}\quad \rightarrow \quad i{\vec {k}}\times [{\vec {k}}\times {\vec {H}}_{k}]={\vec {k}}\times {\vec {\dot {E}}}_{k}\quad \rightarrow \quad i({\vec {k}}\cdot {\vec {H}}_{k}){\vec {k}}-ik^{2}{\vec {H}}_{k}={\vec {k}}\times {\vec {\dot {E}}}_{k}$

si deduce senz'altro che:

${\vec {H}}_{k}={\frac {i}{k^{2}}}{\vec {k}}\times {\vec {\dot {E}}}_{k}$

Per svincolarsi ora dalla condizione di realtà si fa la posizione:

${\begin{cases}{\vec {E}}_{k}=N(k)\left({\vec {f}}_{k}+{\vec {f}}_{-k}^{\ast }\right)\\{\vec {\dot {E}}}_{k}=-ikN(k)\left({\vec {f}}_{k}+{\vec {f}}_{-k}^{\ast }\right)\end{cases}}$

dove $N(k)$ è una costante di normalizzazione che sarà calcolata fra breve. Questa relazione implica a sua volta:

${\begin{cases}{\vec {E}}_{k}={\vec {\dot {E}}}_{-k}\\{\vec {H}}_{k}={\vec {\dot {H}}}_{-k}\end{cases}}$

Si consideri ora l'equazione di Maxwell:

$i{\vec {k}}\times {\vec {E}}_{k}={\vec {\dot {H}}}_{k}$

sostituendo in questa l'espressione per ${\vec {H}}_{k}$ trovata sopra si trova:

$i{\vec {k}}\times {\vec {E}}_{k}={\frac {i}{k^{2}}}{\vec {k}}\times {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\vec {E}}_{k}\rightarrow i{\vec {k}}\left({\frac {1}{k^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\vec {E}}_{k}+{\vec {E}}_{k}\right)=0\rightarrow \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+k^{2}\right){\vec {E}}_{k}$

ovvero formalmente:

$\left({\frac {\partial }{\partial t}}+ik\right)\left({\frac {\partial }{\partial t}}-ik\right){\vec {E}}_{k}=0$

Essendo ora:

$\left({\frac {\partial }{\partial t}}-ik\right){\vec {E}}_{k}={\vec {\dot {H}}}_{k}-ik{\vec {H}}_{k}=ikN(k)\left({\vec {f}}_{k}-{\vec {f}}_{-k}^{\ast }\right)-ikN(k)\left({\vec {f}}_{k}+{\vec {f}}_{-k}^{\ast }\right)=-2ikN(k){\vec {f}}_{k}$

si può sostituire questo risultato nella precedente ottenendo:

$-\left({\frac {\partial }{\partial t}}+ik\right)2ikN(k){\vec {f}}_{k}=0$

ovvero:

${\begin{aligned}i{\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {f}}_{k}=k{\vec {f}}_{k}\end{aligned}}$

Dalle rimanenti equazioni si ricava invece:

${\vec {k}}\cdot {\vec {E}}_{k}=0\rightarrow {\vec {k}}\cdot {\vec {f}}_{k}+{\vec {k}}\cdot {\vec {f}}_{-k}^{\ast }=0$

${\vec {k}}\cdot \left({\frac {{\vec {k}}\times {\vec {\dot {E}}}_{k}}{k^{2}}}\right)=0\rightarrow {\vec {k}}\cdot {\vec {\dot {E}}}=0\rightarrow {\vec {k}}\cdot {\vec {f}}_{k}+{\vec {k}}\cdot {\vec {f}}_{-k}^{\ast }=0$

che implicano:

${\begin{cases}{\vec {k}}\cdot {\vec {f}}_{k}=0\\[1.5ex]{\vec {k}}\cdot {\vec {f}}_{-k}^{\ast }=0\end{cases}}$

ovvero:

${\begin{aligned}{\vec {k}}\cdot {\vec {f}}_{k}=0\end{aligned}}$

Combinando ora le due relazioni di sopra si ricava la seguente:

$i{\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {f}}_{k}=k{\vec {f}}_{k}-{\frac {\vec {k}}{k}}\left({\vec {k}}\cdot {\vec {f}}_{k}\right)\rightarrow i{\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {f}}_{k}=k\left[{\vec {f}}_{k}-{\frac {\vec {k}}{k^{2}}}\left({\vec {k}}\cdot {\vec {f}}_{k}\right)\right]$

che scritta per componenti fornisce:

${\begin{aligned}i{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\vec {f}}_{k}\right)_{i}={\hat {W}}_{ij}\left({\vec {f}}_{k}\right)_{j}\qquad \qquad {\hat {W}}_{ij}\equiv k\left(\delta _{ij}-{\frac {k_{i}\cdot k_{j}}{k^{2}}}\right)\end{aligned}}$

Consideriamo ora il prodotto scalare di questa con le $k_{i}$:

$i{\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {k}}\cdot {\vec {f}}_{k}=k_{i}{\hat {W}}_{ij}\left({\vec {f}}_{k}\right)_{j}$

ma:

$k_{i}{\hat {W}}_{ij}=k({\vec {k}}\cdot {\vec {f}}_{k}-{\vec {k}}\cdot {\vec {f}}_{k})$

e dunque ${\vec {k}}\cdot {\vec {f}}_{k}$ è soluzione di $i{\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {k}}\cdot {\vec {f}}_{k}=0$. In altre parole, imposto il valore ${\vec {k}}\cdot {\vec {f}}_{k}$ all'inizio, questo si conserva nel tempo.

Le equazioni di Maxwell si riducono quindi in definitiva a:

${\begin{cases}\displaystyle i{\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {k}}\cdot {\vec {f}}_{k}=k_{i}{\hat {W}}_{ij}\left({\vec {f}}_{k}\right)_{j}\\[2.5ex]\left.{\vec {k}}\cdot {\vec {f}}_{k}=0\right|_{0}\qquad {\text{Condizione Iniziale}}\\[1.5ex]\displaystyle {\hat {W}}_{ij}=k\left(\delta _{ij}-{\frac {k_{i}\cdot k_{j}}{k^{2}}}\right)\end{cases}}$

che di fatto è un'equazione di tipo Schrodinger con ${\hat {W}}_{ij}$ come operatore.