Meccanica quantistica relativistica/Sistemi di particelle identiche

Si consideri un sistema di particelle identiche e siano dati i due eventi:

• evento A: la particella 1 si trova nella posizione 1, la particella 2 nella posizione 2,
• evento B: la particella 1 si trova nella posizione 2, la particella 2 nella posizione 1

In meccanica quantistica, non potendosi definire una traiettoria, non è possibile distinguere gli eventi A e B, per cui indicate le rispettive funzioni d'onda con $\varphi ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})$ e $\varphi ({\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{1})$ deve risultare:

$|\varphi ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})|^{2}=|\varphi ({\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{1})|^{2}$

da cui discende immediatamente che:

$\varphi ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})=\pm \varphi ({\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{1})$

cioè le due funzioni d'onda devono possedere proprietà definite di simmetria nello scambio delle due particelle.

Le particelle che hanno il segno meno sono dette fermioni, mentre quelle che soddisfano il segno positivo sono dette bosoni.

Ne consegue subito che due fermioni non possono trovarsi nello stesso posto contemporaneamente in quanto risulta:

$\varphi ({\vec {r}},{\vec {r}})=-\varphi ({\vec {r}},{\vec {r}})\qquad \Rightarrow \qquad \varphi ({\vec {r}},{\vec {r}})=0$

Più in generale quindi la funzione d'onda dei fermioni deve avere la forma:

$\varphi ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})=\varphi _{\alpha }({\vec {r}}_{1})\varphi _{\beta }({\vec {r}}_{2})-\varphi _{\alpha }({\vec {r}}_{2})\varphi _{\beta }({\vec {r}}_{1})$

Dove le $\varphi _{\alpha }$ e $\varphi _{\beta }$ sono le funzioni d'onda dei singoli fermioni, supposti non interagenti.