Meccanica quantistica relativistica/Formalismo di seconda quantizzazione per bosoni

Consideriamo $N$ bosoni non interagenti e siano $\varphi _{\alpha _{j}}({\vec {r}}_{p_{j}})$ le funzioni d'onda di singola particella, dove $p_{j}$ indica il numero di particelle nello stato $\alpha _{j}$. Se le particelle non fossero identiche la funzione totale si scriverebbe come:

$\varphi _{1}({\vec {r}}_{1})\cdots \varphi _{1}({\vec {r}}_{p_{1}})\varphi _{2}({\vec {r}}_{p_{1}+1})\cdots \varphi _{2}({\vec {r}}_{p_{1}+p_{2}})\cdots \varphi _{\alpha _{l}}({\vec {r}}_{p_{1}+\cdots p_{l}=N})$

poiché però le particelle sono bosoni identici occorre prendere la somma su tutte le permutazioni non banali, ovvero permettere la permutazione delle prime $p_{1}$ particelle fra loro, delle seconde $p_{2}$ e così via. Queste permutazioni sono in numero di $N!/(p_{1}!\cdots p_{l}!)$ e quindi la funzione totale va anche moltiplicata per ${\sqrt {p_{1}!\cdots p_{l}!/N!}}$ per mantenere la normalizzazione. Si indichi con $|p_{1}\ldots p_{l}\rangle$ lo stato simmetrico ottenuto in questo modo.

Chiamiamo ora operatore collettivo un operatore definito come:

${\hat {O}}=\sum _{i=1}^{N}{\hat {O}}_{i}$

dove il singolo operatore ${\hat {O}}_{i}$ agisce sulla singola particella. Ricerchiamo quindi gli elementi di matrice di questo operatore ${\hat {O}}$. Se si suppone gli ${\hat {O}}_{i}$ diagonali, allora:

${\hat {O}}_{i}\varphi _{\alpha _{h}}({\vec {r_{j}}})=\delta _{ij}o_{h}\varphi _{\alpha _{h}}({\vec {r_{j}}})$

si ricava:

${\hat {O}}|p_{1}\cdots p_{l}\rangle =\sum _{h=1}^{N}o_{h}p_{h}|p_{1}\cdots p_{l}\rangle$

Se questi operatori soddisfano invece la relazione:

${\hat {O}}_{i}\varphi _{\alpha _{l}}({\vec {r_{j}}})=\delta _{ij}\delta _{lr}\varphi _{\alpha _{s}}({\vec {r_{j}}})$

questo agisce solo sulle funzioni d'onda relative alla particella $i=j$ e manda lo stato $\alpha _{r}$ ($l=r$) nello stato $\alpha _{s}$ con autovalore 1. In altre parole, questo operatore sposta $r$ in $s$: se lo stato $r$ manca esso non agisce, ma se è presente almeno una particella la manda nello stato $s$. Se inizialmente lo stato $r$ ha $p_{r}$ particelle e lo stato $s$ ne ha $p_{s}$, dopo l'azione dell'operatore lo stato $r$ si ritrova con $p_{r}-1$ particelle e lo stato $s$ con $p_{s}+1$. Gli elementi di matrice devono allora essere del tipo $\delta _{ps}\delta _{qr}$, a cui va aggiunta la normalizzazione.

Prima dell'azione degli ${\hat {O}}_{i}$ ci sono $N!/{\sqrt {p_{1}!\cdots p_{l}!}}$ addendi in $|p_{1}\cdots p_{l}\rangle$, dopo il numero dei prodotti degli stati per singola particella è:

${\frac {p_{r}N!}{p_{1}!\cdots p_{l}!}}$

con il fattore di normalizzazione ${\sqrt {p_{1}!\cdots p_{l}!/N!}}$. Per azione diretta si ricava il numero di termini:

${\frac {N!}{p_{1}\cdots (p_{r}-1)!(p_{s}+1)!\cdots p_{l}!}}$

con una normalizzazione data da ${\sqrt {p_{1}\cdots (p_{r}-1)!(p_{s}+1)!\cdots p_{l}!/N!}}$. Per confronto:

${\begin{aligned}{\frac {{\dfrac {p_{r}N!}{p_{1}!\cdots p_{l}!}}{\sqrt {\dfrac {p_{1}!\cdots p_{l}!}{N!}}}}{{\dfrac {N!}{p_{1}\cdots (p_{r}-1)!(p_{s}+1)!\cdots p_{l}!}}{\sqrt {\dfrac {p_{1}\cdots (p_{r}-1)!(p_{s}+1)!\cdots p_{l}!}{N!}}}}}=\\={\frac {p_{r}(p_{r}-1)!}{p_{r}!}}{\frac {(p_{s}+1)!}{p_{S}!}}{\sqrt {{\frac {p_{r}!}{(p_{r}-1)!}}{\frac {p_{s}!}{(p_{s}+1)!}}}}=(p_{s}+1){\sqrt {\frac {p_{r}}{p_{s}+1}}}\end{aligned}}$

da cui in definitiva:

${\hat {O}}|p_{1}\cdots p_{r}p_{s}\cdots p_{l}\rangle ={\sqrt {p_{r}(p_{s}+1)}}|p_{1}\cdots (p_{r}-1)(p_{s}+1)\cdots p_{l}\rangle$

L'analogia con gli operatori di creazione e distruzione suggerisce la definizione degli operatori:

${\begin{aligned}{\hat {a}}_{s}^{\dagger }|p_{1}\cdots p_{s}\cdots p_{l}\rangle &={\sqrt {p_{s}+1}}|p_{1}\cdots (p_{s}+1)\cdots p_{l}\rangle \\{\hat {a}}_{r}|p_{1}\cdots p_{r}\cdots p_{l}\rangle &={\sqrt {p_{r}-1}}|p_{1}\cdots (p_{s}+1)\cdots p_{l}\rangle \end{aligned}}$

che soddisfano la relazione $\left[a_{r},a_{s}^{\dagger }\right]=\delta _{rs}$. L'operatore ${\hat {a}}_{s}^{\dagger }$ crea una particella nello stato $s$ e l'operatore ${\hat {a}}_{r}<math>distruggeunaparticellanellostato<math>r$, sono chiamati pertanto rispettivamente operatore bosonico di creazione e operatore bosonico di distruzione.

In termini di questi operatori risulta:

${\hat {O}}=o_{sr}{\hat {a}}_{s}^{\dagger }{\hat {a}}_{r}$

Se si considera il generico operatore ${\hat {O}}$ con elementi di matrice ${\hat {O}}_{pq}$ che soddisfa la ${\hat {O}}_{pq}=\delta _{ps}\delta _{qr}{\hat {O}}_{sr}$, ricordando la definizione di ${\hat {O}}_{i}$ data sopra si può riscrivere come:

${\hat {O}}=\sum _{r,s=1}^{l}o_{sr}{\hat {a}}_{s}^{\dagger }{\hat {a}}_{r}$

Consideriamo infine gli operatori:

${\begin{aligned}{\hat {\Psi }}({\vec {r}})&=\sum _{h=1}^{n}\varphi _{h}({\vec {r}}){\hat {a}}_{h}\\{\hat {\Psi }}^{\dagger }({\vec {r}}')&=\sum _{k=1}^{n}\varphi _{k}^{\ast }({\vec {r}}'){\hat {a}}_{k}^{\dagger }\end{aligned}}$

Questi operatori soddisfano le relazioni:

$\left[{\hat {\Psi }}({\vec {r}}),{\hat {\Psi }}({\vec {r}})\right]=\left[{\hat {\Psi }}^{\dagger }({\vec {r}}),{\hat {\Psi }}^{\dagger }({\vec {r}})\right]=0$

e

$\left[{\hat {\Psi }}({\vec {r}}),{\hat {\Psi }}^{\dagger }({\vec {r}}')\right]=\sum _{h,k=1}^{l}\varphi _{h}({\vec {r}})\varphi _{k}^{\ast }({\vec {r}}')\left[{\hat {a}}_{h},{\hat {a}}_{k}^{\dagger }\right]=\sum _{h=1}^{l}\varphi _{h}({\vec {r}})\varphi _{h}^{\ast }({\vec {r}}')$

poiché le $\varphi _{h}({\vec {r}})$ sono anche un sistema completo, vale la relazione:

$\left[{\hat {\Psi }}({\vec {r}}),{\hat {\Psi }}^{\dagger }({\vec {r}}')\right]=\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}')$

Da queste relazioni si deduce che l'operatore ${\hat {\Psi }}^{\dagger }({\vec {r}}')$ crea una particella nella posizione ${\vec {r}}'$ e l'operatore ${\hat {\Psi }}({\vec {r}})$ distrugge una particella nella posizione ${\vec {r}}$. Questi operatori sono chiamati operatori di campo bosonico.