Meccanica quantistica relativistica/Quantizzazione del campo elettromagnetico

Si consideri il campo elettromagnetico $A_{\mu }$ in assenza di sorgenti. Esso soddisfa l'equazione $\square A_{\mu }=0$. Data l'arbitrarietà della scelta dei potenziali, si consideri la gauge di Lorenz in cui $\phi =0$ e di conseguenza il campo elettromagnetico è descritto solo dal potenziale vettore ${\vec {A}}$ che verifica le equazioni:

$\square {\vec {A}}=0\qquad \nabla \cdot {\vec {A}}=0$

Si osservi subito che:

$\square e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}=\left(-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}+|{\vec {k}}|^{2}\right)e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}$

per cui se vale la relazione:

${\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}={\vec {k}}^{2}$

una soluzione della prima delle equazioni sul potenziale vettore è proprio ${\vec {e}}({\vec {k}})e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}$, dove ${\vec {e}}({\vec {k}})$ è il versore indipendente dalla direzione di polarizzazione. Siccome poi vale anche:

${\begin{aligned}&{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {e}}({\vec {k}})e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}=\left[{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {e}}({\vec {k}})\right]e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}+{\vec {e}}({\vec {k}})\left[{\vec {\nabla }}\cdot e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}\right]=\\&=0+{\vec {e}}({\vec {k}})\left[{\vec {\nabla }}\cdot e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}\right]=ie^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}{\vec {k}}\cdot {\vec {e}}\end{aligned}}$

si ha che questa relazione soddisfa anche la seconda equazione sul potenziale vettore se vale ${\vec {k}}\cdot {\vec {e}}=0$, ovvero se le onde elettromagnetiche sono trasverse. In uno spazio tridimensionale i vettori ortogonali a uno dato sono solo due, per cui è più esplicito sostituire ${\vec {e}}_{\alpha }({\vec {k}})$ a ${\vec {e}}({\vec {k}})$, dove l'indice $\alpha$ può assumere solo due valori in corrispondenza delle due possibili polarizzazioni. Per questo, e siccome la prima è lineare omogenea, la sua soluzione generale reale si scrive:

${\vec {A}}({\vec {r}},t)={\frac {1}{\sqrt {V}}}\sum _{\alpha ,{\vec {k}}}\left[a(\alpha ,{\vec {k}}){\vec {e}}_{\alpha }({\vec {k}}e^{i({\vec {k}})\cdot {\vec {r}}-\omega t)}+a^{\ast }(\alpha ,{\vec {k}}){\vec {e}}_{\alpha }({\vec {k}})e^{-i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}\right]$

dove $a(\alpha ,{\vec {k}})$ sono dei coefficienti da determinare in base alle condizioni al contorno. Il fattore $1/{\sqrt {V}}$ è un conveniente fattore di normalizzazione, essendo $V$ il volume di spazio in cui si sta considerando il campo elettromagnetico. Introduciamo le variabili dinamiche:

$a_{\alpha ,{\vec {k}}}=a(\alpha ,{\vec {k}})e^{-i\omega t}$

e le loro complesse coniugate. In questo modo, la soluzione generale di sopra si scrive in maniera più concisa:

${\vec {A}}({\vec {r}},t)={\frac {1}{\sqrt {V}}}\sum _{\alpha ,{\vec {k}}}{\vec {e}}_{\alpha }({\vec {k}})\left[a_{\alpha ,{\vec {k}}}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}+a_{\alpha ,{\vec {k}}}^{\ast }e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}\right]$

Dalle relazioni per $\phi =0$ si possono poi ricavare i campi elettrico e magnetico:

${\begin{aligned}{\vec {\mathcal {E}}}&={\frac {1}{\sqrt {V}}}\sum _{\alpha ,{\vec {k}}}{\frac {\omega }{c}}{\vec {e}}_{\alpha }({\vec {k}})\left[ia_{\alpha ,{\vec {k}}}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}-ia_{\alpha ,{\vec {k}}}^{\ast }e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}\right]\\{\mathcal {H}}&={\frac {1}{\sqrt {V}}}\sum _{\alpha ,{\vec {k}}}{\vec {k}}\times {\vec {e}}_{\alpha }({\vec {k}})\left[ia_{\alpha ,{\vec {k}}}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}-ia_{\alpha ,{\vec {k}}}^{\ast }e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}\right]\end{aligned}}$

Si vuole ora calcolare esplicitamente l'hamiltoniana del campo elettromagnetico che, come è noto, è data da:

$H={\frac {1}{8\pi }}\int _{V}\left({\mathcal {E}}^{2}+{\mathcal {H}}^{2}\right)d{\mathcal {V}}$

e a questo fine occorre calcolare a partire dalle equazioni precedenti ${\mathcal {E}}^{2}$ e ${\mathcal {H}}^{2}$. Per fare questo si osservi che in queste equazioni i campi sono scritti in termini di serie di Fourier complessa per la quale vale l'uguaglianza di Bessel e quindi:

${\begin{aligned}{\vec {\mathcal {E}}}^{2}&={\frac {1}{V}}\sum _{\alpha ,{\vec {k}}}2{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}a_{\alpha ,{\vec {k}}}a_{\alpha ,{\vec {k}}}^{\ast }={\frac {2}{V}}\sum _{\alpha ,{\vec {k}}}{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\left[\left(\Re {\mathfrak {e}}a_{\alpha ,{\vec {k}}}\right)^{2}+\left(\Im {\mathfrak {m}}a_{\alpha ,{\vec {k}}}\right)^{2}\right]\\{\vec {\mathcal {H}}}^{2}&={\frac {1}{V}}\sum _{\alpha ,{\vec {k}}}2{\vec {k}}^{2}a_{\alpha ,{\vec {k}}}a_{\alpha ,{\vec {k}}}^{\ast }={\frac {2}{V}}\sum _{\alpha ,{\vec {k}}}{\vec {k}}^{2}\left[\left(\Re {\mathfrak {e}}a_{\alpha ,{\vec {k}}}\right)^{2}+\left(\Im {\mathfrak {m}}a_{\alpha ,{\vec {k}}}\right)^{2}\right]\end{aligned}}$

per cui, non dipendendo da ${\vec {\mathcal {E}}}^{2}$, ${\vec {\mathcal {H}}}^{2}$ e da ${\vec {r}}$, si ha immediatamente:

$H={\frac {1}{2\pi }}{\frac {1}{c^{2}}}\sum _{\alpha ,{\vec {k}}}\omega ^{2}\left[\left(\Re {\mathfrak {e}}a_{\alpha ,{\vec {k}}}\right)^{2}+\left(\Im {\mathfrak {m}}a_{\alpha ,{\vec {k}}}\right)^{2}\right]$

Introducendo ora le variabili dinamiche:

${\begin{aligned}Q_{\alpha ,{\vec {k}}}&=a_{\alpha ,{\vec {k}}}+a_{\alpha ,{\vec {k}}}^{\ast }=2\Re {\mathfrak {e}}a_{\alpha ,{\vec {k}}}\\P_{\alpha ,{\vec {k}}}&=Q_{\alpha ,{\vec {k}}}^{\ast }=-i\omega \left(a_{\alpha ,{\vec {k}}}+a_{\alpha ,{\vec {k}}}^{\ast }\right)=2\omega \Im {\mathfrak {m}}a_{\alpha ,{\vec {k}}}\end{aligned}}$

l'hamiltoniana del campo magnetico si scrive come:

$H={\frac {1}{2\pi }}{\frac {1}{c^{2}}}\sum _{\alpha ,{\vec {k}}}\left(P_{\alpha ,{\vec {k}}}^{2}+\omega ^{2}Q_{\alpha ,{\vec {k}}}^{2}\right)$

Questa forma è probante: essa si interpreta dicendo che l'energia del campo elettromagnetico è data dalla somma delle energie di tanti oscillatori armonici di frequenze $\omega$ corrispondenti ai modi normali. A questo punto, la quantizzazione del campo elettromagnetico può effettuarsi introducendo le relazioni di commutazione:

$\left[Q_{\alpha ,{\vec {k}}},P_{\alpha ',{\vec {k}}'}\right]=i\hbar \delta _{\alpha ,\alpha '}\delta _{{\vec {k}},{\vec {k}}'}$

Da queste relazioni e dalle relazioni su $Q_{\alpha ,{\vec {k}}}$ e $P_{\alpha ,{\vec {k}}}$, che si possono anche scrivere nella forma:

${\begin{aligned}a_{\alpha ,{\vec {k}}}&={\frac {1}{2}}\left(Q_{\alpha ,{\vec {k}}}+iP_{\alpha ,{\vec {k}}}\right)\\a_{\alpha ,{\vec {k}}}^{\dagger }&={\frac {1}{2}}\left(Q_{\alpha ,{\vec {k}}}-iP_{\alpha ,{\vec {k}}}\right)\end{aligned}}$

si ricava l'altra relazione di commutazione:

$\left[a_{\alpha ,{\vec {k}}},a_{\alpha ',{\vec {k}}'}^{\dagger }\right]={\frac {\hbar }{2\omega }}\delta _{\alpha ,\alpha '}\delta _{{\vec {k}},{\vec {k}}'}$

Quantisticamente, il campo elettromagnetico è quindi descritto dall'operatore:

${\vec {A}}({\vec {r}},t)=\sum _{\alpha ,{\vec {k}}}\left[a(\alpha ,{\vec {k}})\,{\vec {e}}(\alpha ,{\vec {k}})e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}+a^{\dagger }(\alpha ,{\vec {k}})\,{\vec {e}}(\alpha ,{\vec {k}})e^{-(i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}\right]$

Si osservi che essendo:

${\begin{aligned}i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {e}}(\alpha ,{\vec {k}})e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}&=\hbar \omega {\vec {e}}(\alpha ,{\vec {k}})e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}\\-i\hbar {\vec {\nabla }}{\vec {e}}(\alpha ,{\vec {k}})e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}&=\hbar {\vec {k}}{\vec {e}}(\alpha ,{\vec {k}})e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}\\i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {e}}(\alpha ,{\vec {k}})e^{-(i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}&=-\hbar \omega {\vec {e}}(\alpha ,{\vec {k}})e^{-(i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}\\-i\hbar {\vec {\nabla }}{\vec {e}}(\alpha ,{\vec {k}})e^{-(i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}&=-\hbar {\vec {k}}{\vec {e}}(\alpha ,{\vec {k}})e^{-(i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}\end{aligned}}$

il termine ${\vec {e}}(\alpha ,{\vec {k}})e^{\pm i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}$ si può interpretare come la funzione d'onda del quanto del campo elettromagnetico (fotone), corrispondente rispettivamente a energia $\pm \hbar \omega$ e impulso $\pm \hbar {\vec {k}}$. Ancora, si può considerare $a^{\dagger }(\alpha ,{\vec {k}})$ e $a(\alpha ,{\vec {k}})$ rispettivamente come l'operatore di creazione e distruzione di un fotone di energia $\hbar \omega$. Così il campo elettromagnetico è scritto come una somma di operatori di distruzione per la funzione d'onda del fotone $\hbar \omega$ più un operatore di distruzione del fotone $-\hbar \omega$. Analogamente a quanto fatto per l'energia, si può poi calcolare l'impulso ${\vec {P}}={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {{\vec {\mathcal {E}}}\times {\vec {\mathcal {H}}}}{2}}d{\mathcal {V}}$ del campo elettromagnetico, si trova in maniera analoga:

${\vec {P}}={\frac {1}{8\pi c^{2}}}\sum _{\alpha ,{\vec {k}}}{\vec {k}}\left(a_{\alpha ,{\vec {k}}}a_{\alpha ,{\vec {k}}}^{\dagger }+a_{\alpha ,{\vec {k}}}^{\dagger }a_{\alpha ,{\vec {k}}}\right)$

Gli autovalori di energia e impulso sono allora dati da:

${\begin{aligned}H&={\frac {1}{4\pi c^{2}}}\sum _{\alpha ,{\vec {k}}}\hbar \omega \left(n_{\alpha ,{\vec {k}}}+{\frac {1}{2}}\right)\\{\vec {P}}&={\frac {1}{4\pi c^{2}}}\sum _{\alpha ,{\vec {k}}}\hbar {\vec {k}}\left(n_{\alpha ,{\vec {k}}}+{\frac {1}{2}}\right)\end{aligned}}$

Il termine $n_{\alpha ,{\vec {k}}}$, come noto, è un numero intero che in questo caso andrà interpretato come numero di fotoni di energia $\hbar \omega$, impulso $\hbar {\vec {k}}$ e polarizzazione $\alpha$. Si osservi che l'energia in assenza di fotoni anziché essere nulla è infinita, questa incongruenza si può risolvere elimininando (rigorosamente) il termine $1/2$. Questo inconveniente invece non si ha per l'impulso, in quanto se un fotone può avere impulso $\hbar {\vec {k}}$, ha anche $-\hbar {\vec {k}}$ e così per $n_{\alpha ,{\vec {k}}}$ si ha ${\vec {P}}=0$.