Meccanica quantistica relativistica/Formalismo dei bispinori e interazione elettromagnetica

Iniziamo, per semplicità, a considerare una particella a impulso nullo. L'equazione in forma operatoriale diventa quindi:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =\beta mc^{2}\psi \quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {i\beta mc^{2}}{\hbar }}\psi$

che può essere integrata componente per componente. In quattro dimensioni - come è il caso presente - una base di vettori è fornita banalmente da:

$e_{1}=\left({\begin{array}{c}1\\0\\0\\0\\\end{array}}\right)\quad ;\quad e_{2}=\left({\begin{array}{c}0\\1\\0\\0\\\end{array}}\right)\quad ;\quad e_{3}=\left({\begin{array}{c}0\\0\\1\\0\\\end{array}}\right)\quad ;\quad e_{4}=\left({\begin{array}{c}0\\0\\0\\1\\\end{array}}\right)$

ricordando che $\beta =\left({\begin{array}{cc}\mathbb {I} &0\\0&-\mathbb {I} \end{array}}\right)$, si ritrovano per soluzione i ben noti esponenziali:

$\psi _{1}(t)=e^{-{\frac {imc^{2}}{\hbar }}t}\left({\begin{array}{c}1\\0\\0\\0\\\end{array}}\right)\qquad ;\qquad \psi _{2}(t)=e^{-{\frac {imc^{2}}{\hbar }}t}\left({\begin{array}{c}0\\1\\0\\0\\\end{array}}\right)$

ai quali risultano ora affiancate altre due soluzioni che devono essere prese in considerazione:

$\psi _{3}(t)=e^{{\frac {imc^{2}}{\hbar }}t}\left({\begin{array}{c}0\\0\\1\\0\\\end{array}}\right)\qquad ;\qquad \psi _{4}(t)=e^{{\frac {imc^{2}}{\hbar }}t}\left({\begin{array}{c}0\\0\\0\\1\\\end{array}}\right)$

Le prime due soluzioni rappresentano l'evoluzione temporale di un'onda a due componenti: sono le funzioni rappresentanti lo spin semintero. Le seconde soluzioni sono invece la descrizione di particelle a energia negativa, che la teoria interpreta come antiparticelle. La semplificazione fatta di trascurare il termine dell'impulso corrisponde in realtà al limite non relativistico, in cui il termine predominante è proprio $\beta mc$.

Introduciamo ora nella equazione di Dirac l'interazione elettromagnetica, operando la sostituzione $p^{\mu }\to p^{\mu }+eA/c$. L'equazione in forma operatoriale si trasforma allora nella seguente:

${\frac {i\hbar }{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi =({\vec {\alpha }}\cdot {\vec {p}}+\beta mc)\psi \qquad \Rightarrow \qquad {\frac {i\hbar }{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi =({\vec {\alpha }}\cdot {\vec {p}}-{\frac {e}{c}}{\vec {\alpha }}\cdot {\vec {A}}+e\Phi +\beta mc)\psi$

Ne segue che l'hamiltoniana di questo sistema si può scrivere nella forma $H=H_{0}+H'$, dove $H'$ rappresenta l'hamiltoniana di interazione con il campo elettromagnetico:

$H'=-{\frac {e}{c}}{\vec {\alpha }}\cdot {\vec {A}}+e\Phi$

e dove ${\vec {\alpha }}$, come già detto, assume il ruolo della velocità. Questo permette di riscrivere il teorema di Ehrenfest come:

${\frac {d{\vec {r}}}{dt}}=\langle {\frac {\hbar }{i}}[H,{\vec {r}}]\rangle =\langle c{\vec {\alpha }}\rangle$

Le conclusioni precedenti sulle soluzioni dell'equazione di Dirac ci autorizzano a scrivere la funzione d'onda $\psi$ in termini di un bispinore:

$\psi =\left[{\begin{array}{c}\varphi '\\\chi '\\\end{array}}\right]$

Un bispinore è quindi un particolare vettore che può essere pensato composto di due parti ($\varphi$ e $\chi$), in cui ogni parte contiene le due componenti dello spin. Scriviamo quindi l'equazione di Dirac comprendente l'interazione elettromagnetica nel formalismo dei bispinori:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\begin{array}{c}\varphi '\\\chi '\\\end{array}}\right]=c{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {\pi }}\left[{\begin{array}{c}\chi '\\\varphi '\\\end{array}}\right]+e\Phi \left[{\begin{array}{c}\varphi '\\\chi '\\\end{array}}\right]+mc^{2}\left[{\begin{array}{c}\varphi '\\-\chi '\\\end{array}}\right]$

dove ${\vec {\pi }}={\vec {p}}-e/c{\vec {A}}$ e si è tenuto presente che:

$\left({\begin{array}{cc}0&\sigma _{k}\\\sigma _{k}&0\\\end{array}}\right)\left[{\begin{array}{c}\varphi '\\\chi '\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}\sigma _{k}\chi '\\\sigma _{k}\varphi '\\\end{array}}\right]=\sigma _{k}\left[{\begin{array}{c}\chi '\\\varphi '\\\end{array}}\right]$

Nel limite non relativistico il termine predominante è ovviamente $mc^{2}\left[{\begin{array}{c}\varphi '\\-\chi '\\\end{array}}\right]$. Ricerchiamo ora le soluzioni per la particella libera nella forma:

$\left[{\begin{array}{c}\varphi '\\\chi '\\\end{array}}\right]=e^{-i{\frac {mc^{2}}{\hbar }}t}\left[{\begin{array}{c}\varphi \\\chi \\\end{array}}\right]$

e sostituendo questa forma nell'equazione ai bispinori scritta sopra:

$\left\{i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\begin{array}{c}\varphi \\\chi \\\end{array}}\right]+mc^{2}\left[{\begin{array}{c}\varphi \\\chi \\\end{array}}\right]\right\}e^{-i{\frac {mc^{2}}{\hbar }}t}=\left\{c{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {\pi }}\left[{\begin{array}{c}\chi \\\varphi \\\end{array}}\right]+e\Phi \left[{\begin{array}{c}\varphi \\\chi \\\end{array}}\right]+mc^{2}\left[{\begin{array}{c}\varphi \\-\chi \\\end{array}}\right]\right\}e^{-i{\frac {mc^{2}}{\hbar }}t}$

ovvero, eliminando il fattore esponenziale in comune ai due e mai nullo:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\begin{array}{c}\varphi \\\chi \\\end{array}}\right]=c{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {\pi }}\left[{\begin{array}{c}\chi \\\varphi \\\end{array}}\right]+e\Phi \left[{\begin{array}{c}\varphi \\\chi \\\end{array}}\right]-2mc^{2}\left[{\begin{array}{c}0\\\chi \\\end{array}}\right]$

Nel limite non relativistico predominano chiaramente i termini in $c$ e $c^{2}$. Separando quindi l'equazione per le componenti alte e basse, nel limite non relativistico otteniamo:

${\begin{cases}c{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {\pi }}\chi &=0\\c{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {\pi }}\varphi -2mc^{2}\chi &=0\end{cases}}$

Le componenti alte restituiscono quindi in questo caso ("classico") $\chi =0$ e questo è corretto: a energie sufficientemente basse non ci sono componenti legate alle antiparticelle. Le componenti basse ci permettono invece di giungere alla relazione:

$\chi ={\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {\pi }}}{2mc}}\varphi$

Questa relazione permette di identificare le componenti basse come le componenti "piccole" in rapporto alle componenti alte $\varphi$. Queste componenti sono infatti ridotte di un fattore $v/c\ll 1$ nel limite non relativistico rispetto alle $\varphi$. Sostituendo la forma delle $\chi$ nelle componenti alte dell'equazione ai bispinori scritta sopra si ricava:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\varphi ={\frac {({\vec {\sigma }}\cdot {\vec {\pi }})({\vec {\sigma }}\cdot {\vec {\pi }})}{2mc}}\varphi +e\Phi \varphi$

siccome vale:

$({\vec {\sigma }}\cdot {\vec {\pi }})({\vec {\sigma }}\cdot {\vec {\pi }})=\left({\vec {p}}-{\frac {e}{c}}{\vec {A}}\right)^{2}-{\frac {e\hbar }{c}}{\vec {\sigma }}\cdot ({\vec {\nabla }}\times {\vec {A}})$

l'equazione per le componenti alte (particelle) nel caso non relativistico diventa quindi (equazione di Pauli per particelle con spin):

${\begin{aligned}i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\varphi =\left[{\frac {({\vec {p}}-{\frac {e}{c}}{\vec {A}})^{2}}{2m}}-{\frac {e\hbar }{2m}}{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {B}}+e\Phi \right]\varphi \end{aligned}}$

Ritrovare questa equazione significa che l'equazione di Dirac è effettivamente un buon punto di partenza per costruire una teoria quantistica relativistica. Infatti, le due componenti alte sono sufficienti per i due gradi di libertà associati allo spin 1/2 di una particella libera, ritrovando anche il corretto momento magnetico dell'elettrone corrispondente al rapporto giromagnetico $g=2$. Infatti, tenendo presente che ${\vec {A}}=1/2{\vec {B}}\times {\vec {r}}$ e prendendo solo i termini al primo ordine nel campo magnetico ${\vec {B}}$:

${\frac {1}{2m}}\left[{\vec {p}}-{\frac {e}{2c}}{\vec {B}}\times {\vec {r}}\right]^{2}\simeq {\frac {1}{2m}}\left[p^{2}-{\frac {e}{c}}{\vec {p}}\cdot ({\vec {B}}\times {\vec {r}})\right]$

dalle proprietà del prodotto misto si sa che: ${\vec {p}}\cdot ({\vec {B}}\times {\vec {r}})=({\vec {p}}\times {\vec {B}})\cdot {\vec {r}}=({\vec {r}}\times {\vec {p}})\cdot {\vec {B}}={\vec {L}}\cdot {\vec {B}}$, per cui denotando con ${\vec {S}}\equiv 1/2\hbar {\vec {\sigma }}$ l'operatore di spin l'equazione di Pauli assume la forma:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\varphi =\left[{\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {e}{2mc}}({\vec {L}}+2{\vec {S}})\cdot {\vec {B}}\right]\varphi$

dove il coefficiente di interazione dello spin con il campo magnetico è appunto $g=2$.