Termodinamica classica/Teorema di Carnot

Il teorema di Carnot è molto semplice, e ne abbiamo già parlato discutendo il rispettivo ciclo.

Teorema

Il ciclo di Carnot è la macchina col più alto rendimento possibile tra le macchine che lavorano tra due sorgenti.

Ovviamente, è più alto del rendimento sia di macchina reversibili che irreversibili, che lavorano tra due sorgenti. Ricordiamo anche che il ciclo di Carnot non lavora tra due sorgenti, ma solo con quelle due sorgenti.

Dimostrazione

Consideriamo una macchina di Carnot e una macchina generica, che assorbono lo stesso calore da una stessa sorgente calda. Neghiamo la tesi del teorema, ovvero che è possibile che la macchina generica abbia un rendimento più alto di quello di Carnot. Affianchiamo le due macchine e invertiamo la macchina di Carnot: questa cederà alla sorgente calda la stessa quantità di calore che assorbe la macchina generica. In totale, la macchina che si ottiene unendo la macchina generica con quella di Carnot non fa altro che assorbire calore da una sorgente fredda e trasformarlo tutto in lavoro, negando il secondo principio della termodinamica. Da qui la tesi.

Definizione di temperatura dal ciclo di Carnot

A partire dal rendimento di Carnot è possibile definire la scala di temperatura Kelvin. Infatti, sappiamo che il rendimento di una generica macchina deve essere minore di quello di Carnot, ovvero:

$\eta =1+{\frac {|Q_{\text{ced}}|}{|Q_{\text{ass}}|}}<1-{\frac {T_{f}}{T_{c}}}$

Da questa otteniamo che ${\frac {|Q_{f}|}{|Q_{c}|}}<-{\frac {T_{f}}{T_{c}}}$. ovvero:

${\frac {Q_{c}}{T_{c}}}+{\frac {Q_{f}}{T_{f}}}<0$

Da questa possiamo definire la temperatura di un corpo come:

$T^{*}={\frac {Q^{*}}{Q_{0}}}T_{0}$

Dove, ovviamente, i calori e le temperature sono considerati in un ciclo di Carnot.