Fisica per le superiori/Applicazioni del teorema di Gauss

Campo elettrico di una carica puntiforme

Il teorema è equivalente alla legge di Coulomb. Qui vogliamo dimostrare che la legge di Coulomb può essere derivata dall’enunciato di Gauss.

Sia data una carica $Q_{0}$, concentrata in un singolo punto dello spazio.
Consideriamo una superficie immaginaria concentrica, di raggio $r$ centrata attorno alla carica data.
In ciascun punto della superficie, per ragioni di simmetria, avrà una direzione radiale (cioè ortogonale alla superficie stessa) e un modulo costante.
Il flusso attraverso la superficie stessa potrà essere calcolato in due modi diversi:

${\begin{cases}\Phi =ES_{sfera}=4\pi Er^{2}\\\Phi ={\frac {Q_{0}}{\epsilon _{0}}}\end{cases}}$

Dal sistema si ricava:

$E={\frac {Q_{0}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}$

Che restituisce proprio il teorema di Gauss.

Campo elettrico di una distribuzione lineare uniforme di carica

Procuriamoci un filo di lana molto lungo, e strofiniamolo fino ad elettrizzarlo in un modo uniforme.
Avremo realizzato un modello di una cosiddetta distribuzione lineare di carica. Cerchiamo ora di dedurre, applicando il teorema di Gauss, il campo elettrico generato intorno al nostro filo.

Per farlo, valutiamo il campo elettrico intorno ad un cilindro di lunghezza $h$ e raggio $r$, centrato intorno al filo di lana. A differenza del caso precedente, la simmetria del sistema è assiale, anziché radiale, quindi il campo sarà, ad un tempo, perpendicolare alla superficie laterale del cilindro e parallelo a quella di base. Il flusso attraverso la superficie di base, pertanto, sarà nullo:

${\begin{cases}\Phi =\Phi _{base}+\Phi _{laterale}=ES_{laterale}=2\pi rhE\\\Phi ={\frac {Q_{cil}}{\epsilon _{0}}}\end{cases}}~~~~$

Dove $Q_{cil}$ rappresenta la carica totale contenuta all’interno del cilindro considerato. Dal sistema, risulta:

$E={\frac {Q_{cil}}{2\pi \epsilon _{0}hr}}={\frac {\lambda }{2\pi \epsilon _{0}r}}$

essendo $\lambda ={\frac {Q_{cil}}{h}}$ la densità lineare di carica.
Il campo elettrico generato da una simmetria assiale, di conseguenza, diminuisce in ragione inversa alla distanza. Quindi in modo più lento rispetto alla carica puntiforme, che segue una legge inversa al quadrato della distanza.

Campo elettrico di una distribuzione superficiale uniforme di carica

Proviamo ora ad elettrizzare in modo uniforme un foglio di carta molto esteso.

Per applicare il teorema di Gauss, avremo bisogno, questa volta, di una superficie a forma di parallelepipedo retto, sezionata in due parti uguali dal piano del foglio.
Per simmetria, tutto il flusso risulterà uscente in modo ortogonale dalla due superfici di base del parallelepipedo, e sarà nullo attraverso la superficie laterale. Inoltre, il campo elettrico sulle due superfici di base, prese alla stessa distanza dal foglio di carta, devono avere la stessa intensità.

${\begin{cases}\Phi =\Phi _{basi}+\Phi _{laterale}=2ES\\\Phi ={\frac {Q_{int}}{\epsilon _{0}}}\end{cases}}$

E dal sistema:

$E={\frac {Q_{int}}{2S\epsilon _{0}}}={\frac {\sigma }{2\epsilon _{0}}}$

Dove $\sigma$ rappresenta la densità superficiale di carica.
In questo caso, è d'obbligo osservare che il campo elettrico formato da una superficie piana è indipendente dalla distanza. Una superficie sufficientemente piana permette quindi di dare origine a campi elettrostatici costanti nello spazio.

Campo elettrico di un condensatore piano

Un condensatore piano è formato da due superfici conduttrici (armature) parallele tra loro, sulle quali sono presenti due distribuzioni di carica uguali ed opposte.
Il campo elettrico generato da un condensatore piano si può derivare dal campo di una distribuzione piana uniforme, con l’applicazione del principio di sovrapposizione, esattamente come è già stato fatto per il campo elettrico di dipolo.

Un condensatore piano, infatti, separa lo spazio in tre zone differenti. Una interna, tra le piastre del condensatore e due esterne.
Nella zona interna, tra le piastre, il campo elettrico totale è il risultato della sovrapposizione costruttiva dei campi elettrici prodotti da ciascuna delle singole distribuzioni. Siccome ciascun piano genera un campo elettrico costante nello spazio, anche il campo elettrico del condensatore è costante in tutti i punti interni tra le due armature. Risulta:

$E_{int}=E_{+}+E_{-}={\frac {\sigma _{+}}{2\epsilon _{0}}}+{\frac {\sigma _{-}}{2\epsilon _{0}}}={\frac {\sigma }{\epsilon _{0}}}$

Nelle zone esterne alle armature, invece, il principio di sovrapposizione si applica in modo distruttivo. Siccome le due superfici piane possiedono distribuzioni di carica uguali e siccome i campi elettrici non dipendono dalla distanza, si ottiene che, all’esterno di un condensatore piano, il campo elettrico risulta costantemente nullo:

$E_{est}=E_{+}+E_{-}={\frac {\sigma _{+}}{2\epsilon _{0}}}-{\frac {\sigma _{-}}{2\epsilon _{0}}}=0$

Campo elettrico alla superficie di un conduttore

Campo elettrico alla superficie di un conduttore

I materiali conduttori hanno la proprietà di conformare il campo elettrostatico intorno a sé in un modo molto particolare. Avevamo già visto che si distinguono dagli isolanti per il modo in cui possono essere caricati. Infatti un conduttore può essere caricato per contatto o per induzione, ma mai per strofinamento.
Provate ora ad accendere un paio di telefonini cellulari e verificate che possano essere messi in contatto tra di loro, simulando una chiamata. Poi avvolgete con cura li telefonino ricevente in un foglio di carta stagnola. Ripete la chiamata.
Vi renderete conto che la comunicazione risulta impossibile.

In un sistema elettrostatico (cioè quando non avvengono spostamenti di carica elettrica, né correnti), infatti, l’interno di un conduttore è una porzione di spazio nella quale il campo elettrico si mantiene sempre costantemente nullo, realizzando un fenomeno che viene chiamato anche effetto schermo. Il telefonino, dunque, è immerso in un ambiente dove non è possibile ricevere alcun segnale elettrico dall’esterno.

Possiamo giustificare questa proprietà dei conduttori con un argomento per assurdo. Supponiamo infatti che, in un punto di un conduttore, in condizione elettrostatiche, sia presente un campo elettrico diverso da zero. In quel punto, d’altra parte, è disponibile anche una certa quantità di carica libera (per esempio gli elettroni di valenza, se si tratta di un conduttore metallico). A causa del campo elettrico, questa carica libera non è in equilibrio, ma è soggetta a un forza elettrica che la costringe a spostarsi. Ma questo viola l’ipotesi iniziale, per cui il conduttore era posto in condizioni elettrostatiche. In effetti, quando il campo elettrico all’interno di un conduttore è diverso da zero, si genera necessariamente una corrente elettrica, che è un fenomeno estraneo allo studio dei fenomeni elettrostatici.

Un corpo conduttore carico, tuttavia genera campo elettrico al proprio esterno. Ripetendo l’argomento per assurdo precedente, possiamo convincerci che la direzione del campo elettrico, in prossimità della superficie esterna di un conduttore, non è arbitraria, ma è esattamente perpendicolare alla superficie (altrimenti le cariche libere non sarebbero in equilibrio). È possibile dunque studiare il campo elettrico con l’uso del teorema di Gauss.

Consideriamo una superficie chiusa che contiene una piccola porzione della superficie esterna del conduttore. Il flusso totale del campo elettrico attraverso questa superficie è completamente descritto dal flusso uscente dalla superficie esterna, perché all’interno non c’è campo elettrico e dunque non esiste alcun flusso. Sarà:

${\begin{cases}\Phi _{tot}=\Phi _{est}=ES_{est}\\\Phi _{tot}={\frac {Q_{est}}{\epsilon _{0}}}\end{cases}}$

$E={\frac {Q_{est}}{S\epsilon _{0}}}={\frac {\sigma }{\epsilon _{0}}}$

Abbiamo ottenuto quindi una formula identica a quella già studiata per i condensatori.
Dobbiamo però tenere presente che la distribuzione di carica elettrica sulla superficie di un conduttore non è costante, ma dipende dalla geometria del conduttore stesso. Non abbiamo in questo momento strumenti matematici sufficienti per approfondire questa proprietà, ma possiamo riconoscerla attraverso l’osservazione di alcuni fenomeni fisici.

Come è ben noto, durante i temporali, i fulmini colpiscono quasi sempre oggetti particolarmente appuntiti, come le cime dei campanili. Questo accade, perché, durante i temporali, sulla cima di un campanile, la densità di carica elettrica superficiale è particolarmente elevata. I campi elettrici superficiali, a volte, risultano così intensi da provocare la ionizzazione delle molecole d’aria in prossimità del campanile e permettere al fulmini di schizzare fragorosamente verso l’alto.

Campo elettrico di una distribuzione sferica uniforme di carica

Campo elettrico di una distribuzione sferica di carica

Immaginiamo di raccogliere, all’interno di un contenitore sferico, delimitato da una superficie a rete, un gran numero di piccoli frammenti di carta, fino a riempirlo. Esponiamo poi il contenitore al soffio di un asciugacapelli, fino ad elettrizzare la carta. Avremo ottenuto un sistema che può essere descritto, elettricamente, come una distribuzione sferica uniforme di carica.

Adesso cerchiamo di determinare il campo elettrico di un simile sistema. Considerata la simmetria radiale, conviene usare il teorema di Gauss, considerando delle superfici sferiche concentriche rispetto alla sfera carica.
La dimensione finita del sistema, inoltre, determina una separazione netta tra lo spazio interno alla sfera e lo spazio esterno. Infatti, nel primo caso, la carica complessiva contenuta in ciascuna superficie esterna è un valore costante, uguale alla carica totale del sistema. Nel secondo caso, invece, la carica contenuta all’interno della superficie è proporzionale al raggio della superficie stessa.

All’esterno:
${\begin{cases}\Phi =ES_{est}=4\pi r^{2}E\\\Phi ={\frac {Q_{tot}}{\epsilon _{0}}}={\frac {4\pi \rho R^{3}}{3\epsilon _{0}}}\end{cases}}$

All’interno:
${\begin{cases}\Phi =ES_{int}=4\pi r^{2}E\\\Phi ={\frac {Q_{int}(r)}{\epsilon _{0}}}={\frac {\rho Vol_{int}(r)}{\epsilon _{0}}}={\frac {4\pi \rho r^{3}}{3\epsilon _{0}}}\end{cases}}$

Da cui si ricava, all’esterno:
$E={\frac {Q_{tot}}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{r^{2}}}={\frac {\rho R^{3}}{3\epsilon _{0}}}{\frac {1}{r^{2}}}$

e all’interno:
$E={\frac {\rho }{3\epsilon _{0}}}r$

In conclusione, il campo elettrico all’esterno della sfera è esattamente lo stesso che si osserverebbe se la carica elettrica, anziché distribuita all’interno di una sfera, fosse completamente concentrata in un punto. Invece, all’interno il campo elettrico diminuisce in modo lineare fino ad annullarsi del tutto al centro della sfera, dove il contributo della carica distribuita nella sfera si somma in modo perfettamente distruttivo.