Fisica per le superiori/Dipolo

Il dipolo elettrico è una struttura interessante, in elettrostatica, perché applica in modo semplice il principio di sovrapposizione e perché fornisce un modello per molti sistemi fisici reali di grande importanza. Per esempio, una molecola di sale, una goccia d’acqua o un atomo di idrogeno sono sistemi che possono essere schematizzati come dipoli elettrici, cioè come coppie di cariche elettriche uguali ed opposte, separate da una certa distanza tra di loro.

Immaginiamo dunque di collocare una carica di prova vicino ad un atomo di idrogeno e proviamo a descrivere le forze che agiscono su di essa. Teniamo presente che, quando disponiamo una distribuzione di carica in un sistema, dobbiamo dimenticare le forze mutue di interazione che interessano la distribuzione, per concentrarci esclusivamente sullo studio delle forze agenti sulle cariche di prova. Pensiamo quindi al protone e all’elettrone dell’atomo di idrogeno come oggetti rigidi, vincolati nelle proprie posizioni da forze esterne che non abbiamo interesse a descrivere. È interessante solo il comportamento della carica di prova che esplora il campo, come se fosse un elettroscopio di grandissima sensibilità.

Nella figura 1 possiamo osservare i campi elettrici ${\vec {E}}_{1}$ e ${\vec {E}}_{2}$ che ciascuna singola carica della distribuzione applica sulla carica di prova, quando è collocata nel punto $P$ dello spazio circostante. Per il principio di sovrapposizione, il campo totale ${\vec {E}}$ è la somma vettoriale dei contributi di ogni singola carica.

Possiamo ripetere la stessa operazione in punti diversi del campo, e osservare i cambiamenti corrispondenti. Un campo di dipolo, presenta alcune zone particolari che è opportuno considerare con maggior attenzione. Ci possiamo accorgere, infatti, che la struttura geometrica del sistema possiede un ‘’asse di simmetria cilindrica’’, corrispondente alla retta che contiene le due cariche puntiformi e un piano di antisimmetria che contiene gli assi del segmento che unisce le cariche stesse.

Se prendiamo una coppia di punti simmetrici rispetto all’asse di simmetria cilindrica possiamo riconoscere che il vettore campo elettrico ruota rigidamente, senza cambiare intensità. Se invece consideriamo una coppia di punti simmetrici rispetto al piano centrale, il campo elettrico conserva la componente parallela all’asse di simmetria e inverte le componenti trasverse.

È molto interessante calcolare in modo esplicito l’intensità del campo elettrico nei punti di simmetria. Cominciamo dunque dai punti del piano centrale $\pi$. Dalla figura si capisce che i campi elettrici ${\vec {E}}_{1}$ ed ${\vec {E}}_{2}$ sommano in modo costruttivo le proprie componenti nella direzione parallela all’asse e le annullano in modo distruttivo nella direzione trasversale. Ne viene che il campo elettrico totale ha direzione parallela all’asse di simmetria, direzione rivolta verso la carica negativa e intensità doppia rispetto alla componente parallela dei vettori ${\vec {E}}_{1,2}$. Se chiamiamo $d$ la distanza tra il punto $P$ e il centro del dipolo ed $r$ la distanza tra ciascuna carica e il centro del dipolo, otteniamo:

$E_{\pi }=2K\;{\frac {e}{d^{2}+r^{2}}}cos\theta$

ricordiamo che, in geometria, il coseno di un angolo si può ricavare come rapporto tra il cateto adiacente e l’ipotenusa di un angolo:

$cos\theta ={\frac {r}{\sqrt {d^{2}+r^{2}}}}$

Calcoliamo ora il campo elettrico nei punti dell’asse $\alpha$ del dipolo. In questo caso, possiamo osservare che i vettori ${\vec {E}}_{1}$ e ${\vec {E}}_{2}$ risultano paralleli all’’interno delle due cariche, dove il campo complessivo risulta costruttivo e antiparalleli all’esterno. Eseguiamo il conto esplicito all’esterno, dove bisogna eseguire una differenza:

$E_{\alpha }=E_{1}-E_{2}=Ke({\frac {1}{(d-r)^{2}}}-{\frac {1}{(d+r)^{2}}})=4K\;e\;r{\frac {1}{(d^{2}-r^{2})^{\frac {3}{2}}}}$

Queste formule valgono su tutti i punti del piano di simmetria. Nella realtà, tuttavia, capita di osservare i dipoli in situazioni in cui la distanza $d>>r$, in modo che la $r$ possa essere trascurato nelle somme (ma non nelle moltiplicazioni). Risulta:

$E_{\pi }=2K{\frac {e}{d^{3}}}$

$E_{\alpha }=4K{\frac {e}{d^{3}}}$

Queste formule ci dicono alcune cose:

1 Anche se le cariche, complessivamente, hanno somma zero, il campo elettrico non è mai del tutto nullo. Questo giustifica, di conseguenza, le interazioni tra corpi neutri e corpi carichi. I corpi neutri, infatti sono costituiti da oggetti polarizzati, cioè da dipoli elettrici.

2. Il campo può variare di un fattore due cambiando la direzione. Questo è il motivo per cui è sempre utile orientare l’antenna di un radio con una certa attenzione, per avere una ricezione ottimale.

3. L’intensità del campo elettrico diminuisce con il cubo della distanza e non con il quadrato, come avviene per le cariche puntiformi. Si dice che i campi di dipoli sono ‘’campi a corto raggio’’. Un esempio di campo di dipolo molto comune nell’esperienza quotidiana è il campo magnetico di dipolo, che applica la stessa matematica del campo di dipolo elettrico. Quando chiudiamo le ante di un armadio, percepiamo con chiarezza lo scatto dei magneti a breve distanza, mentre non percepiamo alcuna interazione quando le porte sono aperte, e le distanze in gioco sono sufficientemente grandi, rispetto alla dimensione del dipolo.