Fisica per le superiori/Elementi di algebra vettoriale

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Definizione.

Una quantità che richieda, per essere completamente caraterizzata, una direzione ed una grandezza (un numero reale positivo) è un vettore. Una quantità che è totalmente caratterizzata da un singolo numero reale è uno scalare. Un vettore può venire rappresentato con un segmento orientato, PQ, nello spazio, in cui la lunghezza del segmento è la grandezza del vettore, o modulo, e la direzione da P a Q è la sua direzione. La posizione del punto iniziale P è irrilevante cosicché qualsiasi segmento di retta con la medesima direzione e grandezza è lo stesso vettore. Di frequente è necessario considerare vettori vincolati a un punto; a tale combinazione vettore punto è dato il nome di vettore vincolato.

Due vettori sono considerati uguali se, e soltanto se, hanno la medsima grandezza e direzione. Un vettore zero, O, è definito come un vettore di grendezza zero sicché può essere rappresentato da un punto. |a|=0 se, e solo se, a=0. Il vettore zero può essere ritenuto di essere orientato in tutte le direzioni cosicché da risultare sia parallelo sia normale a qualsiasi altro vettore.

Somma e differenza di vettori.

Con ogni due vettori a e b è associato un terzo vettore c=a+b, chiamato somma di a e b, che è definito nel modo seguente; Si scelga un punto iniziale P ovunque nello spazio e rappresentiamo a e b tramite PQ=a e QR=b; allora c è definito come vettore c' rappresentato da PR. c può essere pensato come il terzo lato del triangolo del quale PQ e PR ne sono due lati, oppure la diagonale del parallelogrammo di cui PQ e QR ne sono due lati non paralleli. Il procedimento per ottenere c e chiamato addizione.

La differenza di due vattori a e b è definita come il vettore c che soddisfa la relazione b +c=a. Il processo per trovare c è denominato sottrazione.

L'addizione e la sottrazione di vettori obbediscono alle seguenti leggi:

se, e solamente se, ,

|


Prodotti.

1. Prodotto di uno scalare per un vettore. Se h è uno scalare e è un vettore, allora è definito come il vettore di modulo la cui direzione è la medesima od opposta alla direzione di secondo che h sia positivo o negativo.

Il prodotto di uno scalare per un vettore obbedisce le seguenti leggi

2. Prodotto scalare e vettoriale di due vettori. Sia l'angolo minore dei due angoli tra e , in cui O è un qualsiasi punto dello spazio e . Il prodotto scalare di e rappresentato da , è definito come lo scalare . La quantità è la componente di su ( su ) ed ed è rappresentata da (). misura la lunghezza della proiezione di sulla direzione di .

Il prodotto scalare obbedisce alle seguenti leggi

Il prodotto scalare se o o . Poiché il vettore zero è considerato perpendicolare ad ogni altro vettore se, e solamente se, è perpendicolare a .


Sistema di coordinate rettangolari destro. Un sistema di coordinate rettangolari a tre dimensioni con assi x,y e z è detto destro se le direzioni positive di x, y e zsono scelte cosicché una vite destra avanza lungo l'asse z positivo quando, datole un giro di 90°, ruoti l'asse positivo x sull'asse positivo y. Siano i,j e k dei vettori unitari, versori fondamentali, scaturenti dall'origine e diretti rispettivamente lungo gli assi positivi x,y e z. i, j e k soddisfano le relazioni e .

Per qualsiasi vettore si scriva , , sono le componenti cartesiane di sugli assi coordinati. Pertanto . I vettori e soddisfano le relazioni


,
,

3. Il prodotto vettoriale di due vettori e , presi in tale ordine, è un terzo vettore , indicato da , e definito nel modo che segue: e siano rappresentati rispettivamente da e e sia l'angolo minore dei due angoli da cosicché . Allora è il vettore di grandezza che è perpendicolare al piano di e orientato nella direzione in cui una vite destra avanza quando sia ruotata di un angolo da verso .

Il prodotto vettoriale ubbidisce alle leggi



I versori fondamentali i, j e k soddisfano le relazioni

4. definisce il prodotto scalare triplo di tre vettori nell'ordine . Le parentesi non sono necessarie attorno a in perché è senza significato, essendo il prodotto vettoriale definito solamente per due vettori, laddove è uno scalare.

Il prodotto scalare triplo ubbidisce alle regole

se e soltanto se possono essere rapprresentati con segmenti di linea orientati complanari.

Conformemente all'ultimo set di relazioni, il prodotto scalare triplo di dipende solamente dall'ordine in cui i vettori si trovano. Nondimeno, se l'ordine ciclico viene trasformato in, diciamo, allora .


5. I prodotti vettoriali tripli di , in tale ordine, sono e .

Questi prodotti soddisfano le identità

Derivata di un vettore

Se è un vettore definito per ogni t di un intervallo , allora è un vettore funzione di t in detto intervallo. La derivata di rispetto al tempo è definita come

se il limite esiste.

La derivazione ubbidisce alle seguenti regole

dove f è una funzione scalare di t.


Campi scalare e vettoriale, Gradiente, Divergenza, Rotore

Se in ciascun punto di una porzione S di spazio è assegnato un vettore applicato [scalare f=f(x,y,z}, si dice allora che un campo vettoriale (scalare) è definito in S.Lasciamo rappresentare l'operatore differenziale vettoriale ; allora,(ammettendo che tutte le derivate parziali esistano) il gradiente, la divergenza e il rotoresono definiti ed espressi in termini di come segue:

Il gradiente di una funzione scalare in un campo scalare è definito con la relazione

La divergenza di un vettore in un camap vettoriale è definita dalla relazione


Il rotore di un vettore in un campo vettoriale è definito dalla relazione