Fisica per le superiori/Elementi di algebra vettoriale

Terzo anno

Quarto anno

Quinto anno

Elettrostatica

Definizione.

Una quantità che richieda, per essere completamente caratterizzata, una direzione ed una grandezza (un numero reale positivo) è un vettore. Una quantità che è totalmente caratterizzata da un singolo numero reale è uno scalare. Un vettore può venire rappresentato con un segmento orientato, PQ, nello spazio, in cui la lunghezza del segmento è la grandezza del vettore, o modulo, e la direzione da P a Q è la sua direzione. La posizione del punto iniziale P è irrilevante cosicché qualsiasi segmento di retta con la medesima direzione e grandezza è lo stesso vettore. Di frequente è necessario considerare vettori vincolati a un punto; a tale combinazione vettore punto è dato il nome di vettore vincolato.

Due vettori sono considerati uguali se, e soltanto se, hanno la medsima grandezza e direzione. Un vettore zero, O, è definito come un vettore di grendezza zero sicché può essere rappresentato da un punto. |a|=0 se, e solo se, a=0. Il vettore zero può essere ritenuto di essere orientato in tutte le direzioni cosicché da risultare sia parallelo sia normale a qualsiasi altro vettore.

Somma e differenza di vettori.

Con ogni due vettori a e b è associato un terzo vettore c=a+b, chiamato somma di a e b, che è definito nel modo seguente; Si scelga un punto iniziale P ovunque nello spazio e rappresentiamo a e b tramite PQ=a e QR=b; allora c è definito come vettore c' rappresentato da PR. c può essere pensato come il terzo lato del triangolo del quale PQ e PR ne sono due lati, oppure la diagonale del parallelogrammo di cui PQ e QR ne sono due lati non paralleli. Il procedimento per ottenere c e chiamato addizione.

La differenza di due vattori a e b è definita come il vettore c che soddisfa la relazione b +c=a. Il processo per trovare c è denominato sottrazione.

L'addizione e la sottrazione di vettori obbediscono alle seguenti leggi:

\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}

\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) = (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}

\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}

se, e solamente se, $\vec{b} = \vec{c} - \vec{a}$ , $\vec{a} + \vec{o} = \vec{a}$

|

\vec{a} + \vec{b} | < | \vec{a} | + | \vec{b} |

Prodotti.

1. Prodotto di uno scalare per un vettore. Se h è uno scalare e $\vec{a}$ è un vettore, allora $h \vec{a}$ è definito come il vettore di modulo $| h | | \vec{a} |$ la cui direzione è la medesima od opposta alla direzione di $\vec{a}$ secondo che h sia positivo o negativo.

Il prodotto di uno scalare per un vettore obbedisce le seguenti leggi

(h k) \vec{a} = h (k \vec{a}) = k (h \vec{a}) (h + k) \vec{a} = h \vec{a} + k \vec{a}

h (\vec{a} + \vec{b}) = h \vec{a} + h \vec{b} \vec{a} + (- \vec{b}) = \vec{a} - \vec{b}

2. Prodotto scalare e vettoriale di due vettori. Sia $θ$ l'angolo minore dei due angoli tra $\vec{a} = \vec{O A}$ e $\vec{b} = \vec{O B}$ , in cui O è un qualsiasi punto dello spazio e $0 \leq θ \leq π$ . Il prodotto scalare di $\vec{a}$ e $\vec{b}$ rappresentato da $\vec{a} \cdot \vec{b}$ , è definito come lo scalare $| \vec{a} | | \vec{b} | \cos θ$ . La quantità $| \vec{a} | \cos θ (| \vec{b} | \cos θ)$ è la componente di $\vec{a}$ su $\vec{b}$ ( $\vec{b}$ su $\vec{a}$ ) ed è rappresentata da $c o m p_{b} \vec{a}$ ( $c o m p_{a} \vec{b}$ ). $C o m p_{a} \vec{b}$ misura la lunghezza della proiezione di $\vec{b}$ sulla direzione di $\vec{a}$ .

Il prodotto scalare obbedisce alle seguenti leggi

\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}

\vec{a} \cdot (h \vec{b}) = h (\vec{a} \cdot \vec{b}) = (h \vec{a}) \cdot \vec{b}

\vec{a} \cdot \vec{a} = | \vec{a} |^{2}

Il prodotto scalare $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ se $| \vec{a} | = 0$ o $| \vec{b} = 0$ o $θ = \frac{π}{2}$ . Poiché il vettore zero è considerato perpendicolare ad ogni altro vettore $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ se, e solamente se, $\vec{a}$ è perpendicolare a $\vec{b}$ .

Sistema di coordinate rettangolari destro. Un sistema di coordinate rettangolari a tre dimensioni con assi x,y e z è detto destro se le direzioni positive di x, y e zsono scelte cosicché una vite destra avanza lungo l'asse z positivo quando, datole un giro di 90°, ruoti l'asse positivo x sull'asse positivo y. Siano i,j e k dei vettori unitari, versori fondamentali, scaturenti dall'origine e diretti rispettivamente lungo gli assi positivi x,y e z. i, j e k soddisfano le relazioni $i \cdot i = j \cdot j = k \cdot k = 1$ e $i \cdot j = j \cdot k = k \cdot i = 0$ .

Per qualsiasi vettore $\vec{a}$ si scriva $a_{x} = \vec{a} \cdot i$ , $a_{y} = \vec{a} \cdot j$ , $a_{z} = \vec{a} \cdot k . -$ $a_{x}, a_{y}, a_{z}$ sono le componenti cartesiane di $\vec{a}$ sugli assi coordinati. Pertanto $\vec{a} = a_{x} \cdot i + a_{y} \cdot j + a_{z} \cdot k$ . I vettori $\vec{a}$ e $\vec{b}$ soddisfano le relazioni

\vec{a} \cdot b = a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y} + a_{z} b_{z}

\vec{a} \pm \vec{b} = (a_{x} \pm b_{x}) i + (a_{y} \pm b_{y}) j + (a_{z} \pm b_{z}) k

\vec{a} = \vec{b}

s e, e s o l t a n t o s e

,

a_{x} = b_{x}, a_{y} = b_{y}, a_{z} = b_{z}

\vec{a} = \vec{0}

s e, e s o l t a n t o s e

,

a_{x} = a_{y} = a_{z} = 0

\vec{a} \cdot \vec{a} = | \vec{a} |^{2} = {a_{x}}^{2} + {a_{y}}^{2} + {a_{z}}^{2}

3. Il prodotto vettoriale di due vettori $\vec{a}$ e $\vec{b}$ , presi in tale ordine, è un terzo vettore $\vec{c}$ , indicato da $\vec{a} \times \vec{b}$ , e definito nel modo che segue: $\vec{a}$ e $\vec{b}$ siano rappresentati rispettivamente da $\vec{O A}$ e $\vec{O B}$ e $θ$ sia l'angolo minore dei due angoli da $\vec{O A} < m a t h > a < m a t h > \vec{O B}$ cosicché $0 \leq θ \leq π$ . Allora $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$ è il vettore di grandezza $| \vec{c} | = | \vec{a} | | \vec{B} | s i n θ$ che è perpendicolare al piano di $\vec{O A}$ e $\vec{O B}$ orientato nella direzione in cui una vite destra avanza quando sia ruotata di un angolo $θ$ da $\vec{O A}$ verso $\vec{O B}$ .

Il prodotto vettoriale ubbidisce alle leggi

\vec{a} \times \vec{b} = - (\vec{b} \times \vec{a} \vec{a} \times (\vec{a} + \vec{c}) = \vec{a} \times b + \vec{a} \times \vec{c}

\vec{a} \times (h \vec{b}) = (h \vec{a}) \times \vec{b} = h (h (\vec{a} \times \vec{b}) \vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}

\vec{a} \times \vec{b} = | \begin{matrix} a_{y} & a_{z} \\ b_{y} & b_{z} \end{matrix} | i + | \begin{matrix} a_{z} & a_{x} \\ b_{z} & b_{x} \end{matrix} | j + | \begin{matrix} a_{x} & a_{y} \\ b_{x} & b_{y} \end{matrix} | k = | \begin{matrix} i & j & k \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{matrix} |

I versori fondamentali i, j e k soddisfano le relazioni

i \times j = k j \times k = i k \times i = j

i \times i = j \times j = k \times k = \vec{0}

4. $\vec{a} \times \vec{b} \cdot c$ definisce il prodotto scalare triplo di tre vettori nell'ordine $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ . Le parentesi non sono necessarie attorno a $\vec{a} \times \vec{b}$ in $\vec{a} \times b \cdot c$ perché $\vec{a} \times (\vec{b} \cdot c)$ è senza significato, essendo il prodotto vettoriale definito solamente per due vettori, laddove $\vec{b} \cdot c$ è uno scalare.

Il prodotto scalare triplo ubbidisce alle regole

\vec{a} \times \vec{b} \cdot \vec{c} = 0

se e soltanto se $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ possono essere rapprresentati con segmenti di linea orientati complanari.

\vec{a} \times \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{b} \times \vec{c} = \vec{b} \times \vec{c} \cdot \vec{a} = \vec{b} \cdot \vec{c} \times \vec{a} = \vec{c} \times \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{c} \cdot \vec{a} \times \vec{b}

\vec{a} \times \vec{b} \cdot \vec{c} = | \begin{matrix} a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \\ c_{x} & c_{y} & c_{z} \end{matrix} |

Conformemente all'ultimo set di relazioni, il prodotto scalare triplo di $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ dipende solamente dall'ordine in cui i vettori si trovano. Nondimeno, se l'ordine ciclico viene trasformato in, diciamo, $\vec{a}, \vec{c}, \vec{b}$ allora $\vec{a} \times \vec{b} \cdot \vec{c} = - (\vec{a} \times \vec{c} \cdot \vec{b})$ .

5. I prodotti vettoriali tripli di $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ , in tale ordine, sono $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}$ e $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})$ .

Questi prodotti soddisfano le identità

\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}

(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{c} \cdot \vec{a}) \vec{b} - (\vec{c} \cdot \vec{b}) \vec{a}

Derivata di un vettore

Se $\vec{u} (t)$ è un vettore definito per ogni t di un intervallo $t_{1} \leq t \leq t_{2}$ , allora $\vec{u}$ è un vettore funzione di t in detto intervallo. La derivata di $\vec{u} (t)$ rispetto al tempo è definita come

lim_{| Δ t | \to 0} \frac{\vec{u} (t + Δ t) - \vec{u} (t)}{Δ t} = lim_{| Δ t | \to 0} \frac{Δ \vec{u}}{Δ t}

se il limite esiste.

La derivazione ubbidisce alle seguenti regole

\frac{d (\vec{u} \pm \vec{v})}{d t} = \frac{d \vec{u}}{d t} \pm \frac{d \vec{v}}{d t}

\frac{d (\vec{u} \cdot \vec{v})}{d t} = \vec{u} \cdot \frac{d \vec{v}}{d t} + \frac{d \vec{u}}{d t} \cdot \vec{v}

\frac{d (\vec{u} \times \vec{v})}{d t} = \vec{u} \times \frac{d \vec{v}}{d t} + \frac{d \vec{u}}{d t} \times \vec{v}

\frac{\vec{a}}{d t} = 0 s e \vec{a} c o s t a n t e

\frac{d f \vec{u}}{d t} = f \frac{d \vec{u}}{d t} + \vec{u} \frac{d f}{d t}

dove f è una funzione scalare di t.

Campi scalare e vettoriale, Gradiente, Divergenza, Rotore

Se in ciascun punto di una porzione S di spazio è assegnato un vettore applicato $\vec{u} = \vec{u} (x, y, z)$ [scalare f=f(x,y,z}, si dice allora che un campo vettoriale (scalare) è definito in S.Lasciamo $Δ$ rappresentare l'operatore differenziale vettoriale $i \frac{δ}{δ x} + j \frac{δ}{δ y} + k \frac{δ}{δ z}$ ; allora,(ammettendo che tutte le derivate parziali esistano) il gradiente, la divergenza e il rotoresono definiti ed espressi in termini di $Δ$ come segue:

Il gradiente di una funzione scalare $f (x, y, x)$ in un campo scalare è definito con la relazione

g r a d f = \frac{δ f}{δ x} i + \frac{δ f}{δ y} j + \frac{δ f}{δ z} k = Δ f

La divergenza di un vettore $\vec{u} = u_{x} i + u_{y} j + u_{z} k$ in un camap vettoriale è definita dalla relazione

d i v \vec{u} = \frac{δ u_{x}}{δ x} + \frac{δ u_{y}}{δ y} + \frac{δ u_{z}}{δ z} = Δ \cdot \vec{u}

Il rotore di un vettore $\vec{u} = u_{x} i + u_{y} j + u_{z} k$ in un campo vettoriale è definito dalla relazione

r o t \vec{u} = (\frac{δ u_{z}}{δ y} - \frac{δ u_{y}}{δ z}) i + (\frac{δ u_{x}}{δ z} - \frac{δ u_{z}}{δ x}) j + (\frac{δ u_{y}}{δ x} - \frac{δ u_{x}}{δ y}) k = | \begin{matrix} i & j & k \\ \frac{δ}{δ x} & \frac{δ}{δ y} & \frac{δ}{δ z} \\ u_{x} & u_{y} & u_{z} \end{matrix} | = Δ \times \vec{u}