Elettronica applicata/Filtri

Risposte in frequenza di alcuni filtri passa-basso

La funzione di trasferimento di un filtro:

$H\left(\omega \right)={\frac {V_{o}}{V_{i}}}$

può essere approssimata a un rapporto di polinomi:

$H\left(s=j\omega \right)={\frac {a_{n}s^{n}+\ldots +a_{1}s+a_{0}}{b_{m}s^{m}+\ldots +b_{1}s+b_{0}}},\quad n<m$

che può essere ottenuto con una cascata (prodotto) di:

• celle del I ordine (celle RC e RL):

  $H\left(s\right)={\frac {K}{s-p}}$

• celle del II ordine (cella RLC):

  $H\left(s\right)=K{\frac {\omega _{n}^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega _{n}s+\omega _{n}^{2}}}$

Tipi di approssimazione

• Bessel: ripidità minima, nessuna oscillazione in banda passante;
• Butterworth: ripidità media, nessuna oscillazione in banda passante;
• Chebicheff: ripidità massima, oscillazioni in banda passante.

Tecniche di implementazione

• filtri analogici:
  • passivi: condensatori, resistori e induttori → è difficile realizzare induttori nei circuiti integrati;
  • attivi: condensatori, resistori e amplificatori operazionali → è difficile realizzare resistori e condensatori precisi;
  • a capacità commutate: condensatori e interruttori → è la tecnica più comune nei circuiti integrati perché è facile realizzare rapporti di condensatori;
• filtri digitali: microprocessore.

Cella passa-basso a capacità commutate

Cella passa-basso di un circuito a capacità commutate

La resistenza $R_{eq}$ della cella passa-basso viene sostituita con la coppia condensatore $C_{2}$-interruttore:

$\tau =R_{eq}C_{2}={\frac {C_{2}}{fC_{1}}}$

dove $f$ è la frequenza di commutazione dell'interruttore.

Dimostrazione

${\begin{cases}I_{AB}=\Delta Q\cdot f\\\Delta Q=C\left(V_{A}-V_{B}\right)\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}I_{AB}=C\left(V_{A}-V_{B}\right)\cdot f\\I_{AB}={\frac {V_{A}-V_{B}}{R_{eq}}}\end{cases}}\Rightarrow R_{eq}={\frac {1}{f\cdot C}}$