Fisica nucleare e subnucleare/Cinematica delle particelle elementari

Rivediamo brevemente quei concetti di cinematica relativistica che ci serviranno in seguito.

Le particelle elementari hanno generalmente una massa molto più piccola della loro energia cinetica (anche quelle più pesanti): insomma, le particelle elementari vanno sempre considerate relativisticamente, e per noi si muoveranno quasi sempre alla velocità della luce.

Sappiamo che in cinematica relativistica possiamo definire:

${\vec {\beta }}={\frac {\vec {v}}{c}}\quad \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$

Se poi consideriamo due sistemi di riferimento e chiamiamo $P$ un evento, abbiamo:

$x'=\gamma (x-\beta _{r}ct)\quad y'=y\quad z'=z\quad ct'=\gamma (ct-\beta _{r}x)$

ove $\beta _{r}$ è la velocità relativa del sistema di riferimento primato rispetto all'altro. Quelle appena scritte sono, come noto, le trasformazioni di Lorentz per il quadrivettore $(ct,{\vec {r}}$). Questo quadrivettore non sarà tuttavia di grande interesse per noi, visto che vogliamo descrivere le interazioni fra le particelle, e non il loro moto; ci serviremo soprattutto del quadrimpulso:

$\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=(m\gamma c,m\gamma {\vec {v}})$

per il quale:

$p_{x'}=\gamma \left(p_{x}-\beta _{r}{\frac {E}{c}}\right)\quad p_{y'}=p_{y}\quad p_{z'}=p_{z}\quad {\frac {E'}{c}}=\gamma \left({\frac {E}{c}}-\beta _{r}p_{x}\right)$

Sappiamo poi che vale:

$p_{\mu }p^{\mu }={\frac {E^{2}}{c^{2}}}-p^{2}\quad \Rightarrow \quad {\frac {E^{2}}{c^{2}}}-p^{2}=m^{2}\gamma ^{2}c^{2}-m^{2}\gamma ^{2}v^{2}\quad \Rightarrow \quad E^{2}=m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}$

È una relazione fondamentale che collega l'energia di una particella alla sua massa e al suo impulso, e che utilizzeremo spessissimo.

Normalmente, useremo il sistema di unità di misura naturali, che ci semplificherà notevolmente i conti. In questo sistema di misura si pone $c=1$ e $\hbar =1$, ossia $h=2\pi$; come unità di misura dell'energia, invece, useremo l'eV. Ponendo $c=1$, la relazione precedente può essere scritta come $m^{2}=E^{2}-p^{2}$, che vale per una singola particella. Se invece abbiamo più particelle (che non interagiscono fra loro):

$m^{2}=\left(\sum _{i}E_{i}\right)^{2}-\left(\sum _{i}{\vec {p}}_{i}\right)^{2}$

pertanto, la massa del sistema non è la somma delle energie delle singole componenti (questa relazione è palesemente non lineare); coinciderà però con l'energia del sistema nel suo centro di massa, perché è un invariante relativistico. Infatti, sfruttando la variabile di Mandelstam $s$:

$s_{\mbox{lab }}^{2}:=m^{2}=\left(\sum _{i}E_{i}\right)^{2}-\left(\sum _{i}{\vec {p}}_{i}\right)^{2}\quad s_{\mbox{cdm }}^{2}:=m^{2}=\left(\sum _{i}E_{i}^{*}\right)^{2}$

(ricordiamoci che per definizione nel centro di massa si ha $\sum _{i}{\vec {p}}_{i}^{*}=0$).

Per studiare com'è fatta la materia, dall'esperimento di Rutherford in poi usiamo come tattica quella di lanciarci particelle contro. I tipi i esperimenti di questo tipo si dividono nelle seguenti categorie:

• a targhetta fissa: in questo caso il bersaglio è fermo nel sistema di riferimento del laboratorio;
• collider:si fanno scontrare frontalmente due fasci di particelle.

Nel caso della targhetta fissa, si ha:

$s=(E_{1}+m_{2})^{2}-p_{1}^{2}=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2E_{1}m_{2}$

mentre nel caso del collider:

$s=E_{1}^{2}+E_{2}^{2}+2E_{1}E_{2}-p_{1}^{2}-p_{2}^{2}-2{\vec {p}}_{1}\cdot {\vec {p}}_{2}=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+4E_{1}E_{2}$

ove l'ultimo passaggio è valido nell'ipotesi in cui $E\gg m$ e ${\vec {p}}_{1}$ e ${\vec {p}}_{2}$ siano collineari (e quindi ${\vec {p}}_{2}\cdot {\vec {p}}_{2}=-p_{1}p_{2}$). Da questo calcolo possiamo capire perché in genere si prediligono i collider.

Nei collider, dunque, l'energia a disposizione nel centro di massa cresce molto velocemente con l'energia dei fasci. Pertanto, poiché $s$ è l'energia del sistema nel centro di massa, maggiore è $s$ maggiore è la massa che si ha a disposizione per "creare qualcosa di nuovo".