Fisica nucleare e subnucleare/Primi fatti e definizioni

Un nucleo atomico è un sistema (quantistico) composto da protoni e neutroni (detti collettivamente nucleoni) fortemente interagenti. L'interazione che li lega, però, è l'interazione forte, che non è esprimibile esplicitamente (non esiste una formula come nel caso della forza coulombiana). Chiamiamo $Z$ (detto numero atomico) il numero di protoni e $N$ quello di neutroni all'interno di un nucleo. Definiamo poi $A=Z+N$ il numero di massa del nucleo atomico. Il numero atomico identifica il tipo di elemento col quale abbiamo a che fare, e storicamente per rappresentare univocamente un elemento si usa indicare il suo numero di massa insieme al simbolo relativo all'elemento.

In natura esistono elementi con stesso numero atomico $Z$ ma diverso numero di massa $A$ (ossia con un diverso numero di neutroni), detti isotopi. Questi, nonostante abbiano caratteristiche chimiche quasi identiche, sono fisicamente molto diversi. Consideriamo infatti gli isotopi ${}^{12}{\text{C}}$ e ${}^{13}{\text{C}}$; poiché (come avremo modo di specificare meglio) protoni e neutroni hanno entrambi spin 1/2, e poiché il numero quantico del momento angolare orbitale ($\ell$) è sempre intero, ci aspettiamo che ${}^{12}{\text{C}}$ abbia spin totale intero, mentre ${}^{13}{\text{C}}$ semi-intero (perché ${}^{12}{\text{C}}$ ha un numero pari di nucleoni, mentre ${}^{13}{\text{C}}$ dispari). Pertanto ${}^{12}{\text{C}}$ è un bosone e ${}^{13}{\text{C}}$ un fermione, e dunque hanno proprietà fisiche assai diverse (in quanto obbediscono a statistiche differenti).

Masse dei nucleoni

Vedremo più avanti che se le interazioni fra i quark (i componenti dei nucleoni) soddisfano determinate proprietà, allora le masse del protone e del neutrone dovrebbero essere identiche, modulo la presenza dell'interazione coulombiana. Effettivamente, risulta che $m_{p}=938{\text{ MeV}}/c^{2}$ e $m_{n}=939{\text{ MeV}}/c^{2}$. Ci aspetteremmo, poi, che i protoni siano più instabili dei neutroni, proprio perché l'interazione coulombiana tende a "separarli". In realtà, vedremo che poiché $m_{n}>m_{p}$ il neutrone risulterà più instabile del protone, rendendo possibili processi come il decadimento beta.

Spin dei nucleoni

Protoni e neutroni sono anche dotati di spin.

Diamo per note le proprietà dell'algebra dei momenti angolari in meccanica quantistica (e la composizione di più momenti angolari), che accenniamo brevemente. Sappiamo che se una tripletta $(L_{1},L_{2},L_{3})$ di operatori soddisfa delle date proprietà di commutazione, allora gli operatori $L^{2}=L_{1}^{2}+L_{2}^{2}+L_{3}^{2}$ e (ad esempio) $L_{3}$ hanno determinate proprietà. Se poi ${\vec {J}}_{1}=(J_{1}^{x},J_{1}^{y},J_{1}^{z})$ e ${\vec {J}}_{2}=(J_{2}^{x},J_{2}^{y},J_{2}^{z})$ sono due operatori di momento angolare, allora detto ${\vec {J}}={\vec {J}}_{1}+{\vec {J}}_{2}$ e detti $\left|j_{1},m_{1}\right\rangle$ e $\left|j_{2},m_{2}\right\rangle$, gli autostati, rispettivamente, delle coppie di operatori $(J_{1}^{2},J_{1}^{z})$ e $(J_{2}^{2},J_{2}^{z})$, potremmo chiederci se $\left|j_{1},m_{1}\right\rangle \otimes \left|j_{2},m_{2}\right\rangle$ è autostato di $J^{2}$ e $J^{z}$; risulta che questa base di stati, detta base disaccoppiata, non lo è, pur essendo completa. Gli autostati $\left|J,M\right\rangle$ di $J^{2}$ e $J^{z}$ sono:

$\left|J,M\right\rangle =\sum _{m_{1},m_{2} \atop M=m_{1}+m_{2}}\left(\left\langle j_{1},m_{1}\right|\otimes \left\langle j_{2},m_{2}\right|\right)\left|J,M\right\rangle \left|j_{1},m_{1}\right\rangle \otimes \left|j_{2},m_{2}\right\rangle$

Noti $j_{1}$ e $j_{2}$, poi, risulta $|j_{1}-j_{2}|\leq J\leq j_{1}+j_{2}$ (a "salti" di 1).

Protoni e neutroni hanno spin $1/2$, e dunque i nuclei atomici sono sistemi fermionici. Interagendo fra di loro, poi, ognuno dei nucleoni avrà un momento angolare orbitale (rispetto al centro di massa del sistema), che come tale dovrà essere intero. Il sistema nucleare composto più semplice possibile è il deutone (poi lo vedremo più in dettaglio), composto da un protone e un neutrone. Ponendosi nel centro di massa, poiché il momento angolare totale del sistema è composto dagli spin dei due nucleoni (che, essendo entrambi $1/2$ daranno luogo a uno spin totale intero, in particolare 0 o 1) e dai loro momenti angolari orbitali (interi "per definizione"), allora il momento angolare totale del deutone sarà intero. Se invece consideriamo il trizio, composto da due neutroni e un protone, il momento angolare totale comprenderà anche il momento angolare orbitale (intero) e lo spin (semi-intero) del nuovo protone. Il trizio avrà dunque momento angolare totale semi-intero.

Detti $J$ e $S$ il momento angolare orbitale e lo spin totale di un nucleo atomico, se l'hamiltoniana $H$ del sistema commuta con gli operatori $J$ e $S$ allora gli autostati $\left|JM\right\rangle$ sono anche autostati di $H$, e pertanto saranno caratterizzati da un buon valore dello spin.

Parità dei nucleoni

Conosciamo poi anche l'operatore parità $\pi$, che inverte le coordinate spaziali della funzione d'onda su cui agisce. Si può dimostrare che $\pi$ è hermitiano, e poiché $\pi ^{2}=\operatorname {id}$, gli unici autovalori possibili di $\pi$ sono $+1$ e $-1$; come al solito, se $H$ è invariante per parità gli autostati di $H$ sono caratterizzati da un buon valore della parità.

Protoni e neutroni non hanno una parità definita, e per convenzione la si assume positiva. Per questo, lo stato di un nucleone si indica con $1/2^{+}$.

Momento magnetico dei nucleoni

Consideriamo un elettrone in orbita intorno a un punto a una distanza $r$ da esso. Questo sistema avrà un momento di dipolo magnetico (orbitale) tale che:

$|{\vec {\mu }}_{\ell }|:=\mu _{\ell }=iS={\frac {e}{T}}\pi r^{2}={\frac {e}{2\pi }}\omega \pi r^{2}={\frac {e}{2m}}\omega r^{2}m={\frac {e}{2m}}\hbar \ell$

(ove abbiamo sfruttato il fatto che $\omega r^{2}m$ è il momento angolare dell'elettrone). Con la definizione $\mu _{B}={\frac {e\hbar }{2m}}$ del magnetone di Bohr si ha dunque:

$\mu _{\ell }=\mu _{B}\ell$

Tuttavia, anche lo spin dell'elettrone contribuisce al momento di dipolo magnetico totale. In particolare, si ha:

$\mu _{s}=\mu _{B}g_{s}s$

ove $g_{s}$ è il rapporto giromagnetico, che per l'elettrone vale circa 2.

Consideriamo adesso lo stesso sistema, ma con un protone al posto dell'elettrone. I ragionamenti e i risultati sono esattamente gli stessi, a patto di sostituire la massa dell'elettrone con quella del protone, che è circa 2000 volte più grande. Si utilizzerà dunque il magnetone nucleare $\mu _{N}$, circa 2000 volte più piccolo di quello di Bohr. Per lo spin valgono esattamente gli stessi ragionamenti.

Se invece consideriamo un neutrone, questo non avrà momento di dipolo magnetico orbitale perché non è carico.

Se poi il protone e il neutrone fossero particelle elementari, ossia non costituite da particelle più piccole, ci aspetteremmo che i rapporti giromagnetici dell'elettrone e del protone siano uguali, mentre che quello del neutrone sia nullo (perché non ha carica). In realtà, sperimentalmente risulta che il rapporto giromagnetico per il protone vale 5.5, mentre quello del neutrone -3.8. Ciò è indice del fatto che i nucleoni hanno una struttura interna, e sono composti da elementi costituenti carichi (in modo tale che i nucleoni abbiano proprio quei valori di carica e rapporto giromagnetico), che vedremo poi essere i quark.

Proprietà dei momenti di dipolo magnetico e elettrico

Supponiamo di avere un sistema unidimensionale, con potenziale $V(x)$ e una particella a esso soggetta. Supponiamo poi che $\varphi _{n}$ siano gli autostati legati dell'hamiltoniana di questo sistema. A seconda delle proprietà di questo potenziale, un particolare autostato del sistema potrà essere pari o dispari. Supponiamo dunque che $\varphi _{n}(x)=\varphi _{n}(-x)$, e cerchiamo di determinare gli elementi della diagonale di un dato operatore, ad esempio $O$, che ha una sua rappresentazione $O(x)$. Allora:

$\left\langle \varphi _{n}\right|O\left|\varphi _{n}\right\rangle =\int {\overline {\varphi }}_{n}(x)O(x)\varphi _{n}(x)dx$

Se dunque ad esempio $O$ è pari ($O(x)=O(-x)$), questi elementi di diagonale in generale non saranno nulli, mentre se $O$ è dispari ($O(-x)=-O(x)$) saranno tutti nulli (perché l'integrando sarà sempre dispari). Se invece di considerare elementi di diagonale consideriamo elementi di transizione, del tipo $\left\langle \varphi _{m}\right|O\left|\varphi _{n}\right\rangle$ con $m\neq n$, poiché le proprietà di simmetria degli autostati $\varphi _{m}$ e $\varphi _{n}$ possono differire (ad esempio, uno può essere pari e l'altro dispari), allora questi in generale non saranno nulli.

Supponiamo ora di avere un sistema tridimensionale (anche a molti corpi) con hamiltoniana $H$ invariante per rotazioni e inversioni degli assi: allora gli autostati $\varphi _{n}$ di $H$ saranno caratterizzati da un buon valore del momento angolare e della parità (li rappresentiamo come $J^{\pi }$). In questo caso anche gli operatori possono essere caratterizzati da un buon valore del momento angolare. Spieghiamo perché ciò accade: le transizioni fra due stati possono avvenire solo se il sistema interagisce con un campo di qualche tipo (ad esempio elettromagnetico), perché attraverso di esso possiamo fornire al sistema l'energia necessaria per la transizione. A questo campo, in generale, sarà associato l'operatore che permette la transizione (come ${\widehat {M1}}$ o ${\widehat {E1}}$ negli esempi successivi), e a questo campo sarà associato un momento angolare (detto anche elicità), che sostanzialmente è il momento angolare dei mediatori del campo stesso. È questo momento angolare che viene associato agli operatori; dobbiamo tenerne conto perché nelle transizioni si dovrà conservare il momento angolare: se ad esempio un fotone (che ha spin 1) urta contro un atomo, eccitando un elettrone, quest'ultimo potrà transire solo in stati tali da soddisfare la conservazione, oltre che dell'energia, del momento angolare (il momento angolare del fotone verrà "ceduto" all'elettrone). È da questo che scaturiscono le regole di selezione (come quelle che regolano le transizioni di un elettrone in un atomo, appunto). Ad esempio, detto ${\widehat {M1}}$ l'operatore associato al momento di dipolo magnetico, questo ha momento angolare $\lambda =1$ (perché il campo elettromagnetico ha elicità 1) e $\pi =1$. Dunque, un suo generico elemento di matrice è $\left\langle \varphi _{m}\right|{\widehat {M1}}\left|\varphi _{n}\right\rangle$; a seconda del momento angolare e della parità degli autostati $\varphi _{m}$ e $\varphi _{n}$, questo elemento di matrice potrà essere nullo o meno. Poiché questo elemento di matrice è legato alla probabilità che il sistema passi dallo stato $\varphi _{m}$ allo stato $\varphi _{n}$, ciò significa che l'operatore ${\widehat {M1}}$ soddisfa determinate regole di selezione. Esiste anche l'operatore di momento di dipolo elettrico ${\widehat {E1}}$, che ha momento angolare $\lambda =1$ (per lo stesso motivo di prima) e $\pi =-1$; in questo caso, dunque, gli elementi di diagonale di ${\widehat {E1}}$ sono tutti nulli (la parità dell'integrando è sempre negativa): pertanto, nessun sistema quantistico può avere momento di dipolo elettrico. Considerazioni analoghe valgono anche per il momento di quadrupolo elettrico ${\widehat {E2}}$.