Fisica nucleare e subnucleare/Il modello a quark

Le risonanze

Il concetto di risonanza è importantissimo per poter giungere alla formulazione del modello a quark. Per risonanza si intende che in un processo d'urto a determinate energie si "massimizza" l'energia trasmessa, così come in un oscillatore armonico, ad esempio, a determinate frequenze si massimizza la potenza trasferita sull'oscillatore stesso.

Supponiamo di avere un processo del tipo $a+b\longrightarrow c+d+e+f$; si può dimostrare (non lo facciamo) che la sezione d'urto $\sigma (E)$ del processo in funzione dell'energia $E$ si può scrivere come:

$\sigma (E)={\frac {2J+1}{(2S_{a}+a)(2S_{b}+1)}}{\frac {4\pi }{E^{2}}}{\frac {\Gamma _{i}\Gamma _{f}}{(E-M_{R})^{2}+(\Gamma /2)^{2}}}$

nota come formula di Breit-Wigner, ove:

• $E$ è l'energia nel centro di massa
• $M_{R}$ è la massa (o meglio, l'energia) della risonanza
• $J$ è lo spin della risonanza
• $\Gamma _{i}$ e $\Gamma _{f}$ sono, rispettivamente, la larghezza parziale degli stati inziale e finale
• $\Gamma$ è la larghezza della risonanza
• $S_{a}$ e $S_{b}$ sono lo spin di $a$ e $b$ nello stato iniziale

Se dunque si fanno collidere delle particelle e si va a vedere il numero di oggetti prodotti in funzione dell'energia dello stato iniziale, si trova un grafico ove i picchi corrispondono proprio a delle risonanze. Ciò significa che in risonanza $a$ e $b$ hanno interagito in modo tale da formare una nuova particella, ossia l'interazione fra $a$ e $b$ è tale che in corrispondenza di quella data energia si formi un nuovo stato legato, ossia una nuova particella. Il problema che si presentò storicamente è che con studi di questo tipo ci si trovò di fronte a una situazione veramente caotica, ovvero si trovò una quantità spropositata di particelle; ciò portò a dubitare che tutte queste potessero essere elementari. In particolare, si trovarono:

• 9 mesoni pseudoscalari
• 9 mesoni vettoriali
• 8 barioni $J^{P}=1/2^{+}$
• 9 barioni $J^{P}=3/2^{+}$

I quark

Nel tentare di costruire un modello che cerchi di spiegare la natura delle particelle, è evidente che questo "bestiario" è troppo vasto. Nel '64 Zweig e Geldman ipotizzarono l'esistenza di particelle ancora più piccole, i quark, che costituiscono tutte le particelle osservate. In particolare, si ipotizzò che i mesoni fossero costituiti da un quark e un antiquark, mentre i barioni da tre quark, ossia:

${\text{mesoni}}\longrightarrow q{\overline {q}}\qquad {\text{barioni}}\longrightarrow qqq$

Geldman e Zweig pensarono tre quark, detti up, down e strange, che fossero in grado di riprodurre tutte le particelle osservate, giungendo alle seguenti conclusioni:

Quark ipotizzati da Geldman e Zweig nel 1964

	Q	J	Jz	S
up	2/3	1/2	1/2	0
down	-1/3	1/2	-1/2	0
strange	-1/3	0	0	-1

In questo modo si ha, ad esempio:

$p=uud\quad n=udd\quad \pi ^{-}=d{\overline {u}}\quad \pi ^{+}=u{\overline {d}}\quad \pi ^{0}=u{\overline {u}}+d{\overline {d}}$

$K^{+}=s{\overline {u}}\quad K^{-}=u{\overline {s}}\quad K^{0}=d{\overline {s}}\quad {\overline {K}}^{0}=s{\overline {d}}$

e si riuscì effettivamente a riprodurre tutte le particelle osservate. È dunque un modello potenzialmente molto efficace.

Sorse però immediatamente un problema: fra tutte le molte particelle note al tempo ce n'è una, $\Omega ^{-}$, che si determinò sperimentalmente essere un fermione. Col modello a quark, però, si prevedeva $\Omega ^{-}=sss$, e facendo i conti risulta che la funzione d'onda di questa particella è simmetrica, andando contro il principio di Pauli. Il problema si risolve introducendo un nuovo numero quantico per i quark, in modo da ristabilire l'antisimmetria di questa funzione d'onda; questo numero quantico è il colore.

Negli anni '60 e '70, all'LHC si studiarono processi di questo tipo:

$K^{+}\longrightarrow \pi ^{+}+\nu +{\overline {\nu }}\quad K^{+}\longrightarrow \pi ^{0}+e^{+}+\nu$

ove il primo è detto processo di corrente neutra e il secondo di corrente carica (scrivendo per bene le interazioni è infatti possibile definire una corrente, in analogia con l'elettromagnetismo). Secondo le conoscenze dell'epoca sulle interazioni deboli, ci si aspettava che questi processi avessero un "branching ratio" molto simile, ove il branching ratio è definito come:

$BR={\frac {\Gamma _{f}}{\Gamma }}$

Sperimentalmente risultò:

$BR(K^{+}\longrightarrow \pi ^{+}+\nu +{\overline {\nu }})\approx 1.5\cdot 10^{-10}\quad BR(K^{+}\longrightarrow \pi ^{0}+e^{+}+\nu )\approx 5\cdot 10^{-2}$

e non c'era alcuna spiegazione valida del perché la corrente neutra fosse così soppressa rispetto a quella carica. Si ipotizzò dunque l'esistenza di un quarto quark, che interagisce in modo diverso nei due processi considerati. Con quest'ipotesi, le ampiezze di decadimento calcolate erano effettivamente in accordo con gli esperimenti. Questo nuovo quark venne detto charm, con un nuovo numero quantico (lo charm, appunto) costruito per rendere conto delle evidenze sperimentali. Bisognava però verificare se effettivamente questo quark esistesse oppure no. Negli anni '70 negli USA Ting diresse degli esperimenti per studiare processi del tipo:

$p+N\longrightarrow e^{+}+e^{-}+X$

ove $N$ è un nucleone, e $X$ particelle qualunque: in altre parole, si studiano solo gli stati finali che contengono un elettrone e un positrone. Nell'apparato sperimentale i rivelatori venivano posizionati ad hoc per poter identificare le particelle volute. Variando la struttura dell'apparato si poteva variare lo spettro delle energie osservate. Tenendo conto che la massa invariante di $e^{+}$ e $e^{-}$ è:

$m(e^{+}e^{-})={\sqrt {(E_{1}+E_{2})^{2}-({\vec {p}}_{1}+{\vec {p}}_{2})^{2}}}$

Si osservò dunque una risonanza, ossia nel processo era stata creata una nuova particella, che Ting chiamò $J$. Contemporaneamente, in un esperimento diretto da Richter sempre negli USA si studiarono processi del tipo:

$e^{+}+e^{-}\longrightarrow e^{+}+e^{-}+X\quad e^{+}+e^{-}\longrightarrow \mu ^{+}+\mu ^{-}+X$

(o comunque in generale si studiarono processi con degli adroni come prodotti finali), facendo variare l'energia degli elettroni e dei positroni fra circa 2 e 7 GeV.

Era dunque stata trovata un'altra particella, che Richter chiamò Ψ \Psi , che decade in modi diversi. È però uguale alla particella $J$ trovata da Ting. Storicamente ci fu una grande discussione fra Ting e Richter su chi avesse il merito della scoperta, e alla fine si decise di chiamare la particella $J/\Psi$.

Ora, usando la formula di Breit-Wigner si può calcolare la larghezza dello stato della $J/\Psi$:

$\sigma (E)\approx {\frac {\Gamma _{i}\Gamma _{f}}{(E-M_{R})^{2}+(\Gamma /2)^{2}}}$

e risulta che lo stato della $J/\Psi$ è molto poco largo; il problema è che cercando di scrivere la funzione d'onda con i quark allora noti non si riusciva a riprodurne la larghezza. Si pensò dunque che la $J/\Psi$ potesse essere composta da uno charm e un anticharm, stato legato detto charmonio (analogo del positronio). Studiando nuovamente processi di urto fra elettroni e positroni e sondando regioni energetiche più ampie si trovarono altre particelle, dette $\Psi '$, $\Psi ''$, che non sono altro che stati eccitati della $J/\Psi$; ciò che risultò è che gli stati energetici di queste particelle hanno la stessa distribuzione dei livelli energetici del positronio. La $\Psi ''$, però, presenta un'anomalia: ha uno stato un po' più largo degli altri; il motivo lo si colse più tardi: si capì che esistono dei mesoni, detti $D$, contenenti quark charm e tali che $J/\Psi$ e $\Psi '$ non possono decadere in essi, mentre la $\Psi ''$ sì. È per questo che $J/\Psi$ e $\Psi '$ hanno stati più stretti della $\Psi ''$.

Insomma, a questo punto erano noti quattro quark: up, down, strange e charm.

Nel '77-'78, però, Lederman studiò processi del tipo:

$p+{\text{Cu}}\longrightarrow \mu ^{+}+\mu ^{-}+X$

Studiando questa nuova particella detta $Y$, si determinò che ha uno stato molto stretto e che non può essere formato da questi soli quattro quark. La sua spiegazione è possibile solo introducendo un nuovo quark, il bottom (o beauty), di modo tale che $Y$ sia composta da un bottom e da un antibottom, ossia sia un bottomio. Anche in questo caso si trovarono altre particelle ($Y'$, $Y''$ ecc.) che riproducono un comportamento simile al positronio e alla $J/\Psi$. In particolare, $Y''$ ha uno stato più largo perché anche stavoltà né $Y$ né $Y'$ possono decadere in determinati mesoni contenenti bottom.

A questo punto poteva sembrare che si riproponesse una situazione simile a quella iniziale (ossia che i quark potessero diventare troppi), ma non furono trovati altri quark. C'è però un inghippo teorico, ossia a questo stadio i quark non sono a coppie:

carica
2/3	u	c	?
-1/3	d	s	b

Ciò è un problema non solo perché questa ha l'aria di una "simmetria incompleta", ma anche perché come avevamo visto esistevano tre tipi di leptoni e neutrini, e quindi sarebbe molto "intrigante" se anche i quark si dividessero in tre tipi. Per ristabilire questa "simmetria" venne dunque postulata l'esistenza di un nuovo quark, il top. Ci sono voluti però moltissimi anni per osservarlo (venne trovato nel '95 osservando processi del tipo $p+{\overline {p}}\longrightarrow t+{\overline {t}}+X)$; il motivo di questo ritardo diventa chiaro se si considerano le masse dei quark:

$u\longrightarrow 3{\text{ MeV}}\quad c\longrightarrow 1.3{\text{ GeV}}\quad t\longrightarrow 170{\text{ GeV}}$

$d\longrightarrow \approx 5{\text{ MeV}}\quad s\longrightarrow 100{\text{ MeV}}\quad b\longrightarrow <5{\text{ GeV}}$

Il top era dunque difficilissimo da osservare perché estremamente pesante! Il quark top, inoltre, decade secondo $t\longrightarrow W^{+}+b$, e ha una vita media $\tau \approx 10^{-25}{\text{s}}$, a cui corrisponde $\Gamma \approx 1.5{\text{ GeV}}$. A oggi non sappiamo perché il quark top sia così pesante.

In generale, i quark sono soggetti al "confinamento", ossia si trovano sempre in uno stato legato. Il top ha però una vita media talmente breve da decadere prima di potersi legare con altri quark (non adronizza); insomma, sperimentalmente non esistono stati legati con un quark top. Questo è inoltre l'unico quark che si può osservare libero, e dimostra direttamente l'esistenza dei quark.