Fisica nucleare e subnucleare/Il deutone

Come già detto, il più semplice sistema nucleare composto è il deutone, che è un sistema legato e composto da un protone e un neutrone. Lo studio del deutone permette di comprendere la natura dell'interazione che si esercita fra nucleoni (in particolare fra protoni e neutroni).

Sperimentalmente (come avevamo d'altronde già evidenziato in generale), la massa del deutone è minore della somma delle masse dei suoi componenti, ossia $m_{d}<m_{p}+m_{n}$, e ciò è dovuto all'energia di legame del sistema. Per il deutone si ha:

$\Delta m=(m_{p}+m_{n})-m_{d}\simeq 2.2{\text{ MeV}}/c^{2}$

e dunque $\Delta E=\Delta mc^{2}=2.2{\text{ MeV}}$ è l'energia di legame del deutone (ossia, ribadiamolo, quella che bisogna fornire al sistema per scinderlo in un protone e un neutrone). Per confronto, l'energia di legame dell'idrogeno nello stato fondamentale è $E=-13.6{\text{ eV}}$: ci sono cinque ordini di grandezza di differenza fra le due energie di legame, e questo è espressione del fatto che l'interazione fra i nucleoni è molto più forte di quella coulombiana (o, in altre parole, i nuclei sono molto più "compatti" dell'atomo). Dall'energia di legame dell'idrogeno si può ricavare il "raggio" dell'atomo:

$E_{\text{Coulomb}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}=\underbrace {\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}} _{1.44{\text{ MeV }}\cdot {\text{fm }}}{\frac {1}{r}}=13.6{\text{ eV}}\quad \Rightarrow \quad r\simeq 10^{5}{\text{ fm}}=1{\text{ Å}}$

Sappiamo poi che il raggio d'azione dell'interazione nucleare è dell'ordine dei fm: in questo modo possiamo vedere proprio come l'interazione nucleare sia sì molto più forte di quella coulombiana, ma anche a raggio molto più breve (in entrambi i casi ci sono differenze di circa cinque ordini di grandezza).

Le proprietà del deutone

Sperimentalmente, risulta che un deutone nello stato fondamentale ha:

• momento angolare totale uguale a 1;
• parità positiva;
• momento di dipolo magnetico $\mu _{\text{magn}}{\stackrel {\sim }{\neq }}\mu _{p}+\mu _{n}$, ossia momento di dipolo magnetico leggermente diverso dalla somma dei momenti di dipolo magnetico dei suoi costituenti, perché ci sono anche i momenti di dipolo magnetico orbitali,
• momento di quadrupolo elettrico $Q_{\text{el}}\neq 0$.

Poniamoci nel centro di massa del sistema. Ogni nucleone ha la propria funzione d'onda, e ci aspettiamo che la funzione d'onda complessiva di tutto il deutone contenga un termine con un buon valore del momento angolare orbitale (proprio perché il protone e il neutrone si muovono intorno al centro di massa). Per quello che invece riguarda il momento angolare totale, si ha:

${\vec {J}}={\vec {s}}_{p}+{\vec {s}}_{n}+{\vec {\ell }}$

ove ${\vec {s}}_{p}$ e ${\vec {s}}_{n}$ sono gli spin dei nucleoni, e ${\vec {\ell }}$ il momento angolare orbitale totale. Poiché protone e neutrone hanno spin 1/2, lo spin totale ${\vec {S}}$ potrà essere uguale a ${\vec {0}}$ ("singoletto di spin") o ${\vec {1}}$ ("tripletto di spin"). Poiché sperimentalmente ${\vec {J}}$ dev'essere 1, gli unici valori possibili per ${\vec {\ell }}$ sono 0, 1 e 2 (in questo modo, infatti, sommando i momenti angolari è sempre possibile ottenere un momento angolare totale pari a 1: se infatti ${\vec {S}}=1$, ${\vec {\ell }}$ può essere 0, 1 o 2, e se ${\vec {S}}=0$ allora ${\vec {\ell }}=1$).

La parità totale del sistema sarà data dal prodotto di quelle dei nucleoni (positive) e quella del momento angolare orbitale. In particolare, si avrà $P=(-1)^{\ell }=+1$, e pertanto $\ell$ può avere solo valore pari; pertanto il caso $S=0$ è sicuramente escluso, e dunque si avrà $S=1$ e $\ell =0$ oppure $\ell =2$. Pertanto, per ricapitolare, nello stato fondamentale del deutone si ha $S=1$ e $\ell =0,2$. Verrebbe da pensare che lo stato "preferito" dal sistema sia quello con $\ell =0$, perché dovrebbe essere quello con energia minima. Vediamo se questo ragionamento è compatibile con i risultati sperimentali. Il momento magnetico del deutone è:

$\mu _{\text{magn}}=\mu _{p}+\mu _{n}+\underbrace {\mu _{\text{orb}}} _{=g_{p}\ell }$

Se dunque $\ell$ fosse zero allora il momento magnetico del deutone dovrebbe essere uguale alla somma di quello del neutrone e del protone. Poiché però sperimentalmente questo non è verificato, allora $\ell$ non può essere "solo" zero. Con questo si intende che (lo si verifica sperimentalmente) la funzione d'onda del deutone nello stato fondamentale ha un 96% di componente con $\ell =0$ e un 4% con $\ell =2$.

Ragionamenti del tutto analoghi possono essere fatti per il momento di quadrupolo elettrico: questo infatti dipende solo dal momento angolare orbitale, e poiché sperimentalmente non è nullo, allora $\ell$ non può essere solo nullo.

Da tutti questi ragionamenti possiamo trarre una conclusione importante: l'interazione protone-neutrone non è invariante sotto rotazioni. Infatti, gli autostati di un'hamiltoniana hanno un buon valore di $\ell$ solo se il potenziale a cui le particelle sono soggette è centrale, ma abbiamo appena visto che nello stato fondamentale il deutone non ha un valore ben definito di $\ell$. Pertanto, l'interazione forte non è di tipo centrale, come quella coulombiana.

Riconsideriamo infine le proprietà di simmetria del deutone, o meglio della sua funzione d'onda pensata come funzione d'onda di un sistema di due nucleoni. Per quello che riguarda lo spin, la parte della funzione d'onda ad esso relativa sarà pari, perché in generale ha parità $(-1)^{s+1}$, e $S=1$. Per quanto appena visto, poi, è simmetrica anche nella parte di momento angolare orbitale. Se dunque consideriamo protone e neutrone come particelle identiche a meno dell'isospin, allora nello spazio dell'isospin la funzione d'onda del deutone dovrà essere antisimmetrica: infatti la funzione d'onda complessiva dovrà essere dispari perché il deutone è un sistema di fermioni. Poiché la parità dell'isospin è $(-1)^{t+1}$, necessariamente per il deutone $T=0$ (a priori si poteva avere anche $T=1$ perché il sistema è composto da un protone e un neutrone, ma per quanto appena visto non è possibile); si dice anche che il sistema è in un singoletto di isospin.

Riconsideriamo i tre tipi di sistemi che avevamo nominato poco fa, ossia protone-protone, protone-neutrone (deutone) e neutrone-neutrone. Come già detto, se l'hamiltoniana del sistema è invariante nello spazio di isospin, ci aspettiamo che gli stati con $T=1$ (ossia protone-protone e neutrone-neutrone) abbiano la stessa energia. Sperimentalmente, risulta (trascurando l'interazione coulombiana, se presente):

$T=1$	—	—	—	$\ell =0$
$T=0$		—
	$p-p$	$p-n$	$n-n$

Pertanto, un deutone può avere $T=1$ solo in stati eccitati. Da ciò possiamo trarre un'importante conclusione, ossia che l'interazione protone-neutrone è più forte delle altre (perché ha energia minore, nello stato con $T=0$).

Una nota sul momento angolare del deutone: il fatto che questo abbia momento angolare totale intero implica che il deutone, complessivamente, è un bosone. Ciò significa che un gas di deutoni è un gas bosonico, ossia la sua funzione d'onda è simmetrica rispetto allo scambio di due deutoni. Non dobbiamo farci "ingannare" dal fatto che i deutoni siano composti di fermioni: se consideriamo i deutoni come un unico oggetto, dobbiamo "dimenticarci" della loro struttura fermionica interna (anche se il tipo di interazione che si eserciterà fra deutoni dovrà tenerne conto).

Un modello per l'interazione fra nucleoni

Elaboriamo un semplice modello per capire quanto più intensa sia l'interazione nucleare rispetto a quella coulombiana. Approssimiamo dunque il potenziale d'interazione nucleare come una buca (finita) di potenziale.

Si ha $\simeq 2{\text{ fm}}$, e la massa ridotta del sistema è $m_{r}\simeq {\frac {1}{2}}m_{p}$ (perché protone e neutrone hanno masse quasi identiche). Dobbiamo dunque risolvere l'equazione di Schrödinger per questo potenziale, con $V_{0}$ tale da permettere l'esistenza di uno stato legato con $\ell =0$ e $E=-2.2{\text{ MeV}}$. Svolgendo i conti, risulta $V_{0}\simeq 35{\text{ MeV}}$. Rispetto al caso coulombiano, la buca è molto più profonda, di diversi ordini di grandezza.

Abbiamo considerato un potenziale a corto raggio perché nel nucleo protoni e neutroni sono molto "vicini", e questo suggerisce proprio che l'interazione sia apprezzabile solo a breve raggio. Questo fatto può anche essere visto in termini di particelle mediatrici di campo: prendendo per buono che un campo possa essere mediato da delle particelle, se il mediatore ha vita media breve allora l'interazione sarà a corto raggio, altrimenti no. Ad esempio, i fotoni sono i mediatori del campo elettromagnetico e hanno vita media infinita: pertanto il campo elettromagnetico ha raggio d'azione lunghissimo (teoricamente infinito). Da ciò possiamo dunque intuire che i mediatori dell'interazione nucleare hanno una vita media finita.