Fisica nucleare e subnucleare/Proprietà dei nuclei atomici

Il raggio e la massa del nucleo

Ci possiamo dunque chiedere come siano distribuiti i nucleoni all'interno del nucleo; ciò che "tiene insieme" protoni e neutroni è l'interazione forte, che come vedremo è a raggio estremamente corto (al contrario di quella coulombiana), e pertanto ci aspettiamo che a differenza degli elettroni in un atomo i nucleoni siano estremamente compatti e a densità molto elevata. L'esperimento di Rutherford ha permesso di capire qual è la struttura atomica, consentendo di ricavare una prima stima delle dimensioni del nucleo (che è dell'ordine dei femtometri). Usando particelle più leggere (come elettroni, ad alte energie) di quelle usate da Rutherford, ossia particelle $\alpha$, si possono fare stime ancora più precise. Per capire invece quale sia la struttura interna dei nuclei (ossia come siano distribuite carica e massa al loro interno) si possono fare altri tipi di esperimenti.

• Si può, ad esempio, effettuare spettroscopia su atomi mesici. Questi ultimi sono atomi in cui gli elettroni sono sostituiti da muoni, particelle che hanno la stessa carica dell'elettrone ma massa circa 200 volte più grande. In questo modo, i muoni tenderanno a trovarsi a distanze minori dal nucleo rispetto agli elettroni, risentendo maggiormente della struttura interna del nucleo. Per questo, le linee dello spettro di atomi mesici sono "spostate" rispetto a quelle "canoniche", e questo "spostamento" dipende anche dalla distribuzione di carica nel nucleo.
• Molte informazioni possono essere estratte dai raggi X emessi da atomi pesanti: in questi, infatti, gli elettroni degli stati a energia più bassa tenderanno a trovarsi molto vicino al nucleo, risentendo anch'essi della distribuzione di carica al suo interno.
• Per ogni elemento è definibile il suo elemento speculare, ottenuto scambiando $Z$ e $N$. Ad esempio, per ${}^{7}{\text{Li}}$ si ha $Z=3$ e $N=4$, e dunque il suo elemento speculare è ${}^{7}{\text{Be}}$, che ha $Z=4$ e $N=3$.

Le interazioni fra gli elementi di un nucleo potranno essere necessariamente di tre tipi: protone-protone, neutrone-neutrone e protone-neutrone. Ora supponendo questi tre tipi di interazioni diversi fra loro, all'interno dei nuclei di ${}^{7}{\text{Li}}$ e ${}^{7}{\text{Be}}$ ci sono un numero diverso di interazioni differenti, e dunque ci aspetteremmo che i nuclei di ${}^{7}{\text{Li}}$ e ${}^{7}{\text{Be}}$ siano molto diversi. Sperimentalmente, però, gli spettri di questi due elementi sono "praticamente uguali", e quindi questi tre tipi di interazioni sono uguali. Per "praticamente uguali" si intende che sono identici se poniamo sullo stesso livello lo stato fondamentale: infatti, i nuclei di berillio e litio hanno cariche diverse, e quindi energie diverse.

Risulta, insomma, che la carica e la materia sono distribuite uniformemente all'interno del nucleo. In altre parole, la densità di materia in un nucleo è quasi costante entro un certo raggio, e poi cade rapidamente a zero in una zona dell'ordine di mezzo femtometro.

Pertanto, il raggio di un nucleo è una quantità ben definita (al contrario, ad esempio, del raggio atomico). Si ha poi che i valori tipici del raggio di un nucleo variano fra 1 e 7 fm. Poiché dunque la densità di materia tende a saturare all'interno del nucleo, possiamo dedurre che i nucleoni si comportino, a brevissime distanze, come delle "palline rigide" fra loro impenetrabili (se infatti ciò non accadesse, la densità di materia crescerebbe al diminuire del raggio, all'interno di un nucleo). Questa considerazione ci servirà anche più avanti.

Per quello che invece riguarda la massa complessiva di un nucleo, un nucleo è un sistema legato (ossia ha energia minore rispetto alla configurazione in cui tutti i suoi componenti sono liberi). Pertanto in generale, detta $M(Z,N)$ la massa di un nucleo, si ha $M(Z,N)<Zm_{p}+Nm_{n}$: la massa "mancante" $\Delta M$ è l'energia necessaria a scindere il nucleo nelle sue particelle componenti.

Lo spin isotopico

Abbiamo dunque capito che, a parte l'interazione coulombiana, protoni e neutroni sono identici. Ciò può essere formalizzato introducendo lo spin isotopico o isospin.

Ciò che si fa è introdurre una nuova terna di operatori ${\vec {t}}=(t_{1},t_{2},t_{3})$, detti di isospin, definiti in modo tale che per $t_{1}$, $t_{2}$ e $t_{3}$ valgano le stesse regole di commutazione dello spin (lo spazio in cui è definito l'isospin è uguale a quello dello spin, visto che le loro algebre sono le stesse). Si assume poi che protone e neutrone siano gli autostati di $t^{2}$ e $t_{3}$ con $t=1/2$ e $t^{3}=1/2$ per il protone e $t^{3}=-1/2$ per il neutrone. Insomma, consideriamo protone e neutrone come due "stati" di una stessa "particella": in questo modo possiamo considerarle effettivamente come particelle identiche ma distinguibili (in base alla presenza dell'interazione elettromagnetica). Componendo più isospin (con le stesse regole dello spin, visto che entrambi hanno la stessa algebra) possiamo dunque studiare come si accoppiano più nucleoni. Ad esempio, se ogni nucleone ha $t=1/2$ allora l'isospin totale potrà essere:

$T=1\quad \Rightarrow \quad M_{T}={\begin{cases}1&{\text{protone-protone}}\\0&{\text{protone-neutrone}}\\-1&{\text{neutrone-neutrone}}\end{cases}}$

$T=0\quad \Rightarrow \quad M_{T}=0\quad {\text{protone-neutrone}}$

Se dunque l'hamiltoniana è invariante nello spazio dell'isospin, gli stati con $T=1$ saranno energeticamente degeneri, mentre il sistema protone-neutrone può avere più energie (può avere isospin totale 0 oppure 1).

Per quello che riguarda la parità di una funzione d'onda, tenendo conto anche dell'isospin (oltre che dello spin e del momento angolare orbitale) si ha che questa è $(-1)^{\ell }(-1)^{s+1}(-1)^{t+1}$.