Fisica nucleare e subnucleare/Decadimenti gamma

Generalità

Hanno a che fare con trasformazioni all'interno dello stesso sistema. In un decadimento $\gamma$ un sistema passa da uno stato con una certa energia ad uno con energia minore. Sappiamo che in un generico sistema quantistico soggetto a un potenziale V V potranno esistere più o meno stati legati; ad esempio nel caso dell'interazione coulombiana fra protone ed elettrone in un atomo di idrogeno ne esistono infiniti, di stati legati. Sappiamo poi che se un elettrone si trova in uno stato che non sia quello fondamentale allora decadrà più o meno velocemente in quest'ultimo. Teoricamente, dall'espressione dell'hamiltoniana come $H=T+V$ (con $T$ energia cinetica) non deriva che la particella debba necessariamente decadere: in realtà infatti la "vera" hamiltoniana contiene anche termini relativi al campo elettromagnetico, e sono questi che permettono all'elettrone di decadere nello stato fondamentale. Insomma, le autofunzioni del sistema protone-elettrone possono evolvere temporalmente come conseguenza dell'interazione col campo elettromagnetico (esterno). Un ragionamento del tutto analogo vale anche per i nucleoni all'interno di un nucleo atomico. In particolare, se il nucleo transisce fra uno stato iniziale di energia $\varepsilon _{i}$ e uno finale di energia $\varepsilon _{f}$ emetterà di conseguenza una radiazione di energia $\Delta E=\varepsilon _{i}-\varepsilon _{f}$ (ovviamente, al variare di $\Delta E$ varia la lunghezza d'onda della radiazione emessa).

Nel caso di transizioni atomiche, la radiazione emessa è generalmente nell'ambito del visibile; nel caso delle transizioni nucleari, invece, le radiazioni elettromagnetiche emesse sono di tipo $\gamma$, dunque estremamente energetiche. Poiché la transizione è caratterizzata da una certa costante di decadimento $\lambda$, e quindi da un tempo di dimezzamento $t_{1/2}$, lo stato $\varepsilon _{i}$ sarà caratterizzato da una certa larghezza per via del principio di indeterminazione di Heisenberg. L'indeterminazione energetica di un livello nucleare è $\Gamma =\hbar /\tau$, con $\tau$ vita media dello stato iniziale; i decadimenti $\gamma$ sono estremamente veloci, con in genere $\tau \approx 1ps$ (dunque $\Gamma =0.66meV$). Nel caso, ad esempio, del ${}^{60}{\text{Co}}$, sappiamo che decade in stati eccitati di ${}^{60}{\text{Ni}}$, che emettono radiazione $\gamma$ a 1.17 MeV e 1.33 MeV. Cosa accade quando un sistema emette radiazione elettromagnetica? I fotoni infatti non trasportano solo energia, ma anche momento ($p=E/c$): ci aspettiamo dunque che il nucleo abbia un rinculo. Facendo i conti si determina che l'energia del $\gamma$ emesso è (non è pari a $\Delta E$ proprio perché il nucleo figlio assorbe dell'energia cinetica):

$E_{\gamma }=\Delta E-{\frac {(\Delta E)^{2}}{2Mc^{2}}}$

ove $M$ è la massa iniziale del nucleo. Se però $\Delta E\approx 1MeV$ in un nucleo con $A\approx 100$, il secondo termine è assolutamente trascurabile. Possiamo dunque supporre effettivamente $E_{\gamma }=\Delta E$ (il nucleo è molto pesante e quindi si prende poca energia).

Se l'emissione $\gamma$ avviene durante un urto, bisogna tener conto anche dell'effetto Doppler: nel sistema di riferimento del nucleo avviene infatti quanto abbiamo appena visto, ma per portarci nel sistema di riferimento del laboratorio dovremo effettuare un boost. Sperimentalmente, questo porta all'allargamento delle righe di emissione.

In generale, lo spettro $\gamma$ di un nucleo è relativamente semplice a basse energie, e diventa estremamente complicato per energie più alte (vedere, come esempio, lo spettro di ${}^{152}{\text{Dy}}$ sulle slides); infatti ad alte energie stati di shell diverse iniziano a sovrapporsi l'un l'altro. Inoltre, per energie molto alte un nucleo può diseccitarsi emettendo nucleoni o particelle $\alpha$, ma se questo non fosse possibile (ossia energeticamente consentito) allora va incontro a una cascata di decadimenti $\gamma$. A partire da fenomeni del genere si può cercare di ricostruire lo spettro del nucleo.

Alcune porzioni di spettro, però, possono avere una struttura semplice anche per energie molto alte (cfr. solita slide); alcune di queste possono essere spiegate tramite un modello descrivente un oggetto rotante. Può accadere infatti che (contrariamente a quanto supposto sinora) un nucleo possa "preferire" di ruotare e deformarsi, invece di essere sferico (e non ruotare), e si parla di "bande rotazionali". Ad esempio, l'idrogeno ha bande rotazionali con momenti angolari pari, per motivi di simmetria. Nel caso di ${}^{152}{\text{Dy}}$, inoltre, la banda rotazionale ha sempre momento angolare pari, fino a circa $60\sim 70$. Ora, è vero che (come abbiamo detto) tutti i nucleoni si muovono in un campo medio indipendentemente fra loro, ma talvolta possono mettersi a ruotare tutti collettivamente nello stesso modo (si parla di "moti collettivi" del nucleo). Insomma, ogni tanto un sistema nucleare può presentare aspetti collettivi; si tratta di una proprietà tipicamente quantistica di questi sistemi (classicamente, il sistema o presenta aspetti collettivi oppure no).

Tipi di radiazione $\gamma$

Sappiamo che una radiazione elettromagnetica corrisponde a un campo elettromagnetico oscillante; questa radiazione può essere generata o da una carica elettrica oscillante (radiazione di tipo $E$ o elettrica) o da una corrente oscillante (radiazione di tipo $M$ o magnetica). Questi tipi di radiazione sono distinguibili, cioè non strutturalmente identici. La radiazione elettromagnetica ha momento angolare che non può essere nullo ($L=1,2,3,4,\dots$); una generica radiazione sarà dunque indicata, a seconda del suo tipo, da una lettera ($E$ o $M$) e da un numero (che ne indica il momento angolare). Ad esempio, $E1$ è una radiazione elettrica con momento angolare 1, $M3$ è una radiazione magnetica con momento angolare 3 ecc. In base al valore di $L$ si parla anche di multipolarità della radiazione; se $L=1$ si parla di dipolo, per $L=2$ quadrupolo, per $L=3$ ottupolo e così via. Il tipo di radiazione emessa dipenderà dunque dai momenti angolari degli stati iniziali e finali: se ad esempio la sorgente è un elemento che decade $2^{+}\longrightarrow 0^{+}$, $L=2$ e pertanto la radiazione sarà di tipo $E2$ o $M2$. In questo caso, però, la parità è conservata. In generale, un dipolo elettrico è un oggetto a parità negativa (${\vec {d}}=q{\vec {r}}$, e invertendo gli assi cambia di segno ${\vec {r}}$, dunque anche ${\vec {d}}$), mentre un momento di dipolo magnetico è a parità positiva (${\vec {\mu }}=q{\vec {r}}\times {\vec {v}}$, e invertendo gli assi sia ${\vec {r}}$ che ${\vec {v}}$ cambiano di segno, pertanto ${\vec {\mu }}$ resta inalterato). In generale, transizioni elettriche hanno parità $(-1)^{L}$ e quelle magnetiche hanno parità $(-1)^{L+1}$. La natura della radiazione emessa può essere determinata in base alla distribuzione spaziale dei fotoni emessi (ad esempio se la radiazione è di dipolo elettrico, ossia $E1$, l'intensità sarà massima in direzione perpendicolare al dipolo stesso).

Dunque, nel caso della transizione $2^{+}\longrightarrow 0^{+}$ si ha $L=2$, e dunque per la conservazione della parità la radiazione emessa sarà di tipo $E2$. Vediamo altri esempi:

• $2^{+}\longrightarrow 2^{+}$: si ha $L=1,2,3,4$ (0 va escluso perché la radiazione elettromagnetica non può avere momento angolare nullo). La transizione può dunque essere di tipo $E1$, $E2$, $E3$, $E4$, $M1$, $M2$, $M3$ o $M4$. Considerando la parità, si deve avere $L$ pari per transizioni elettriche, e dispari per quelle magnetiche. La radiazione potrà dunque essere di tipo $E2$, $E4$, $M1$ o $M3$, e quindi può avvenire in diversi modi, ognuno con diversa probabilità. Facendo i conti si determina che la probabilità di transizione, oltre che da $\Delta E$, dipende anche dalla "probabilità di transizione ridotta" (legata all'elemento di matrice dell'operatore che consente la transizione) e dal valore di $L$, e che ci sono molti ordini di grandezza di differenza fra un valore di $L$ e un altro all'interno della stessa categoria di radiazione ( $E$ o $M$). In generale, risultano favorite transizioni con $L$ basso, e a parità di $L$ le transizioni elettriche sono più probabili di quelle magnetiche.
  Nel caso dell'esempio, le transizioni più probabili saranno $M1$ e $E2$, e in genere la radiazione emessa sarà una miscela delle due (sono entrambe abbastanza probabili, quella magnetica perché ha basso momento angolare e quella elettrica perché è elettrica, anche se con momento angolare più alto).
• $4^{+}\longrightarrow 2^{+}$: si ha $L=2,3,4,5,6$, quindi si può avere $E2,\dots ,E6$ o $M2,\dots ,M6$. Considerando la parità, le possibilità si riducono a $E2$, $E4$, $E6$, $M3$ e $M5$. Le transizioni più probabili saranno dunque $E2$ e $M3$, e la prima risulterà molto più favorita della seconda (le altre praticamente non avvengono mai).
• ${}^{137}{\text{Cs}}$: decade $\beta ^{-}$ in ${}^{137}{\text{Ba}}$ nello stato eccitato $11/2^{-}$, che poi decade $\gamma$ nello stato $3/2^{+}$. Si ha dunque $L=4,5,6,7$, e considerando che la parità cambia le transizioni possibili saranno $M4$, $E5$, $M6$ e $E7$: di queste $M4$ è di gran lunga la più favorita, anche se di per se avrà una probabilità piccolissima di avvenire. In questo caso lo stato $11/2^{-}$ è detto isomerico, ossia si trova eccitato rispetto allo stato fondamentale, ma vive più a lungo rispetto agli altri stati eccitati (per quanto riguarda le regole di selezione).
• ${}^{110}{\text{Ag}}$: decade $\gamma$, ma può anche decadere $\beta ^{-}$. In realtà, anche se la transizione $\gamma$ è poco probabile (a seconda dell'eccitazione dello stato finale può essere M 4 M4 o M 5 M5), dominerà sulla $\beta ^{-}$, perché in genere i nuclei "preferiscono" decadere $\gamma$, se è possibile.
• ${}^{178}{\text{Hf}}$: può decadere $\gamma$ (da uno stato 16 + 16^+) di tipo $E3$ (stato finale $13^{-}$) o $M4$ ($12^{-}$), e ha un tempo di dimezzamento altino (circa 31 anni) perché gli stati finali appartengono a bande rotazionali diverse, ed è poco probabile che un sistema passi da una banda rotazionale ad un'altra, perché cambia struttura interna (e se le funzioni d'onda finale e iniziale non si "assomigliano" la transizione sarà poco probabile).

Vengono anche introdotti dei valori, detti probabilità di transizione di particella singola, che rappresentano la probabilità che una transizione avvenga per via di una sola particella. Confrontando i risultati teorici con quelli sperimentali, si trova che vicino alla chiusura delle shell nucleari il loro rapporto è piccolo (dunque questi stati possono essere ben descritti da stati di particella singola), mentre aumenta considerevolmente allontanandosi da esse (in questo caso gli stati del sistema non possono essere descritti in termini di particelle singole, ma tramite stati collettivi come quelli rotazionali).