Fisica nucleare e subnucleare/Teoria delle interazioni deboli

Questo tipo di interazione si chiama così perché è "schermata" da quelle forte ed elettromagnetica. Sono state scoperte perché sperimentalmente si trovarono processi altrimenti inspiegabili. Per sua natura, l'interazione debole non è in grado di creare stati legati.

Quando Fermi cominciò a studiare questo tipo di interazione, suppose che si trattasse di un'interazione puntiforme regolata da una costante $G_{F}$; nel caso elettromagnetico e forte, le costanti di accoppiamento $\alpha _{\text{emg }}$ e $\alpha _{s}$ sono adimensionali, mentre $G_{F}$ non risultava tale. Insomma, si partì da una situazione nella quale non esisteva ancora il concetto di propagatore per l'interazione debole.

Considerando la formulazione moderna dell'interazione debole, i propagatori di questa forza sono tre: $W^{+}$, $W^{-}$ e $Z^{0}$. Se il propagatore è carico si parla di processi di "corrente carica", altrimenti di "corrente neutra".

I quark sono soggetti alle interazioni forte e debole (oltre che quella elettromagnetica), mentre i leptoni massivi a quelle elettromagnetica e debole; le uniche particelle che interagiscono solo attraverso l'interazione debole sono i leptoni non massivi, ossia i neutrini.

I processi deboli vengono generalmente divisi in tre categorie:

• Processi leptonici come:
  • $\mu ^{-}\longrightarrow e^{-}+\nu _{e}+{\overline {\nu }}_{\mu }$
  • $\nu _{\mu }+e^{-}\longrightarrow \nu _{e}+\mu ^{-}$
  • $\nu _{\mu }+e^{-}\longrightarrow \nu _{\mu }+e^{-}$
• Processi semi-leptonici come ad esempio il decadimento $\beta$, ossia $n\longrightarrow p+e^{-}+{\overline {\nu }}_{e}$. Ciò che accade in questo caso è che i vertici dei diagrammi di Feynman non sono semplicemente proporzionali alla costante di accoppiamento $G$ dell'interazione debole, e $G$ dipende comunque dal sapore dei quark coinvolti. Alla fine risulta che il processo è descritto da una matrice (la matrice CKM) che "mescola" gli stati dei quark
• Processi non leptonici come il decadimento $\Lambda ^{0}\longrightarrow p+\pi ^{-}$.

Notiamo poi che l'interazione debole non conserva il sapore dei quark. Per lungo tempo le interazioni deboli erano state pensate e elaborate in modo tale da poter spiegare processi come quelli osservati. Tuttavia, per anni lo sviluppo di queste teorie è stato ostacolato dal fatto che si credeva che l'interazione debole, come tutte le altre note, dovesse conservare tutte le simmetrie. Risulta infatti che l'interazione debole viola sistematicamente alcune di queste. Quando abbiamo introdotto la stranezza, abbiamo visto che vennero trovate due particelle (che poi in realtà si scoprirono essere la stessa), $\theta$ e $\tau$:

$\theta ^{+}\longrightarrow \pi ^{+}+\pi ^{0}\quad \tau ^{0}\longrightarrow \pi ^{+}+\pi ^{-}$

(e fintanto che non si introduce il quark $s$ il fenomeno è inspiegabile). In contemporanea a questo venivano studiati anche i decadimenti:

$\theta ^{+}\longrightarrow \pi ^{+}+\pi ^{0}\quad \tau ^{+}\longrightarrow \pi ^{+}+\pi ^{+}+\pi ^{-}$

ove $\theta ^{+}$ e $\tau ^{+}$ sono in realtà $K^{+}$; in effetti, studiando queste particelle risulta che sono la stessa particella (hanno stessa massa e vita media). Tuttavia, studiando la distribuzione angolare di questi decadimenti si determina che la parità del primo è positiva mentre quella del secondo negativa. Insomma, abbiamo due decadimenti deboli della stessa particella ma con parità diverse: sembra che la parità non si conservi nel decadimento. Ci fu dunque un lunghissimo dibattito, ma ricontrollando anche esperimenti già fatti in passato non se ne trovò uno in cui la parità sia conservata. Bisognava insomma capire perché la parità in processi deboli è sempre violata.

L'esperimento che dimostrò univocamente la violazione della parità fu effettuato dalla Wu in decadimenti $\beta$ di atomi di ${}^{60}{\text{Co}}$. In quest'esperimento non si capì solo che effettivamente la parità è violata, ma anche come deve essere fatto l'operatore matematico che descrive l'interazione debole. Si scoprì poi anche che i neutrini emessi nel decadimento hanno elicità (prodotto scalare fra spin e velocità) negativa e gli antineutrini positiva; poiché i neutrini hanno elicità diverse, ciò significa che anche $C$ è violata (perché $C$ non coinvolge l'elicità). Le interazioni deboli, dunque, violano singolarmente $C$ e $P$; Landau dimostrò però che $CP$ sarebbe dovuta essere conservata, ma qualche anno dopo si determinò che in realtà anche questa simmetria è violata. Tornando all'esperimento della Wu, si è sostanzialmente andati a vedere la distribuzione degli elettroni emessi dal ${}^{60}{\text{Co}}$, e risultò che questa è tale per cui il processo che causa il decadimento viola massimamente $P$. Nel decadimento del cobalto la situazione dal punto di vista dello spin è la seguente, per la conservazione del momento angolare (che l'interazione debole non viola).

Inoltre, elettrone e antineutrino hanno sempre impulsi opposti, e tali che l'elettrone ha momento antiparallelo al suo spin, mentre l'antineutrino parallelo. Introduciamo l'elicità:

${\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{p}}$

ove ${\vec {p}}$ è l'operatore impulso e ${\vec {\sigma }}$ di spin. Pertanto, il neutrino ha elicità sempre negativa, e l'antineutrino positiva. Se infatti consideriamo i decadimenti del $\mu ^{+}$ e $\mu ^{-}$:

$\mu ^{-}\longrightarrow e^{-}+\nu _{\mu }+{\overline {\nu }}_{e}\quad \mu ^{+}\longrightarrow e^{+}+{\overline {\nu }}_{\mu }+\nu _{e}$

si ha che queste reazioni sono l'una la coniugata di carica dell'altra. Ciò che si determina, però, è che le elicità di elettrone e positrone sono opposte, e pertanto per la conservazione del momento anche neutrino e antineutrino hanno elicità opposte. Pertanto, $C$ non è conservata (perché $C$ non dovrebbe alterare l'elicità di una particella). Dobbiamo però dimostrarlo con un esperimento. A questo proposito venne studiato il decadimento del Sm, e si riuscì a dimostrare che neutrino e antineutrino hanno sempre elicità definita, in particolare negativa per il neutrino e positiva per l'antineutrino.

Mescolamento dei quark e oscillazioni di stranezza

Consideriamo i diagrammi di Feynman dei decadimenti del $\mu ^{-}$ e del neutrone.

Se l'interazione debole fosse universale, le costanti di accoppiamento coinvolte nei due processi dovrebbero essere le stesse; tuttavia queso non accade. Il decadimento del neutrone è una transizione nella quale la stranezza non cambia; venne studiato anche il decadimento $Lambda\longrightarrow p+e^{-}+{\overline {\nu }}_{e}$, nel quale la stranezza varia, in particolare $\Delta s=1$ (in questo processo infatti compare un quark $s$, al contrario di prima). Se l'interazione debole fosse universale, dunque, ci aspetteremmo che i range di questi processi siano gli stessi (tenendo conto anche dei termini correttivi non-perturbativi dovuti al fatto che il tutto avviene all'interno di una particella). Cabibbo e altri studiarono i decadimenti $\pi ^{-}\longrightarrow \mu ^{-}+{\overline {\nu }}_{\mu }$ e $K^{-}\longrightarrow$ \mu^- +\overline{\nu }_\mu , che sono analoghi a quelli appena visti, ma più semplici e con meno quark coinvolti. Facendo il conto supponendo che l'interazione sia universale, i range risultano uguali, e sperimentalmente sono processi facili da studiare. Risultò tuttavia:

${\frac {\Gamma (\pi ^{-}\longrightarrow \mu ^{-}+{\overline {\nu }}_{e})}{\Gamma (K^{-}\longrightarrow \mu ^{-}+{\overline {\nu }}_{\mu })}}=1.34$

C'è dunque un problema, ossia $\Gamma (\Delta s=0)\neq \Gamma (\Delta s\neq 0)$. Cabibbo ipotizzò dunque che i quark, in particolare $s$ e $d$, non entrino nell'interazione "così come sono". Ad esempio, nel caso del decadimento del neutrone il quark che entra in gioco non è semplicemente $d$, ma:

$d'=d\cos \theta _{c}+s\sin \theta _{c}$

(ove $\theta _{c}\approx 13^{\circ }$ per rendere conto dei risultati sperimentali). In altre parole, gli autostati della lagrangiana forte (i quark) non sono gli autostati dell'interazione debole.

Quello che abbiamo appena visto è applicato a processi di corrente carica; tuttavia, $d'$ dovrà entrare in gioco anche nelle correnti neutre. Ciò che risulta in questo caso è che nella lagrangiana compare una parte con $\Delta s\neq 0$. Sperimentalmente, studiando i processi con$Deltas=0$ e di corrente neutra si scopre che quelli con $\Delta s=0$ sono altamente soppressi, ossia non avvengono praticamente mai. Ad esempio $K^{+}\longrightarrow \pi ^{+}+\nu _{e}+{\overline {\nu }}_{e}$ è un processo di corrente neutra, mentre $K^{+}\longrightarrow \pi ^{0}+e^{+}+\nu _{e}$ carica; si determina che $BR(cc)\approx 10^{-2}$ ($BR$ sta per "branching ratio" e $cc$ per "corrente carica"), e ci aspetteremmo una cosa analoga per la corrente neutra, mentre $BR(cn)\approx 10^{-10}$. Il problema si risolve se si introduce un nuovo doppietto:

$s'=-d\sin \theta _{c}+s\cos \theta _{c}$

Per creare un nuovo doppietto rispetto a $(u,d')$ dobbiamo introdurre un nuovo quark, lo charm, di modo da creare il doppietto $(c,s')$. Facendo il conto con questo nuovo doppietto risulta proprio che i processi di corrente neutra sono soppressi. È mentre si studiava tutto questo che negli USA si studiarono le risonanze $e^{+}+e^{-}$, che portarono alla scoperta sperimentale dello charm. Insomma, nella descrizione delle interazioni deboli si deve usare la "base":

${\begin{pmatrix}d'\\s'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta _{c}&\sin \theta _{c}\\-\sin \theta _{c}&\cos \theta _{c}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}d\\s\end{pmatrix}}$

è dunque coinvolta una matrice reale di rotazione. Il sistema si complica notevolmente, però, se si include anche la presenza del quark beauty; sembra dunque che non si abbia a che fare con due doppietti, ma 3. Insomma, si dovrebbe avere qualcosa del tipo:

${\begin{pmatrix}d'\\s'\\b'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{ud}&v_{us}&v_{ub}\\v_{cd}&v_{cs}&v_{cb}\\v_{td}&v_{ts}&v_{tb}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}d\\s\\b\end{pmatrix}}$

ove la matrice $3\times 3$ è detta matrice CKM. Gli elementi di questa matrice sono quelli che regolano le varie transizioni fra quark; il problema è che sono parametri che la teoria non prevede, e vanno misurati sperimentalmente. La matrice CKM è unitaria, e i suoi elementi sono complessi: dovremmo insomma misurare 18 grandezze, ma imponendo l'unitarietà queste si riducono a 9. Si può dimostrare che di queste 9 quantità 3 sono reali, e le altre 6 sono delle fasi, e 5 di queste possono essere "riassorbite" nella definizione di fase della funzione d'onda del sistema. Alla fine, dunque, abbiamo 4 grandezze da misurare. Fino ad adesso sono state misurate quasi tutte, e sappiamo che gli elementi sulla diagonale valgono circa 1, mentre allontanandosi dalla diagonale tendono a zero. Di tutte queste grandezze, la fase che non si riesce ad eliminare è la "responsabile" della violazione di $CP$.

Per comprendere meglio la violazione di $CP$, consideriamo un processo particolare che coinvolge $K^{0}$. Il $K^{0}$ è composto da ${\overline {s}}$ e $d$, mentre ${\overline {K}}^{0}$ da $s$ e ${\overline {d}}$. Queste due particelle si distinguono per come vengono prodotte:

$K^{+}+n\longrightarrow K^{0}+p\quad K^{+}+p\longrightarrow {\overline {K}}^{0}+n$

Ora, $CP(\left|K^{0}\right\rangle )=\left|{\overline {K}}^{0}\right\rangle$ e viceversa. Insomma, sono due stati quantistici diversi (al contrario ad esempio del $\pi ^{0}$, che coincide con la propria antiparticella). I mesoni $K^{0}$ e ${\overline {K}}^{0}$ hanno stranezza definita, e come abbiamo appena visto non sono autostati di $CP$; siamo dunque costretti a considerare due nuovi stati:

$\left|K_{1}^{0}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|K^{0}\right\rangle +\left|{\overline {K}}^{0}\right\rangle \right)\quad \left|K_{2}^{0}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|K^{0}\right\rangle -\left|{\overline {K}}^{0}\right\rangle \right)$

che sono autostati di $CP$ relativi, rispettivamente, agli autovalori +1 e -1. Risulta poi $\tau _{K_{1}}\ll \tau _{K_{2}}$; ciò è dovuto al fatto che il $K_{2}$ non può decadere in due pioni (altrimenti violerebbe $CP$), quindi può decadere solo in tre pioni, e lo spazio delle fasi raggiungibile nello stato finale è molto piccolo; pertanto, il $K_{2}$ ha una vita media lunga. Gellmann e Pais supposero che se effettivamente $K^{0}$ e ${\overline {K}}^{0}$ sono fatti in questo modo, e nei decadimenti deboli entrano in gioco $K_{1}$ e $K_{2}$ e i processi deboli permettono "salti" di stranezza, allora sono possibili processi detti oscillazioni di stranezza. Supponiamo dunque di avere al tempo $t=0$ un fascio di $K^{0}$; per descriverne l'evoluzione dobbiamo applicare l'operatore di evoluzione temporale a $K_{1}$ e $K_{2}$. Riscrivendo:

$K^{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|K_{1}^{0}\right\rangle +\left|K_{2}^{0}\right\rangle \right)\quad {\overline {K}}^{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|K_{1}^{0}\right\rangle -\left|K_{2}^{0}\right\rangle \right)$

vogliamo sapere a $t=t'$ quanti $K^{0}$ sono rimasti nel fascio, e lo si fa proiettando la funzione d'onda $\psi (t)$ del sistema al tempo $t$ su $K^{0}$:

$\left|\psi (t)\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|K_{1}^{0}(t)\right\rangle +\left|K_{2}^{0}(t)\right\rangle \right)\quad \left|K_{1}^{0}(t)\right\rangle =e^{-im_{1}t-{\frac {\Gamma _{1}}{2}}t}\left|K_{1}^{0}(0)\right\rangle \quad \Rightarrow$

$\Rightarrow \quad \left|\left\langle K^{0}|\psi (t)\right\rangle \right|^{2}=I(K^{0})={\frac {1}{4}}\left(e^{-\Gamma _{1}t}+e^{-\Gamma _{2}t}+2e^{-{\frac {\Gamma _{1}+\Gamma _{2}}{2}}t}\cos(\Delta mt)\right)$

ove $\Delta m=m_{2}-m_{1}$ (il caso dell'${\overline {K}}^{0}$ è analogo, con -2 al posto di +2). Insomma, si parte con un fascio di $K^{0}$, ma nell'evoluzione temporale del fascio il contenuto di $K^{0}$ oscilla. La stranezza non è dunque definita all'interno del fascio, e ciò può essere verificato sperimentalmente.

Violazione di $CP$

Nel 1963 Christenson e altri studiarono i decadimenti di $K_{2}$ in due, non tre, pioni; lo scopo era verificare che il $K_{2}$ non può decadere in due pioni, o meglio porre un limite superiore a questa possibilità. Per farlo hanno generato un fascio di $K^{0}$ sparando su del berillio protoni di impulso pari a circa un GeV. Poiché $\tau _{K_{1}}\ll \tau _{K_{2}}$, dopo un po' tutti i $K_{1}$ sono decaduti (in particolare, dopo circa 6cm il contenuto di $K_{1}$ può essere considerato nullo). Pertanto, l'esperimento era collocato a 15 metri dal punto di produzione[1]. In realtà vennero osservati dei decadimenti $K_{2}\longrightarrow \pi +\pi$, completamente inaspettati. Insomma, sorse il sospetto che $CP$ fosse violata. In particolare, fra i vari decadimenti osservati quelli in tre corpi si eliminano imponendo due condizioni: la complanarità delle traiettorie dei $\pi$ col fascio emesso e la massa invariante circa uguale a quella del $K_{2}$. Poiché in studi del genere non sappiamo com'è fatto il fondo, ciò che si fa è studiare anche zone vicine a quelle dove ci si aspetta il segnale (dette "side bands"). Se il decadimento fosse a due corpi, per energie comparabili con la massa del $K_{2}$ ci si aspettano molti eventi con $\theta \approx 0$, ed è ciò che è stato effettivamente osservato.

Ora, $K_{2}$, che ha $CP=-1$, non può decadere in due pioni se $CP$ è conservata: pertanto, necessariamente $CP$ non è conservata nell'interazione debole (non è massimamente violata, ma è comunque violata). Possiamo dunque "cambiare" nuovamente la "base", definendo $K_{\text{long}}^{0}$ e $K_{\text{short}}^{0}$ (e la base non è "diversissima" da quella precedente perché $CP$ non è massimamente violata). Si è poi capito che la violazione di $CP$ deriva, come già accennato, dalla matrice CKM, e in particolare dalla fase che abbiamo detto non essere eliminabile; questa entra in gioco in particolari decadimenti (come quelli osservati), e in modo diverso a seconda dei casi (si parla di diversi "tipi" di violazione di $CP$).

In questo caso ci sarebbe da tenere conto anche della "rigenerazione", che noi non vediamo, ma che brevemente consiste nel fatto che l'interazione di $K_{1}$ e $K_{2}$ con la materia può portare alla "ricomparsa" di $K_{1}$ nel fascio.