Fisica nucleare e subnucleare/Il modello a goccia di liquido

Abbiamo già accennato in Riassunto delle principali proprietà dell'interazione fra nucleoni al fatto che le interazioni fra i nucleoni assomigliano a quelle fra le molecole di un fluido (sostanzialmente perché sono a corto raggio). In questo modello consideriamo dunque il nucleo come una "goccia di liquido" di data dimensione. Ci sono anche altre analogie fra le proprietà di un fluido e quelle di un nucleo: ad esempio, la densità di materia è costante all'interno del nucleo, e indipendente dalle sue dimensioni, così come la densità di una goccia di liquido è costante, e indipendente dalle dimensioni della goccia; inoltre, il calore richiesto per far evaporare una frazione fissa della goccia è indipendente dalle proprietà della goccia, così come l'energia di legame media per nucleone è indipendente (all'incirca) dal nucleo.

Studiando l'andamento dell'energia di legame in funzione di $A$, che questo modello si proporrebbe di spiegare, si possono trarre molte informazioni interessanti. Ad esempio, risulta che questa tende a salire fino a un certo valore (in corrispondenza di ${\text{Fe}}$), per poi tornare a scendere: questo significa che i nuclei più leggeri del ferro tendono ad accrescersi (perché diventano più stabili), mentre quelli più pesanti tendono a scindersi (sempre per lo stesso motivo). Si vede poi che, per nuclei leggeri, quelli con $A$ multiplo di 4 hanno energie di legame particolarmente alte, ossia sono molto stabili. Ciò può suggerire che poiché le particelle $\alpha$ sono particolarmente stabili, i nuclei con numero di massa multiplo di 4 tendano ad organizzarsi in "blocchi" fatti proprio da particelle $\alpha$.

I parametri che entrano in gioco in questo modello, per sua natura, sono quelli che identificano un liquido e lo differenziano dagli altri: ad esempio, la densità, la tensione superficiale e la carica elettrica della goccia di liquido.

Considerando un liquido classico, una goccia carica di liquido si troverà in uno stato un po' più instabile rispetto alla configurazione in cui la goccia non è carica: infatti, l'interazione coulombiana tende a "separare" la goccia in gocce più piccole. Detto $\beta$ un generico parametro che quantifica la deformazione della goccia (ad esempio può essere il rapporto fra due semiassi della goccia), si ha: Energia in funzione della deformazione

e, al variare dell'energia coulombiana: Energia totale in funzione della deformazione

Anche per i nuclei avviene qualcosa di simile: per $Z$ minore di 92, la somma di energia di superficie e coulombiana è tale da rendere il sistema stabile, mentre oltre $Z=92$ i nuclei non sono più stabili.

Formula semi-empirica di massa

Ci proponiamo dunque di determinare una formula, detta formula semi-empirica di massa, che permetta di ricavare l'energia di legame in funzione di $Z$, $A$ e dunque $N$. Come vedremo, oltre ai termini di volume, superficie e interazione coulombiana, dovremo considerare altri due contributi, detti di simmetria e di accoppiamento. Bisogna poi riuscire a spiegare anche perché la tabella degli elementi non è completamente riempita: in particolare, bisogna poter spiegare perché gli elementi stabili si trovino in una determinata zona, detta valle di stabilità. Vedremo che questo è dovuto sì a motivazioni energetiche, ma anche alla possibilità di decadimenti di tipo $\beta$.

Dunque, i vari contributi da tenere in conto sono:

Termine di volume: è dovuto alla saturazione della massa, dato che le interazioni fra nucleoni sono a corto raggio. Proprio perché questo raggio d'interazione è finito, l'energia di volume non sarà proporzionale al numero di coppie nucleone-nucleone presenti nel nucleo (ossia $A^{2}$), ma a quello dei singoli nucleoni (ossia $A$). Pertanto, il primo termine presente in questa formula di massa dovrà contenere un termine lineare in $A$:

$BE=a_{V}A+\cdots$

ove $a_{V}$ è una costante dipendente dalle proprietà dell'interazione fra nucleoni, e ci riserviamo di ricavarla empiricamente dai dati sperimentali. Dunque, il contributo all'energia di legame media $BE/A$ dovuto al termine di volume è costante, e ad esso dovremo aggiungere i successivi termini correttivi.

Termine di superficie: nei liquidi classici "nasce" dalla presenza della tensione superficiale, e in modo analogo anche per i nuclei: un nucleone vicino alla superficie interagisce con un numero minore di nucleoni rispetto a quelli che si trovano più vicini al centro del sistema.

Dobbiamo dunque sottrarre a $BE$ un termine proporzionale alla superficie del nucleo, che sarà proporzionale ad $A^{2/3}$ (perché $S\propto R^{2}$, e $R\propto A^{1/3}$). Dunque:

$BE=a_{V}A-a_{S}A^{2/3}+\cdots$

Il termine di superficie in $BE/A$, quindi, sarà proporzionale a $A^{1/3}$, e pertanto sarà sempre meno importante al crescere del nucleo (come avevamo già intuito).

Termine coulombiano: è l'energia legata alla distribuzione di carica all'interno del nucleo.

A priori non è detto che la carica sia uniformemente distribuita nel nucleo: potremmo infatti supporre che, in analogia a quello che succede in un conduttore, i protoni tendano a situarsi sulla superficie del nucleo. Sperimentalmente, però (lo si vede con processi d'urto fatti con elettroni ad alte energie, come già accennato), risulta che effettivamente la carica è distribuita uniformemente all'interno del nucleo, e la distribuzione di carica in funzione della distanza dal centro del nucleo ha sostanzialmente lo stesso aspetto della distribuzione di massa. Pertanto, l'energia elettrostatica del nucleo è quella di una distribuzione sferica uniforme di carica, ossia:

$E_{\text{Coulomb }}={\frac {3}{5}}{\frac {(Ze)^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}R}}$

e poiché $R=r_{0}A^{1/3}$, con $r_{0}$ raggio dei nucleoni, si avrà:

$BE=a_{V}A-a_{S}A^{2/3}-a_{C}{\frac {Z^{2}}{A^{1/3}}}$

ove $a_{C}={\frac {3}{5}}{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{r_{0}}}\approx 0.7{\text{ MeV}}$. Per via della presenza di $Z^{2}$, il contributo coulombiano diventa sempre più importante al crescere del nucleo.

Termine di simmetria: deriva dal fatto che il nucleo è un sistema misto composto da due categorie di oggetti (protoni e neutroni).

Osservando la tabella degli elementi, si nota che la valle di stabilità giace sulla diagonale della tabella fino al ${}^{40}{\text{Ca}}$, che è l'ultimo nucleo stabile con $N=Z$: dopodiché, la valle si "piega" verso la zona $N>Z$. Ciò accade perché il termine coulombiano diventa sempre più importante, e quindi sono necessari molti neutroni all'interno del nucleo per renderlo stabile (ossia, sfruttare l'interazione forte esercitata dai neutroni aggiuntivi per bilanciare la repulsione reciproca dei protoni).

La presenza del termine di simmetria è dovuta sostanzialmente a due ragioni. Per quanto riguarda la prima, finora noi abbiamo sempre trattato protoni e neutroni come particelle identiche, ma sappiamo che le interazioni protone-protone e neutrone-neutrone non sono uguali a quella protone-neutrone. In particolare, l'interazione protone-neutrone è più forte delle altre; supponiamo ad esempio che sia il doppio delle altre due (ossia che, detti $v_{pn}$ il potenziale dell'interazione protone-neutrone e $v_{pp}=v_{nn}=v$ quello delle interazioni protone-protone e neutrone-neutrone, allora $v_{pn}=2v$), e che un nucleo abbia numero atomico $Z$ e di massa $A$. Ci chiediamo: qual è la configurazione più stabile del sistema? Dobbiamo considerare termini dovuti alle interazioni neutrone-neutrone, protone-protone e protone-neutrone nel nucleo. Si determina che la configurazione più stabile (ossia il minimo dell'energia) è quella con $N=Z$; in particolare, si determina che il termine che contribuisce all'energia di legame è:

${\frac {v}{2}}\left[3A-{\frac {(N-Z)^{2}}{A}}\right]$

Il primo contributo verrà "inglobato" nel termine di volume perché proporzionale ad $A$, mentre il secondo è detto propriamente termine di simmetria, ed è proprio quello che ha un minimo per $N=Z$. Se dunque non fosse presente l'interazione coulombiana, la valle di stabilità giacerebbe sempre sulla diagonale $Z=N$ della tabella degli elementi.

La seconda ragione che giustifica la presenza del termine di simmetria è legata al principio di esclusione di Pauli: il nucleo è infatti un sistema di fermioni, e quindi la sua funzione d'onda dev'essere antisimmetrica rispetto allo scambio di due particelle. Nel modello a buca di potenziale, protoni e neutroni si muovono nello stesso "potenziale medio", e i livelli di energia saranno gli stessi per protoni e neutroni, se $N=Z$. Se invece $Z<N$ alcuni neutroni andranno ad occupare livelli di energia più alti. Supponiamo infatti di avere un nucleo con $N=Z$ e di poter "trasformare" dei protoni in neutroni: per il principio di esclusione di Pauli questi nuovi neutroni potranno occupare solo gli stati liberi più alti, e dunque dovremo fornire loro dell'energia per poterli occupare. In altre parole, trasformare protoni in neutroni ha un costo energetico, che risulta sempre più grande al crescere del numero di protoni "trasformati", e si determina che è proporzionale a $(N-Z)^{2}$. Pertanto, il sistema con energia minima sarà proprio quello con $N=Z$. Ora, poiché i nucleoni sono fermioni e si muovono "liberamente" nel nucleo, cosa accade nel caso in cui due di essi si urtino? Uno dei due nucleoni potrebbe "saltare" a un livello più alto: tuttavia, questo può risultare molto distante dal livello in cui si trova la particella che ha subito l'urto, e quindi questa può non acquisire abbastanza energia per effettuare la transizione. Ciò che accade, dunque, è che i nucleoni non possono scontrarsi, ovvero si muovono "ignorando" la presenza di tutti gli altri nucleoni.

Termine di accoppiamento: per ogni dato elemento, non esiste un solo isotopo stabile. Sperimentalmente, in generale i sistemi pari-pari (ossia quelli con un numero pari di protoni e di neutroni) sembrano essere favoriti rispetto ai sistemi pari-dispari e ancora di più rispetto a quelli dispari-dispari (nel senso che la stragrande maggioranza degli isotopi stabili è di tipo pari-pari, mentre pari-dispari e ancora di più dispari-dispari sono più rari).

Nella formula semi-empirica di massa dovremo dunque tener conto di un termine che implementi questa caratteristica dei nuclei. Si tratta di un termine che normalmente viene parametrizzato associando al nucleo un'energia detta di accoppiamento $E_{\text{pairing }}$ (è cioè l'energia guadagnata quando i nucleoni si appaiano) pari a + 12 MeV +12\text{ MeV} per sistemi pari-pari, $0{\text{ MeV}}$ per sistemi pari-dispari e $-12{\text{ MeV}}$ per sistemi dispari-dispari. Per $A$ dispari, ad esempio $A=121$, l'energia di legame in funzione di $Z$ ha il seguente andamento: Andamento dell'energia di legame in funzione di $Z$ per $A=121$

e i punti giacciono su una parabola. Dunque, lungo la retta $A={\text{dispari}}$ della tabella degli elementi si trova un solo elemento stabile. Per $A$ pari, ad esempio $A=122$, si ha invece: Andamento dell'energia di legame in funzione di $Z$ per $A=122$

Tutti i sistemi che giacciono sulla "parabola bassa" sono stabili, e dunque per $A$ fissato esistono più elementi stabili al variare di $Z$.

Un esempio di nucleo dispari-dispari stabile (nel senso di poco instabile, perché comunque è instabile) è ${}^{40}{\text{K}}$ (nel quale $Z=19$, $N=21$). Da un punto di vista energetico la situazione è: Andamento dell'energia di legame in funzione di $Z$ per $A=40$

e il sistema può decadere sia in ${}^{40}{\text{Ar}}$ che ${}^{40}{\text{Ca}}$, dato che ${}^{40}{\text{K}}$ è uno dei pochi elementi che può decadere sia con un processo di tipo $\beta ^{+}$ che di tipo $\beta ^{-}$.

Insomma, per concludere si ha:

$BE=a_{V}A-a_{S}A^{2/3}-a_{C}{\frac {Z^{2}}{A^{1/3}}}-a_{\text{symm }}{\frac {(N-Z)^{2}}{A}}+E_{\text{pairing }}$

Poiché però stiamo trattando sistemi molto complessi, può darsi che ci sia qualche falla qua e là nel modello. Ciò che questo modello prevede, una volta determinate le varie costanti, è: Previsione del modello

ove il valore medio risulta di circa $8{\text{ MeV}}$.

Sperimentalmente, questa curva ha un buon accordo con i dati, ma di tanto in tanto ci sono degli elementi con un'energia di legame maggiore di quella prevista, a ben determinati $Z$ o $N$: Numeri magici

Queste "deviazioni" dal modello avvengono in corrispondenza dei cosiddetti numeri magici:

$Z,N=2,8,20,50,82,126,\dots$

In generale, nuclei con questi valori di $Z$ o $N$ sono più legati degli altri, e sono detti nuclei magici. Se questi hanno sia $N$ che $Z$ uguale a un numero magico sono particolarmente stabili, e sono detti nuclei doppiamente magici. Alcuni di questi sono:

${}^{4}{\text{He}}\quad {}^{16}{\text{O}}\quad {}^{40}{\text{Ca}}\quad {}^{208}{\text{Pb}}$