Fisica nucleare e subnucleare/Il modello a gas di Fermi

La più semplice ipotesi che possiamo fare riguardo a questo potenziale medio è che sia una buca di potenziale. Con questa ipotesi si formula il modello a gas di Fermi.

Assumiamo dunque che l'hamiltoniana si possa approssimare come una somma di hamiltoniane (una per ogni nucleone), contenenti oltre al termine cinetico uno dovuto a un potenziale medio non nullo solo su un dominio finito. Questo potenziale avrà più stati (legati o meno), che verranno occupati dai nucleoni. Poiché il nucleo è un sistema di fermioni e l'hamiltoniana è separabile in più termini, l'energia totale del nucleo sarà la somma delle energie di tutti i nucleoni. Allo zero assoluto, dunque, i nuclei occuperanno gli stati del mare di Fermi, ossia tutti i più bassi disponibili, in accordo col principio di esclusione di Pauli; aumentando la temperatura, teoricamente, alcuni di questi potranno occupare stati più elevati. In realtà, possiamo considerare il nucleo come un mare di Fermi anche per temperature diverse dallo zero assoluto: se infatti $T$ è la temperatura ambiente ($T\sim 300K$), l'energia cinetica termodinamica $kT$ è piccolissima (dell'ordine del centesimo di eV) rispetto a quelle in gioco nei nuclei (dell'ordine dei MeV). Insomma, quello che accade è che l'energia cinetica termodinamica diventa rilevante solo a temperature elevatissime.

Per quello che riguarda il potenziale medio al quale sono soggetti i nucleoni, possiamo inizialmente pensarlo come una buca (cubica) infinita di potenziale: dovremo dunque risolvere l'equazione di Schrödinger in questa buca, con le solite condizioni al contorno (ossia l'annullamento della funzione d'onda fuori dalla buca).

Ci chiediamo dunque quale sia l'energia di Fermi di questo sistema. Per farlo, procediamo nel seguente modo: determiniamo la densità di stati in funzione dell'energia e del momento, $\rho (E)$ e $\rho (p)$, per poi ricavare con quest'ultima il momento di Fermi, e quindi l'energia di Fermi.

Determiniamo dunque la densità di stati $\rho (E)$ in funzione dell'energia, ossia il numero di stati per unità di energia e volume. Poiché l'energia di una particella singola nella buca è (supponendo che il lato sia lungo $a$):

$E={\frac {h^{2}}{8ma^{2}}}\left(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}\right)$

con $n_{x}$, $n_{y}$, $n_{z}$ positivi, i possibili stati di energia saranno rappresentati da un reticolo di passo unitario nel primo ottante dello spazio $(n_{x},n_{y},n_{z})$. Poiché l'energia dipende dalla distanza dall'origine di questo sistema, le particelle si disporranno su di una sfera. Supponendo gli stati molto fitti (per sistemi con molte particelle questo è effettivamente il caso), il numero di stati fra le sfere di raggi $n$ e $n+dn$ è (l'8 a denominatore serve proprio perché gli stati si trovano nel primo ottante):

$dN={\frac {4\pi n^{2}dn}{8}}$

Si ha quindi (tenendo conto che $n={\sqrt {{\frac {8ma^{2}}{h^{2}}}E}}$):

$\rho (E)={\frac {dN}{dE}}\quad \Rightarrow \quad \rho (E)dE={\frac {\pi }{2}}n^{2}dn={\frac {\pi }{2}}nndn={\frac {\pi }{2}}{\sqrt {{\frac {8ma^{2}}{h^{2}}}E}}{\frac {4ma^{2}}{h^{2}}}dE=$

$\pi 2^{5/2}m^{3/2}\underbrace {a^{3}} _{=V}{\frac {1}{h^{3}}}{\sqrt {E}}dE$

$\Rightarrow \quad \rho (E)dE=V{\frac {\pi 2^{5/2}m^{3/2}}{h^{3}}}{\sqrt {E}}dE$

Considerando anche l'impulso:

$E={\frac {p^{2}}{2m}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{cases}{\sqrt {E}}={\frac {p}{\sqrt {2m}}}\\dE={\frac {p}{m}}dp\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad \rho (p)dp=V{\frac {4\pi }{h^{3}}}p^{2}dp$

e il numero di stati con impulso fra $p$ e $p+dp$ è:

$dN=2\rho (p)dp={\frac {4}{3\pi }}\left({\frac {r_{0}}{\hbar }}\right)^{3}Ap^{2}dp$

ove $r_{0}$ è il raggio del nucleo, e il 2 è la degenerazione dovuta allo spin. Bisogna anche tenere conto, poi, che il nucleo è composto da protoni e neutroni: insomma, ogni livello è occupato da quattro nucleoni (due protoni e due neutroni, con spin antiparallelo a coppie).

Per i protoni si deve dunque avere:

$Z=2\int _{0}^{p_{F_{p}}}\rho (p)dp=\cdots ={\frac {4}{9\pi }}\left({\frac {r_{0}}{\hbar }}\right)^{3}Ap_{F_{p}}^{3}\quad \Rightarrow \quad p_{F_{p}}=\left({\frac {9\pi }{8}}\right)^{1/3}{\frac {\hbar }{r_{0}}}\left({\frac {2Z}{A}}\right)^{1/3}$

Analogamente, per i neutroni:

$A-Z=2\int _{0}^{p_{F_{n}}}\rho (p)dp=\cdots ={\frac {4}{9\pi }}\left({\frac {r_{0}}{\hbar }}\right)^{3}Ap_{F_{p}}^{3}\quad \Rightarrow$

$\Rightarrow \quad p_{F_{n}}=\left({\frac {9\pi }{8}}\right)^{1/3}{\frac {\hbar }{r_{0}}}\left(2{\frac {A-Z}{A}}\right)^{1/3}$

Con $r_{0}=1.25{\text{ fm}}$, per nuclei leggeri con $Z=A/2$ si ha $p_{F_{p}}=p_{F_{n}}\simeq 240{\text{ MeV}}/c$ e $E_{F}=p_{F}^{2}/2m\simeq 30{\text{ MeV}}$. Pertanto, se in un nucleo si ha $Z=N$, nel modello del gas di Fermi con buca infinita si avrà che gli stati sono riempiti fino all'energia di Fermi, che risulta di circa $30{\text{ MeV}}$. Se invece $Z<N$, l'energia di Fermi relativa ai neutroni risulterà maggiore di quella dei protoni, e ci saranno più stati occupati dai primi (ad esempio per l'uranio si ha $E_{F_{p}}\simeq 28{\text{ MeV}}$, mentre E$E_{F_{n}}\simeq 32{\text{ MeV}}$).

Ora, in realtà la buca dovrebbe essere finita, e con una data profondità, tale da rendere conto dell'energia di legame del nucleo. Dividendo questa per $A$ si può determinare l'energia di legame media per nucleone, ossia (approssimativamente) l'energia da fornire al sistema per estrarre un nucleone dal nucleo. La profondità della buca dovrà essere pari alla somma dell'energia di Fermi (circa $0{\text{ MeV}}$) e di quella di legame (sperimentalmente, in genere, pari a circa $10{\text{ MeV}}$); infatti, l'ultimo stato occupato deve essere legato e tale da avere quella data energia di legame. Insomma, la profondità della buca deve essere di circa $40{\text{ MeV}}$, come avevamo già stimato.

Si può anche determinare che il momento di Fermi $p_{F}$ dipende dalla densità di materia all'interno del nucleo:

$p_{F}=\rho ^{1/3}\left({\frac {3}{2}}\pi ^{2}\right)^{1/3}\hbar$

con $\rho \simeq 0.16{\text{ nucleoni/fm}}^{3}$ (determinabile sperimentalmente) si ha $p_{F}\simeq 260{\text{ MeV}}$.

Si ha dunque un accordo sufficientemente buono fra il modello a gas di Fermi e i risultati sperimentali.