Fisica nucleare e subnucleare/Trattazione quantistica dell'elettromagnetismo

Sappiamo che la carica elettrica è sempre conservata. Ma come lo si può determinare sperimentalmente? Possiamo farlo, ad esempio, misurando la vita media dell'elettrone. L'unica cosa in cui potrebbe decadere un elettrone sono fotoni (l'elettrone è la particella carica più leggera ad oggi nota), ma necessariamente in un processo del genere non si conserva la carica, se supponiamo conservata l'energia. Insomma, misurando la vita media dell'elettrone possiammo porre un "limite" alla validità della conservazione della carica. Ad oggi, sappiamo che $\tau _{e}>4\cdot 10^{26}$ anni. Sappiamo poi che in elettromagnetismo classico la conservazione della carica è espressa dall'equazione di continuità:

${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {J}}+{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0$

Descrivendo l'elettromagnetismo in formalismo relativistico, invece, sappiamo che possiamo esprimere i campi con i potenziali ${\vec {A}}$ e $\varphi$, e che possiamo trasformarli secondo:

${\vec {A}}\longrightarrow {\vec {A}}'={\vec {A}}+{\vec {\nabla }}\chi \quad \varphi \longrightarrow \varphi '=\varphi -{\frac {\partial \chi }{\partial t}}$

senza alterare i campi (invarianza di gauge). In elettrodinamica quantistica, si può vedere che analogamente la funzione d'onda di una particella può trasfomare secondo:

$\psi \longrightarrow \psi '=e^{i\chi }\psi$

e che l'invarianza di gauge non è altro che l'invarianza della lagrangiana del campo elettromagnetico sotto il gruppo $U(1)$.

I diagrammi di Feynman

Negli anni '50 la descrizione quantistica relativistica dell'elettromagnetismo riusciva a descrivere abbastanza bene le interazioni fra oggetti carichi. Si cominciò poi a studiare molto dettagliatamente la separazione dei livelli energetici dell'atomo di idrogeno: in partiolare l'esperimento di Lamb (quello che mostrò il cosiddetto "Lamb shift") fu quello che diede nuovo impeto alla teoria, permettendo l'introduzione dei diagrammi di Feynman. Questi non sono altro che diagrammi con i quali schematizzare l'interazione fra particelle, e calcolare la probabilità dell'interazione rappresentata. Quando un elettrone interagisce con un nucleo atomico, possiamo rappresentare la situazione in questo modo: Rappresentazione interazione elettrone-nucleo

Nel disegnare i diagrammi di Feynman si usa la seguente convenzione: Convenzione feynman.jpg

Il diagramma che abbiamo appena visto rappresenta proprio il nucleo che emette un fotone, facendo cambiare impulso all'elettrone. Il punto in cui avviene l'interazione è detto "vertice" del diagramma. Oltre a questo diagramma di Feynman ne possiamo vedere molti altri. Ad esempio, un elettrone libero nel vuoto può essere rappresentato da: Rappresentazione di un elettrone in diagrammi di Feynman

Può accadere, però, che sempre nel vuoto un elettrone emetta un fotone e lo "riassorba": Autoassorbimento di un fotone

Ancora, può succedere che un fotone nel vuoto crei una coppia $e^{+}+e^{-}$ ("polarizzazione del vuoto"): Polarizzazione del vuoto

(ci torneremo meglio, ma il verso delle particelle e antiparticelle è una convenzione). Poiché fenomeni del genere avvengono nel vuoto, dobbiamo tenerne conto nella descrizione dell'interazione elettrone-nucleo, ossia si può anche avere: Interazione elettrone-nucleo con polarizzazione del vuoto

(l'elettrone in questo caso può interagire anche col campo elettromagnetico generato da se stesso). I risultati dell'esperimento di Lamb vengono spiegati proprio introducendo questo tipo di fenomeni nell'interazione elettrone-nucleo.

C'è però un problema: nei vertici dei diagrammi di Feynman l'energia non si conserva; se chiamiamo $\Delta E$ la quantità di energia "persa", questa violazione è "tollerabile" se compatibile col principio di indeterminazione di Heisenberg, ossia se $\Delta E\Delta t\leq \hbar$, con $\Delta t$ durata del fenomeno. Insomma, anche il vuoto e le particelle stabili in realtà non sono in equilibrio "statico", ma "dinamico".

Da un punto di vista quantistico, risulta che la lagrangiana del campo elettromagnetico deve essere sviluppata in serie, e ogni diverso diagramma (ad esempio quelli relativi all'autoassorbimento di un fotone, o alla polarizzazione del vuoto) corrisponde a un diverso termine dello sviluppo.

Nei diagrammmi di Feynman, come abbiamo visto, le particelle sono rappresentate da linee, sulle quali le frecce indicano il flusso dei numeri quantici (è per questo che le antiparticelle vanno "indietro nel tempo"): Rappresentazioni delle particelle nei diagrammi di Feynman

Inoltre, nei diagrammi che abbiamo disegnato finora alcuni fotoni sono rappresentati verticali, ossia (teoricamente) propagantisi a velocità infinita. Ciò ovviamente non è vero, e la notazione deriva dal fatto che, ad esempio, le due seguenti situazioni sono perfettamente equivalenti da un punto di vista di calcolo: Diagrammi equivalenti

e pertanto sono collettivamente "incluse" nella rappresentazione: Rappresentazione dei due precedenti diagrammi

Nel calcolare i diagrammi di Feynman, ai vertici viene associata un'hamiltoniana di interazione, che contiene operatori quantistici ed è proporzionale a $z{\sqrt {\alpha }}$, ove $z$ è la carica della particella e $\alpha$ la costante di struttura fine.

Consideriamo il processo:

$e^{-}+\mu ^{-}\longrightarrow e^{-}+\mu ^{-}$

ossia uno scattering elastico fra elettrone e muone; lo si può rappresentare in questo modo: Scattering elettrone-muone

e, al fine della determinazione della probabilità dell'interazione, questi due diagrammi sono perfettamente equivalenti. Questo tipo di diagrammi sono detti "ad albero", e computazionalmente sono i più semplici che si possano trattare. A ordini più elevati le cose, ovviamente, si complicano: Scattering elettrone-muone con polarizzazione del vuoto

Ci aspettiamo, poi, che al crescere dell'ordine considerato il contributo diventi più piccolo; ciò accade effettivamente nell'elettrodinamica quantistica, ma non nella cromodinamica.

Propagatore di un campo

Consideriamo il seguente processo: Situazione considerata

ove $V$ è il mediatore, o propagatore, del campo responsabile dell'interazione. In generale, $m_{V}\neq 0$; risulta che $\Delta E=m_{V}c^{2}$ (ove $\Delta E$ ha lo stesso significato di prima). Il propagatore avrà dunque tempo di vita $\Delta t$, con $\Delta E\Delta t\leq \hbar$; poiché si tratta del mediatore di un campo, la massima distanza che potrà percorrere è $R=c\Delta t=c\hbar /\Delta E=c\hbar /m_{V}c^{2}=\hbar /m_{v}c$, che quindi è il raggio d'azione del campo[1].

Il grande problema della fisica contemporanea è che non riusciamo a determinare diagrammi di Feynmann per la gravità.

Risonanze e costante di struttura fine

Riconsideriamo il primo diagramma che abbiamo visto, tenendo conto anche delle varie grandezze in gioco: Situazione considerata

allora ${\vec {q}}={\vec {p}}_{2}-{\vec {p}}_{1}$ è l'impulso trasferito dal nucleo all'elettrone. In forma relativistica: Processo considerato

e $q^{2}=(E_{2}-E_{1})^{2}-({\vec {p}}_{2}-{\vec {p}}_{1})^{2}$ è il quarimpulso trasferito nel processo; in questo caso q 2 q^2 può essere anche negativo (a seconda del tipo di processo). Se dunque al quadrimpulso associamo la massa del mediatore possiamo avere mediatori "immaginari" (ossia di massa negativa).

Consideriamo ora il processo: Annichilazione elettrone-muone

(ossia un'annichilazione $e^{+}e^{-}\longrightarrow \mu ^{+}+\mu ^{-}$)[2]. Quando il $q^{2}$, ossia l'energia nel centro di massa, arriva ad avere il valore della massa di una particella esistente, il sistema incontra una risonanza e può produrre nuove particelle (come la $J/\Psi$), ognuna con una diversa probabilità (ci sono più diagrammi che contribuiscono), e la somma dei valori dei diagrammi dà la probabilità totale di creare una nuova particella; talvolta però accade che alcuni fenomeni "interferiscano" fra loro.

In QED sorgono alcuni problemi legati a delle divergenze nei valori della massa o carica di particelle. Per quello che riguarda la carica di una particella, ciò che si fa è di definire una carica "nuda", infinita ma non osservabile, e una "effettiva" misurabile. Si inseriscono poi nella lagrangiana della QED dei termini che permettono di eliminare delle divergenze. Considerando ad esempio un'annichilazione $e^{+}+e^{-}$, la situazione è "pittoricamente" la seguente: Termini da considerare

ove $\alpha$ è la costante di struttura fine "nuda" (è la cosiddetta "costante di accoppiamento" dell'interazione elettromagnetica)[3]. L'importanza dei termini a ordini superiori aumenta all'aumentare dell'energia dei fotoni virtuali; insomma, "avvicinandosi" alla carica si includono termini superiori. Possiamo capire questo fenomeno con un'analogia classica: consideriamo una carica, che a priori sappiamo che ha un determinato valore, in un dielettrico. Il dielettrico allora si polarizzerà; per determinare il valore della carica, dovremo lanciarci contro una carica di prova e studiare come interagisce con la carica da misurare. Ciò che accade è che, a seconda di dove passa questa carica di prova, si misurerà un diverso valore della carica, per via dell'effetto di schermo del dielettrico. Insomma, in teoria ci sarebbe una carica ben definita, ma misurandola non possiamo determinarne esattamente il valore, possiamo solo individuare una carica efficace, che dipende dall'energia della carica di prova. Nel vuoto accade più o meno la stessa cosa: se una carica si trova nel vuoto, per via della polarizzazione del vuoto si creeranno più coppie elettrone-positrone (che poi annichilano) che si comportano come il dielettrico, polarizzandosi.

Facendo dunque esperimenti di scattering con una carica nel vuoto non possiamo misurare il valore "esatto" della carica, ma il suo valore efficace che dipende dall'energia della carica di prova. Insomma, $\alpha$ in realtà non è una costante, ma dipende da $q^{2}$ (quadrimpulso):

$\alpha (q^{2})={\frac {\alpha (\mu ^{2})}{1-{\frac {\alpha (\mu ^{2})}{3\pi }}\ln \left({\frac {q^{2}}{\mu ^{2}}}\right)}}$

ove $\mu ^{2}$ è una costante di scala delle dimensioni di un'energia; si tratta sostanzialmente di una costante che entra in gioco nella rinormalizzazione ed è determinabile solo sperimentalmente. Tutto ciò è stato verificato sperimentalmente, misurando $\alpha ^{-1}(q^{2})$ in fenomeni del tipo $e^{+}+e^{-}\longrightarrow f+{\overline {f}}$, ove $f$ è un fermione. Risulta: Risultati sperimentali

Notiamo anche che c'è accordo con quello che sappiamo classicamente: il fotone ha massa nulla, e pertanto il range d'interazione del campo elettromagnetico è infinito. Processo equivalente è lo scattering $e^{-}+\mu ^{-}\longrightarrow e^{-}+\mu ^{-}$: Processo fisico equivalente In generale, una costante di accoppiamento è un numero che determina l'intensità della forza esercitata in un'interazione. Di solito, la lagrangiana o l'hamiltoniana di un sistema che descrive un'interazione particella-particella può essere separata in un termine cinetico e uno di interazione; la costante di accoppiamento determina l'intensità della parte di interazione rispetto a quella cinetica.