Utente:LoStrangolatore/sandboxes/9

Esercizi

Elettrone

In un tubo a raggi catodici di un televisore gli elettroni attraversano una regione con moto rettilineo, sottoposti ad una accelerazione costante. Sapendo che la regione è lunga $d\$ e che gli elettroni entrano nella regione con velocità $v_{1}\$ ed escono con velocità $v_{2}\$.

Determinare: Il valore dell'accelerazione a cui sono sottoposti gli elettroni ed il tempo di attraversamento della regione stessa.

(dati del problema $d=5\ cm\$, $v_{2}=9\cdot 10^{6}\ m/s\$, $v_{1}=2\cdot 10^{4}\ m/s\$)

1

$a=$ $10^{14}m/s^{2}$

2

$t=$ $10^{9}s$

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Automobile

Un'auto parte da ferma con accelerazione uguale a 4 m/s². Si determini quanto tempo impiega a raggiungere la velocità di 120 km/h e quanto spazio percorre durante la fase di accelerazione.

1

$t=$ $s$

2

$d=$ $m$

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Treno

Un treno parte da una stazione e si muove con accelerazione costante. Passato un certo tempo dalla partenza la sua velocità è divenuta $v_{1}\$, a questo punto percorre un tratto $d\$ e la velocità diventa $v_{2}\$.

Determinare accelerazione, tempo per percorre il tratto $d\$ e la distanza percorsa dalla stazione al punto in cui la velocità è $v_{1}\$.

(dati del problema $d=160\ m\$, $v_{1}=33\ m/s\$, $v_{2}=40\ m/s\$)

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Soluzioni

Soluzione elettrone

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L'equazioni del moto dopo avere attraversato la regione, detto $t_{x}\$ il tempo incognito, si ha che:

$d={\frac {1}{2}}at_{x}^{2}+v_{1}t_{x}\$

$v_{2}=at_{x}+v_{1}\$

Sono due equazioni in due incognite $a\$ e $t_{x}\$, sostituendo $t_{x}\$ ricavabile dalla seconda equazione nella prima si ha:

$d={\frac {1}{2}}{\frac {(v_{2}-v_{1})^{2}}{a}}+v_{1}{\frac {v_{2}-v_{1}}{a}}\$

$a={\frac {1}{2d}}(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})=8,1\cdot 10^{14}\ m/s^{2}\$

$t_{x}={\frac {v_{2}-v_{1}}{a}}=11\ ns\$

Soluzione automobile

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Poichè il moto è uniformemente accelerato la velocità è regolata dalla legge $v(t)=v(0)+at$.

$v(0)$ vale $0$ poiché l'auto parte da ferma, si ricava quindi $t={\frac {v}{a}}\ =8,3\ s\$

Inoltre per un moto uniformemente accelerato la legge del moto è $s(t)=s(0)+v(0)+1/2at^{2}$.

Fissiamo il punto $s(0)=0$ come punto di partenza dell'auto e calcoliamo lo spazio percorso in un tempo $t=8,3s$.

$x(t)={\frac {1}{2}}\ at^{2}=416\ m\$

Soluzione treno

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Assunta come origine delle coordinate spaziali la stazione e del tempo l'istante di partenza. L'equazioni del moto sono:

$x={\frac {1}{2}}at^{2}\$

$v=at\$

Dai dati del problema:

$v_{1}=at_{1}\$

$v_{2}=at_{2}\$

da cui:

$t_{1}={\frac {v_{1}}{a}}\$

$t_{2}={\frac {v_{2}}{a}}\$

Imponendo che:

$d={\frac {1}{2}}at_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}at_{1}^{2}={\frac {1}{2a}}(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})\$

$a={\frac {1}{2d}}(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})=1.6\ m/s^{2}\$

Il tempo per fare il tratto $d\$:

$t=t_{2}-t_{1}={\frac {v_{2}}{a}}-{\frac {v_{1}}{a}}=4.4\ s\$

La distanza dalla stazione di partenza:

$t_{1}=20.6\ s\$

$d_{1}={\frac {1}{2}}at_{1}^{2}=340\ m\$