Fisica classica/Corda vibrante

Corda vibrante

Illustration for a vibrating string

Uno dei casi più facili da studiare è la propagazione di un'onda su una corda tesa. Il modello si adatta bene alla descrizione di molti strumenti musicali a corda, nei quali viene prodotto un suono la cui frequenza è costante o come viene detto in linguaggio musicale una precisa nota. Arpe, chitarre, pianoforti e violini sono solo alcuni dei numerosi strumenti a corda. Ma anche le corde vocali si basano sulle proprietà delle corde vibranti

Se chiamiamo $L\$ la lunghezza della corda, $m\$ la sua massa e $T\$ la sua tensione meccanica.

Quando la corda viene deflessa si piega con una forma approssimabile con un arco di cerchio. Se chiamiamo $R\$ il raggio e $\theta \$ l'angolo sotteso dall'arco. Si ha ovviamente che $L=\theta \,R$. La forza di richiamo elastico sulla corda vale:

$F=\theta \,T$

Tale forza è la forza centripeta quindi detta $v\$ la velocità di propagazione dell'onda nella corda:

$F=m\,{\frac {v^{2}}{R}}$

Se chiamiamo $\mu \$ la densità lineare di massa della corda (massa diviso lunghezza):

$m=\mu \,L=\mu \,\theta \,R$

e

$F=\mu \,\theta \,R\,{\frac {v^{2}}{R}}=\mu \,\theta \,v^{2}$

Dalla combinazione delle due espressioni della forza si ha che:

$\theta \,T=\mu \,\theta \,v^{2}$

Da cui si ricava che:

$v={\sqrt {T \over \mu }}$

Notiamo che avremmo potuto scrivere per il tratto infinitesimo di corda $\delta x\$, che la sua massa vale:

$\mu \delta x\$

Detta $\delta y\$ l'allontanamento di tale tratto dalla posizione equilibrio, l'equazione differenziale che governa l'allontamento della posizione di equilibrio è (se l'allontanamento dalla posizione di equilibrio è piccolo:

$\mu \delta x{\frac {\partial ^{2}(\delta y)}{\partial ^{2}t}}=T\delta x{\frac {\partial ^{2}(\delta y)}{\partial ^{2}x}}$

${\frac {\partial ^{2}(\delta y)}{\partial ^{2}t}}=v^{2}{\frac {\partial ^{2}(\delta y)}{\partial ^{2}x}}$

questa equazione è l'equazione caratteristica delle onde