Fisica classica/Corda vibrante

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[modifica] Corda vibrante

Illustration for a vibrating string

Uno dei casi più facili da studiare è la propagazione di un'onda su una corda tesa. Il modello si adatta bene alla descrizione di molti strumenti musicali a corda, nei quali viene prodotto un suono la cui frequenza è costante o come viene detto in linguaggio musicale una precisa nota. Arpe, chitarre, pianoforti e violini sono solo alcuni dei numerosi strumenti a corda. Ma anche le corde vocali si basano sulle proprietà delle corde vibranti

Se chiamiamo L\ la lunghezza della corda, m\ la sua massa e T\ la sua tensione meccanica.

Quando la corda viene deflessa si piega con una forma approssimabile con una arco di cerchio. Se chiamiamo R\ il raggio e \theta\ l'angolo sotteso dall'arco. Si ha ovviamente che L = \theta\,R. La forza di richiamo elastico sulla corda vale:

F = \theta\,T

Tale forza è la forza centripeta quindi detta v\ la velocità di propagazione dell'onda nella corda:

F = m\,\frac{v^2}{R}

Se chiamiamo \mu\ la densità lineare di massa della corda (massa diviso lunghezza):

m = \mu\,L = \mu\,\theta\,R

e

F = \mu\,\theta\,R\,\frac{v^2}{R} = \mu\,\theta\,v^2

Dalla combinazione delle due espressioni della forza si ha che:


\theta\,T = \mu\,\theta\,v^2

Da cui si ricava che:

v = \sqrt{T \over \mu}

Notiamo che avremmo potuto scrivere per il tratto infinitesimo di corda \delta x\ , che la sua massa vale:

\mu \delta x\

Detta \delta y\ l'allontanamento di tale tratto dalla posizione equilibrio, l'equazione differenziale che governa l'allontamento della posizione di equilibrio è (se l'allontanamento dalla posizione di equilibrio è piccolo:

\mu \delta x \frac {\partial^2 (\delta y)}{\partial^2 t}=T\delta x\frac {\partial^2 (\delta y)}{\partial^2 x}
\frac {\partial^2 (\delta y)}{\partial^2 t}=v^2\frac {\partial^2 (\delta y)}{\partial^2 x}

questa equazione è l'equazione caratteristica delle onde

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