Fisica classica/Onde elettromagnetiche

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[modifica] Onde Elettromagnetiche

[modifica] Dalle Equazioni di Maxwell all'equazione delle onde

Si parte dalle equazioni di Maxwell in forma differenziale viste precedentemente e si considera il caso in cui non vi sono cariche libere e non vi sono correnti elettriche. Trattiamo l'elettromagnetismo in assenza di materia.

\vec \nabla \cdot \vec E=0

(1)

\vec \nabla \cdot \vec B =0

(2)

\vec \nabla \times \vec E=-\frac {\partial \vec B}{\partial t}

(3)

\vec \nabla \times \vec B=\frac 1{c^2} \frac {\partial \vec E}{\partial t}

(4)


Se facciamo il rotore della eq. 3 e sostituiamo al II membro l'eq.4 otteniamo:

\vec \nabla \times \vec \nabla \times \vec E=-\frac {\partial }{\partial t}\vec \nabla \times \vec B=-\frac 1{c^2} \frac {\partial^2 \vec E}{\partial t^2}

(5)


Ma esiste una identità vettoriale, dato un qualsiasi campo vettoriale \vec A\

\vec \nabla \times \vec \nabla \times \vec A== \nabla \left( \nabla \cdot \vec A \right) - \nabla^2 \vec A\

Per cui il primo membro della equazione 5 può essere trasformato grazie a questa identità e al fatto che vale l'eq.1. Quindi l'eq. 5 diviene:

\nabla^2 \vec E=\frac 1{c^2} \frac {\partial^2 \vec E}{\partial t^2}

(6)


Senza nessun mezzo siamo arrivati a trovare che le equazioni di Maxwell permettono di avere un campo elettrico che si propaga nello spazio con una legge eguale a quella di tutte le onde. Analogamente dalla eq. 4 facendo il rotore e sostituendo l'eq. 3 al secondo membro:

\vec \nabla \times \vec \nabla \times \vec B=\frac 1{c^2} \frac {\partial }{\partial t}\vec \nabla \times \vec E=-\frac 1{c^2} \frac {\partial^2 \vec B}{\partial t^2}

(7)


Per cui il primo membro della eq.7 può essere trasformato grazie alla identità vettoriale di prima ed al fatto che vale l'eq.2. Quindi l'eq. 7 diviene:

\nabla^2 \vec B=\frac 1{c^2} \frac {\partial^2 \vec B}{\partial t^2}

(8)


Ricordiamo come:

c = { 1 \over \sqrt{ \mu_o \varepsilon_o } } = 2.99792458 \times 10^8 m s^{-1}\

è la velocità della luce nel vuoto.

La conclusione è che dalle equazioni di Maxwell è possibile ricavare un campo elettromagneico che si propaga nel vuoto senza l'intervento di nessun mezzo. Fino al XIX secolo si ipotizzava che esistesse un mezzo (molto rigido e poco denso) attaverso cui si propagavano le onde elettromagnetiche: l'etere.

Non tutte le proprietà delle onde elettromagnetiche sono state ancora messe in luce, nel seguito cercheremo di evidenziare meglio tali proprietà.

[modifica] Proprietà elementari delle onde elettromagnetiche

La prima proprietà da mettere in evidenza è la natura trasversale delle onde elettromagnetiche infatti apparentemente dalle eq. 6 ed 8 abbiamo 6 componenti indipenti del campo. In realtà se consideriamo un riferimento cartesiamo e scegliamo localmente la direzione dell'asse delle x\ coincidente con la direzione di propagazione. Se la regione di spazio è sufficiente piccola solo le derivate spaziali nella direzione di propagazione sono nulle. In poche parole stiamo facendo l'ipotesi che l'onda sia localmente piana. Con queste ipotesi sempre verificabili in un ambito locale la eq. 1 diventa:

\frac {\partial E_x}{\partial x}=0

(9)


La eq. 2:

\frac {\partial B_x}{\partial x}=0

(10)


Le tre componenti dell'eq. 3:

0=-\frac {\partial B_x}{\partial t}

(11)

\frac {\partial E_z}{\partial x}=-\frac {\partial B_y}{\partial t}

(12)

-\frac {\partial E_y}{\partial x}=-\frac {\partial B_z}{\partial t}

(13)


Mentre le tre componenti dell'eq. 4


0=\frac {\partial E_x}{\partial t}

(14)

\frac {\partial B_z}{\partial x}=\frac 1{c^2} \frac {\partial E_y}{\partial t}

(15)

-\frac {\partial B_y}{\partial x}=\frac 1{c^2}\frac {\partial E_z}{\partial t}

(16)


L'eq. 9 e 14 mostrano come la componente del campo elettrico nella direzione del moto non varia nello spazio e nel tempo, analogamente l'eq. 10 e 11 indicano che la componente del campo magnetico nella direzione del moto non varia nello spazio e nel tempo. In definitiva le uniche onde elettromagnetiche possibili sono trasversali cioè le uniche componenti da considerare sono quelle nella direzione y\ e z\ . Inoltre le eq. 12 e 13 (le eq. 15 e 16 non aggiungono niente) stabiliscono delle precise relazioni tra le componenti mutuamente perpendicolari del campo elettrico e magnetico.

Infatti se ad esempio l'espressione della componente z\ della parte elettrica e magnetica dell'onda elettromagnetica mutuamente perpendicolari valgono:

E_z=f(x\pm ct)\ B_y=g(x\pm ct)\

Il segno \pm\ per indicare una onda regressiva o progressiva. Definendo \xi=x\pm ct\ , f'=df/d\xi\ , g'=dg/d\xi\ . Sostituita nella eq. 12:

f'=\mp cg'

Questa non è altro che una equazione differenziale che integrata seplicemente porta a:

\frac {E_z}{B_y}=\mp c

A meno di una costante additiva (che non ha interesse nel caso delle onde, l'esistenza di onde non nega la possibilità che nel vuoto ci siano campi elettrici e magnetici costanti). Analogamente usando la eq. 13:

\frac {E_y}{B_z}=\mp c

Questo indica che in una onda elettromagnetica vi sono solo due componenti indipendenti del campo ad esempio le componenti perpendicolari elettriche o le due componenti parallele elettriche e magnetiche.

[modifica] Onde Piane

Le più semplici onde (non solo elettromagnetiche) sono le onde piane monocromatiche. Lontani dalle sorgenti delle onde tutte le onde sono scomponibili nella somma di tali onde. Infatti nella trattazione fatta abbiamo ignorato come si producono le onde elettromagnetiche cioè le sorgenti. Questo è un argomento a parte che sarà trattato in seguito. Una onda elettromagnetica piana viene rappresentata per la parte elettrica da:

\vec E(\vec r,t)=\vec E_o \cos (\vec k \cdot \vec r-\omega t +\varphi)

Dove \vec E_o\ è detta l'ampiezza dell'onda e nelle onde piane è costante, \varphi\ è la fase dell'onda, \vec k\ è il vettore d'onda che come per tutte le onde è diretto nella direzione di propagazione.

La parte magnetica dell'onda piana si ricava dalla relazione appena vista e qui indicata in maniera sintetica, indicando con \vec c\ il vettore velocità di propagazione dell'onda:

\vec B(\vec r,t)=\frac 1{c^2} \vec c \times \vec E(\vec r,t)\

Spesso si preferisce usare la rappresentazione esponenziale (indicando come si fà sempre in elettromagnetismo l'unità immaginaria con j=\sqrt {-1}\ ):

\vec E(\vec r,t)=\vec E_o e^{j\left(\vec k \cdot \vec r-\omega t +\varphi\right)}

Si dimostra mediante la formula di Eulero che la parte reale della rappresentazione esponenziale di una onda piana coincide con la rappresentazione sinusoidale. Una onda piana è una onda che si propaga senza attenuazione, conservando quindi la sua ampiezza, non sfasandosi che in maniera assolutamente prevedibile ed è chiaramente una astrazione utile per la trattazione generale.

[modifica] Onde Sferiche

Consideriamo un altro caso importante quello in cui la sorgente e di conseguenza l'onda abbia una simmetria sferica. In questo caso l'equazione delle onde va riscritta in coordinate polari quindi ripartendo dalla equazione delle onde. Considerando la componente elettrica (ma sarebbe stata identico considerare la componente magnetica):

\nabla^2 \vec E(\vec r,t)=\frac 1{c^2} \frac {\partial^2 \vec E(\vec r,t)}{\partial t^2}\

Se l'onda è sferica, possiamo sostituire \vec E(\vec r,t)\ con \vec E(r,t)\ , cioè è indipendente da \theta\ e \phi\ , ma anche l'espressione di \nabla^2\ si semplifica trasformando l'equazione delle onde in una forma unidimensionale:

\frac {\partial^2 [r\vec E( r,t)]}{\partial r^2}=\frac 1{c^2}\frac {\partial^2 [r\vec E(r,t)]}{\partial t^2}\

La soluzione più semplice, formalmente simile ad un'onda piana unidimensionale è:

r\vec E(r,t)=\vec A_o e^{j(kr-\omega t+\varphi)}\

Quindi:

\vec E(r,t)=\frac {\vec A_o}r e^{j(kr-\omega t+\varphi)}\

La grandezza costante vettoriale \vec A_o\ ha le dimensioni di campo elettrico per una lunghezza, quindi allontanandosi l'ampiezza del campo elettrico va con l'inverso della distanza dal centro della distribuzione. La caratteristica trasversale viene ovviamente mantenuta per cui la direzione di \vec A_o\ è perpendicolare alla direzione radiale.

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