Fisica classica/Elettrodinamica

Wikibooks, manuali e libri di testo liberi.

Argomento precedente: Dielettrici

Indice

[modifica] Elettrodinamica

In elettrostatica per definizione le cariche sono immobili e si studiano i fenomeni elettrici in condizione di equilibrio delle distribuzioni di cariche. Il raggiungimento dello stato di equilibrio viene raggiunto dal movimento delle cariche libere. Un conduttore è attraversato da una corrente elettrica ogni qual volta delle cariche si spostano da un punto all'altro del conduttore. Il movimento caotico dovuto alla agitazione termica non comporta nessuna corrente netta. Si chiama velocità di deriva la velocità media dei vari portatori di carica all'interno del conduttore in condizioni dinamiche a causa del campo elettrico localmente presente. L'insieme delle velocità di deriva delle varie cariche comporta una corrente macroscopica di conduzione. Si definisce corrente di conduzione I\ la quantità carica totale dQ\ che attraversa una sezione del conduttore nel tempo dt\ :

I=\frac {dQ}{dt}\

(1)

Nel sistema SI l'unità di misura della corrente è l'Ampere (simbolo A\ ) definito come:

[A]=\frac {[C]}{[s]}\

(2)

Nel sistema SI l'ampere è una unità di misura fondamentale. La ragione pratica del considerare l'ampere come una grandezza fondamentale, deriva dal fatto che le correnti elettriche sono più facilmente misurabili e producibili delle cariche elettriche libere. Se in maniera opportuna si mantiene la d.d.p. costante nel tempo, una volta che si sono stabilizzati i parametri del sistema la corrente non varia più nel tempo. In questo caso si parla di corrente stazionaria, cioè una corrente che non varia nel tempo. Notare che la presenza netta di una corrente in un conduttore non significa che il conduttore diventa carico, ma solo che si ha un flusso dei portatori di carica. La convenzione che si usa è quella che i portatori di carica siano positivi e che quindi la corrente fluisca dai punti a potenziale più alto verso quelli a potenziale più basso. Per fare scorrere una corrente in un conduttore sono necessari dei generatori o di corrente o di differenza di potenziale che verranno trattati nel seguito: in questa prima parte consideriamo di avere a disposizione oggetti ideali che ci forniscono le correnti o le differenze di potenziale che vogliamo.

Tubo di flusso di sezione S attraverso scorre una corrente macroscopica I

[modifica] Densità di corrente

Consideriamo un conduttore, all'interno del quale si abbiano n\ portatori di carica liberi per unità di volume ciascuno di carica q\ . Al moto caotico dovuto all'agitazione termica, con una velocità quadratica media molto elevata, si sovrappone un moto di deriva caratterizzato da una velocità di deriva \vec v_d\ . Le velocità di deriva sono parallele o antiparallele al campo \vec E\ localmente presente nel conduttore, a seconda se q\ è positiva o negativa. Notiamo che a differenza del caso elettrostatico il campo elettrico è non nullo all'interno dei conduttori.

Le \vec {v_d}\ costituiscono un campo vettoriale, definito all'interno del conduttore la cui sezione é S\ . Dentro il conduttore, consideriamo un tubo di flusso elementare del campo vettoriale \vec {v_d}\ e sia d\vec S\ una sezione, non necessariamente normale al tubo di flusso. La quantità di carica dq\ che nel tempo dt\ passa attraverso la sezione d\vec S\ vale:

dq=nq\vec {v_d}\cdot d\vec Sdt=nqv_d dS_ndt\

(3)

dove dS_n\ rappresenta la proiezione di d\vec S\ normale al tubo di flusso.

Alla quantità:

\vec J=nq\vec {v_d}\

(4)

si dà il nome di densità di corrente. Le dimensioni fisiche di \vec J\ sono:

[J]=[L]^{-3}[C][L][t]^{-1}=[I][L]^{-2}\

cioè di una corrente su una superficie e nel SI l'unità di misura è:

[J]=\left[\frac A{m^2} \right]\

Possiamo anche scrivere che:

dI=\frac {dq}{dt}=nq\vec {v_d}\cdot d\vec S=\vec J\cdot d\vec S\

La susperficie S\ rimane costante nel tempo mentre al suo interno nel tempo dt la carica varia di -dQ\ : per conservarsi la carica una \vec J\ deve uscire

Integrata sull'intera sezione S\ del conduttore si ha che la corrente:

I=\int_S \vec J\cdot d\vec S\

(5)

Quindi la corrente è il flusso della densità di corrente elettrica attraverso la superficie S\ .

[modifica] Conservazione della carica elettrica

Abbiamo visto che la carica elettrica si conserva. L'applicazione di tale principio si può esprimere matematicamente con l'introduzione della densità di corrente. Consideriamo la figura a fianco in cui viene rappresentata la sezione di una superficie S\ chiusa che al tempo t\ racchiude la carica totale Q(t)\ .

Se trascorso un tempo dt\ la carica diminuisce di -dQ\ . Per la conservazione della carica una corrente elettrica (rappresentata dalle frecce nella figura) deve avere attraversato la superficie S\ . In maniera che:

-dQ=\int_S\vec J \cdot \vec {dS} dt\

(6)

Quindi posso scrivere, se la superficie non varia nel tempo:

-\frac {\partial Q}{\partial t}=\int_S\vec J \cdot \vec {dS}

(7)

Tale equazione è spesso indicata con il nome di equazione di continuità in forma integrale. In condizioni stazionarie in particolari, in cui la carica non varia nel tempo. L'equazione diviene:

\int_S\vec J \cdot \vec {dS}=0

(8)

Questo vuole dire che il flusso della corrente attraverso una qualsiasi superficie chiusa è nullo. In conseguenza di questo se consideriamo un filo conduttore, essendo per definizione nullo il flusso uscente dalla superficie laterale. Si ha che:

Un conduttore di sezione variabile

La equazione di continuità (7) può essere espressa in forma locale se il campo vettoriale \vec J\ è derivabile. Infatti definendo T\ il volume che ha come contorno la superficie S si ha che usando la definizione di Q\ ed il teorema della divergenza:

-\frac {\partial }{\partial t}\int_T\rho d\tau =\int_T\vec \nabla \cdot \vec J d\tau

(9)

La scelta del volume T\ è arbitraria, quindi l'unica possibilità è che gli integrandi siano eguali:

-\frac {\partial \rho}{\partial t}=\vec \nabla \cdot \vec J

(10)

Che è equazione di continuità in forma locale.

Ritornando alla espressione integrale, eq. 8, nel caso stazionario applicato alla figura del conduttore a sezione variabile:

\int_{S1}\vec J \cdot \vec {dS}+\int_{S2}\vec J \cdot \vec {dS}=0

Ma

\int_{S1}\vec J \cdot \vec {dS}=-I_1\ ed \int_{S1}\vec J \cdot \vec {dS}=I_2\ , quindi:

Un nodo elettrico in cui vi sono correnti entranti ed uscenti
I_1=I_2\

Cioè la corrente attraverso le due sezioni è la stessa.

Se la regione di spazio in cui convergono più fili conduttori non ha capacità elettrica anche in condizioni non stazionarie la carica contenuta nella regione di spazio non può variare essendo identicamente nulla. Tale regione di spazio viene detto \textit{nodo}. L'applicazione della (7) comporta che :

I_1+I_2+I_3+....+I_n=0\

(11)

La somma delle correnti che convergono su un nodo è nulla: la somma delle correnti entranti eguaglia le uscenti. Questa legge viene detta prima legge di Kirchhoff.

[modifica] Legge di Ohm

Nei conduttori le cariche libere si muovono come in un fluido molto viscoso. Come sappiamo dalla meccanica del punto se la viscosità è molto elevata il sistema raggiunge la condizione di velocità di deriva in un tempo molto rapido. La fase di accelerazione del moto avviene in un tempo trascurabile e la forza di trascinamento q\vec E viene bilanciata dalla forza di attrito viscoso -m \vec v_d/\tau . Dove m\ è la massa dei portatori di carica (gli elettroni in genere) e \tau\ è il tempo medio tra gli urti. Ma essendo:

\vec v_d=\frac {\vec J}{nq}\

Posso scrivere che:

q\vec E=m \frac {\vec J}{nq \tau }\

da cui risulta:

\vec E=\frac {m} {nq^2\tau }\vec J=\rho \vec J

(12)


Tale legge viene chiamata legge di Ohm in forma microscopica. La legge di Ohm vale sempre nei conduttori, mentre per quanto riguarda le altre sostanze: semiconduttori, isolanti (gas, liquidi solidi) ha un intervallo limitato di validità. Infatti in genere in queste sostanze solo se il campo elettrico é inferiore ad un certo valore (dipendente dal mezzo e spesso dalla sua storia) si ha una proporzionalità diretta tra campo elettrico e densità di corrente. La quantità:

\rho= \frac {m}{nq^2\tau }\

é detta resistività elettrica ed é una grandezza che dipende dal mezzo considerato. Inoltre tale quantità nei metalli varia approssimativamente in maniera lineare con la temperatura secondo la legge:

\rho=\rho_0(1+\alpha T)\

(13)


Tipo Sostanza \rho\ (\Omega \cdot m)\ \alpha (^oC)\
Conduttore Ag 1.5\cdot10^{-8}\ 0.0061\
Conduttore Cu 1.7\cdot10^{-8}\ 0.0068\
Conduttore Al 2.5\cdot10^{-8}\ 0.0043\
Conduttore Fe 1\cdot10^{-7}\ 0.0065\
Conduttore NiCr 1\cdot10^{-6}\ 0.0004\
Semiconduttore Si 0.001-1000\ -0.07\
Isolante Legno \approx 10^8\ \ \
Isolante Vetro \approx 10^{10}\ \ \
Isolante Plastica 10^{13}-10^{16}\ \ \
Isolante Ceramica 10^{16}\ \ \

Con \alpha\ detto coefficiente di temperatura. In tabella sono date le resistività ed i coefficienti di temperatura di alcune sostanze a temperatura ambiente. Volutamente sono state messe nella tabella dei metalli, tutti con resistività molto bassa, ed altri materiali. La distinzione tra conduttori ed isolanti diventa quantitativa con la definizione di resistività elettrica come appare chiaro dalla tabella. Mentre la legge di Ohm, vale senza limitazione nei conduttori, purché la temperatura sia mantenuta costante, nelle altre sostanze la validità è limitata al fatto che il campo elettrico localmente non ecceda la rigidità dielettrica del mezzo.

La espressione data in eq.12 è poco utilizzabile in pratica poiché nei conduttori è più facile misurare la d.d.p. macroscopica che il campo elettrico locale. Consideriamo un cilindro conduttore di lunghezza l\ , sezione normale S\ e resistività \rho\ . Se applichiamo una d.d.p. V\ tra gli estremi:

|E|l=V\

Inoltre:

|J|S=I\

Sostituendo tale quantità nella eq.12, proiettando nella direzione della velocità di deriva, risulta:

\frac Vl=\frac {\rho I}S\

(14)

Da cui se definisco:

R=\rho \frac lS\

(15)

la resistenza del conduttore, posso riscrivere la eq.14 come:

V=IR\

(16)

Che è detta di Ohm in forma macroscopica ( o semplicemente legge di Ohm). Se il conduttore non é a sezione costante ed al limite la resistività varia con la posizione la generalizzazione della eq.15 porta a:

R=\int_0^l\rho (x)\frac {dx}{S(x)}\

(17)


Simbolo resistore.png

Le dimensioni fisiche di una resistenza sono quelle di una d.d.p divisa una corrente, l'unità di misura utilizzata nel SI per misurare le resistenze è l'Ohm (\Omega\ ):

[\Omega]=\frac {[V]}{[A]}\

Le resistenze sono dei componenti circuitali rappresentati dal simbolo mostrato in figura.

Alcuni esempi esempio A, esempio B,


[modifica] Resistenze in parallelo

n Resistenze in parallelo

Immaginiamo di avere n\ resistenze ciascuna di valore R_i\ poste in parallelo come mostrato in figura.

Definiamo come I_i\ la corrente che scorre in ciascun resistore. La d.d.p. V_i\ ai capi di ogni resistenza sarà eguale (come nel caso dei condensatori in parallelo), mentre la corrente totale I\ è data dalla somma delle correnti che scorrono nei vari resistori, a causa della I legge di Kirchhoff:

I=\sum_{i=1}^n I_i\

Ma dalla legge di Ohm applicata ad ogni resistore:

I=\sum_{i=1}^n \frac {V}{R_i}=V\sum_{i=1}^n\frac 1{R_i}\

Quindi il parallelo di n\ resistori si comporta come una unica resistenza equivalente di valore eguale a:

R_e= \frac{1}{\sum_{i=1}^n\frac 1{R_i}}\

(18)


[modifica] Resistenze in serie

n Resistenze in serie

Immaginiamo di avere n\ resistenze in serie di valore R_i\ come mostrato in figura. Definiamo con V_i\ la d.d.p ai capi di ogni resistenza. La d.d.p. totale è pari alla d.d.p. ai capi del sistema sarà la somma delle d.d.p. dei singoli elementi. La corrente che scorre nei vari resistori è eguale a causa di quello che abbiamo visto nelle condizioni stazionarie per i fili percorsi da corrente.

Da cui segue che:

V=\sum_{i=1}^n V_i=I\sum_{i=1}^n R_i\

Quindi la serie di n\ resistenze equivale ad una resistenza equivalente pari alla somma dei singoli elementi:

{{Equazione|eq=

R_e=\sum_{i=1}^n R_i\

(19)


Si noti come le resistenze elettriche si comportano in maniera opposta ai condensatori per quanto riguarda la serie ed il parallelo.

[modifica] Legge di Joule

In un generico conduttore (non necessariamente rispettante la legge di Ohm), in cui scorre una corrente I\ e ai cui capi vi é una d.d.p. pari a V\ , tutta l'energia elettrica ceduta al conduttore viene dissipata o in calore o in altre forme di energia. Quantitativamente la potenza elettrica dissipata è pari al lavoro compiuto sulla carica dQ\ che nel tempo dt\ va tra il punto a\ e b\ la cui d.d.p. vale V\ .

P=V\frac {dQ}{dt}=VI\

(20)


In particolare, se per il conduttore vale la legge di Ohm, la eq.20 si può scrivere come:

P=I^2R=\frac {V^2}R\

(21)


Da un punto di vista microscopico, considerando i singoli portatori di carica a causa del moto viscoso la potenza dissipata è pari secondo le leggi della meccanica del punto per ogni portatore a :

P=q\vec E\cdot \vec {v_d}\

Anche se non valesse la legge di Ohm eq.12 potrei scrivere tale espressione. Esplicitando v_d\ in termini di \vec J\ e moltiplicando per le dN=n dT\ cariche presenti nel volume dT\ :


dP_T=dTn q \vec E\cdot \vec {v_d}=dT\vec E\cdot (nq\vec {v_d})=dT\vec E\cdot \vec J\

(22)


Quindi per unità di volume:

P_u=\vec E \cdot \vec J\

(23)


Quindi in un volume T\ la potenza totale dissipata vale:

P=\int_T\vec E \cdot \vec JdT\

Se vale la legge di Ohm la eq.\ref{Joulelo} si riduce a:

P_u=\rho J^2=\frac {E^2}{\rho}\

(24)


A temperatura ambiente, come regola generale, si può affermare che una potenza dissipata maggiore di qualche decina di W/cm^3\ richiede in genere metodi di dissipazione particolari per evitare che i conduttori si scaldino eccessivamente.

La potenza per unità di volume massima che ha dei limiti imposti dal meccanismo di dissipazione della energia, in genere di natura termica, porta al fatto che le linee elettriche vanno dimensionate (sezione proporzionale alla corrente massima) in funzione della corrente massima. Inoltre si realizzano semplici limitatori di corrente elettrica, mediante fili sottili, sospesi, detti nel linguaggio comune fusibili: sono degli elementi che per effetto Joule quando sono attraversati da una corrente superiore ad un certo valore si spezzano interrompendo i circuiti elettrici.

Alcuni esempi possono aiutare a capire meglio Esempio di un faro una macchina, Resistenza di un filo di rame a sezione conica.

Argomento seguente: Leggi di Kirchhoff

Ricavato da "http://it.wikibooks.org/wiki/Fisica_classica/Elettrodinamica"
Strumenti personali