Fisica classica/Dielettrici

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Argomento precedente: Conduttori

Si chiamano isolanti o dielettrici i materiali che non hanno cariche libere e quindi non conducono l'elettricità. M. Faraday si rese conto che inserendo un materiale isolante tra le armature di un condensatore a facce piane e parallele la capacità del condensatore aumentava. Ora giacché la capacità di un condensatore è data dal rapporto della carica e la differenza di potenziale. La carica sulle armature rimane la stessa, come anche la distanza e la superfice di conseguenza il campo elettrico deve ridursi nel dielettrico. La costante adimensionale di cui viene ridotto il campo elettrico in un condensatore a facce piane e parallele dipende dal materiale di cui è fatto il dielettrico e viene chiamata costante dielettrica relativa ed è una grandezza adimensionale che si indica con il simbolo \varepsilon_r\ .

Materiale \varepsilon _r Rigidità dielettrica (V/m)
Aria 1.0006\ 3\cdot 10^6
Carta 3.7\ 5\cdot 10^7
Gomma 7\ 1.6\cdot 10^7
Vetro 4.7\ 3\cdot 10^7
Porcellana 6.5\ 1.5\cdot 10^7
Acqua 80\

Quindi un condensatore a facce piane parallele di distanza d\ tra le armature, superfice affacciata S\ riempito totalmente con un dielettrico avrà una capacità pari a:

C=\varepsilon _o\varepsilon _r\frac Sd\

Indice

[modifica] Il vettore Polarizzazione

La spiegazione del fenomeno non differisce di molto da quello che avviene in un conduttore, infatti si genera sulla superfice affacciata del dielettrico una densità di carica superficiale dovuta ai dipoli indotti nel dielettrico. La polarizzazione dipende molto sia dal materiale che dallo stato della materia e qui non viene descritto in dettaglio il meccanismo microscopico. Quindi sulle superfici del dielettrico sarà presente una carica di polarizzazione che non annulla, come nel caso dei conduttori, integralmente il campo elettrico, ma ne riduce gli effetti. Poiché l'effetto è dovuto ai dipoli elettrici o allineati o provocati dal campo elettrico esterno, per studiare compiutamente un dielettrico all'interno di un campo esterno dobbiamo definire un nuovo campo vettoriale, diverso da zero solo all'interno e sulla superfice del dielettrico, il vettore di Polarizzazione \vec P\ . Tale vettore è proporzionale al numero dei dipoli presenti per unità di volume per la loro intensità:

\vec P=n\vec p\

Dove n\ è la densità di materia (il numero di atomi per unità di volume) e \vec p\ è il dipolo magnetico medio del generico atomo ( o molecola) dovuto al campo presente.

Il vettore \vec P\ ha le dimensioni di una carica superficiale, ed in effetti sulla superfice del dielettrico si ha una densità di carica di polarizzazione (di segno opposto alla carica sulla armatura vicina) il cui valore è pari a:

\sigma_{pol}=\vec P\cdot \hat n\

Maggiore è l'intensità del vettore di polarizzazione maggiore è la densità di carica di polarizzazione. La polarizzazione del dielettrico deve essere proporzionale al campo \vec E\ (elettrico) localmente presente. Il condensatore a facce piane parallele riempito da un dielettrico è un buon esempio per trovare il legame tra campo elettrico e vettore di polarizzazione. Distinguiamo tra la densità di cariche libere \sigma_{L}\ e la densità di cariche di polarizzazione \sigma_{pol}\ .

L'ipotesi più ragionevole, spesso non verificata in alcuni mezzi, è che il vettore polarizzazione sia proporzionale al campo \vec E\ presente localmente:

\vec P=\varepsilon_o \chi \vec E\

Mostriamo come \chi\ detta normalmente la suscettività del mezzo sia pari a \varepsilon_r -1\ . Tale cosa è chiara nel caso unidimensionale (eliminiamo il simbolo di vettore). Infatti nel condensatore a facce piane parallele, ripetendo il ragionamento fatto per mostrare il teorema di Coulomb (considerando un cilindro gaussiano con una faccia dentro il metallo e l'altra dentro il dielettrico, e facendo il flusso del campo elettrico) si ricava che:

ES=\frac {(\sigma_{L}- \sigma_{pol})S}{\varepsilon_o}\

Quindi semplificando e sostituendo:


E=\frac {\sigma_{L}- \varepsilon_o \chi E}{\varepsilon_o}\

E(1+\chi)=\frac {\sigma_{L}}{\varepsilon_o}\

Detto E_o\ il campo elettrico senza dielettrico:

E=\frac {E_o}{(1+\chi)}\

Quindi poiché dentro il dielettrico:

E=\frac {E_o}{\varepsilon_r}\

segue che:

\chi=\varepsilon_r -1\

generalizzando:

\vec P=\varepsilon_o (\varepsilon_r -1)\vec E \

[modifica] Carica volumetrica di polarizzazione

Se il flusso del vettore \vec P\ è identicamente eguale a 0 non vi è da aggiungere altro per quanto riguarda le cariche di polarizzazione. Se invece tale flusso è diverso da zero, a causa della conservazione della carica vi saranno anche delle cariche di polarizzazione all'interno del volume, in maniera da garantire che la carica totale si conservi. Detta S\ la superfice esterna del dielettrico che delimita il volume T\ deve essere:

\int_S \vec P\cdot \vec {dS}+\int_T \rho_{pol}d\tau =0\

Ma applicando il teorema di Gauss al primo membro si ha che:

\int_T \vec \nabla \cdot \vec P d\tau=-\int_T \rho_{pol}d\tau \

ma i due vettori debbono coincidere qualsiasi sia la forma del dielettrico di volume T\ , quindi solo se gli integrandi coincidono può verificarsi tale possibilità:

\rho_{pol}=-\vec \nabla \cdot \vec P\

Quindi il vettore \vec P\ fornisce informazioni sia sulla carica superficiale che su quella volumetrica.

[modifica] Il vettore spostamento dielettrico

Se è nota la carica elettrica può essere utile definire un campo vettoriale:

\vec D=\varepsilon_o \vec E+\vec P\

detto spostamento dielettrico. Tale campo che ha le stesse dimensioni di P\ (densità di carica superficiale) è collegato alle sole cariche libere. Infatti riscrivendo l'equazione di Gauss locale, artificialmente distinguendo tra densità volumetrica di cariche libere \rho_L\ e quelle di polarizzazione \rho_{pol}\ si ha che:

\vec \nabla \cdot \vec E=\frac {\rho_L+\rho_{pol}}{\varepsilon_o}=\frac {\rho_L-\vec \nabla \cdot \vec P}{\varepsilon_o}


\vec \nabla \cdot (\varepsilon_o \vec E+\vec P)=\rho_L\

\vec \nabla \cdot \vec D=\rho_L\

Cioè l'equazione di Gauss in forma locale introducendo il vettore \vec D\ si scrive solo in funzione della densità delle cariche libere.

[modifica] Interfaccia tra due dielettrici

Dall'ultima espressione locale, utilizzando il teorema della divergenza in maniera inversa rispetto a quanto fatto nel vuoto, si ricava che:

\int_{S\ chiusa}\vec D \cdot \vec {dS}=Q_{lib}\

Inoltre anche in presenza di materia continua a valere in condizioni elettrostatiche:

\oint_L \vec E\cdot \vec {dl}=0

Quindi immaginiamo un cammino chiuso che passi da un mezzo (1) ad un altro (2), parallelo alla superficie di separazione, ma che si discosti dal bordo di uno spostamento infintesimo, per garantire che sia verificata la equazione precedente occorre che la componente tangenziale del campo elettrico alla superfice di separazione sia eguale nei due mezzi, algebricamente:

E_{t1}=E_{t2}\

Mentre invece, se non vi è carica libera nell'interfaccia tra i due mezzi, considerando una superfice gaussiana, cilindrica di altezza infinitesima con le facce parallele alla superfice di separazione dei due mezzi per metà in un dielettrico, il fatto che il flusso dello spostamento dielettrico sia nullo attraverso tale superfice (che non contiene cariche libere), ha come conseguenza che:

D_{n1}=D_{n2}\

[modifica] Rigidità dielettrica

Tutti i dielettrici presentano un certo numero di cariche libere, in proporzioni assolutamente trascurabili rispetto a un buon conduttore, ma sempre presenti. Infatti la radiottività naturale e i raggi cosmici ionizzano continuamente tutti i materiali. Ovviamente maggiore è la densità, maggiore è la probabilità di tali eventi. Tali cariche libere a differenza dei conduttori sono in presenza di un campo elettrico dentro il dielettrico e quindi subiscono una forza di trascinamento e tra un urto e quello successivo possono acquistare tanta energia cinetica da ionizzare l'atomo che incontrano nel loro cammino. Se tali eventi avvengono con sufficiente frequenza il dielettrico smette di essere un isolante e si creano con una moltiplicazione a valanga un numero enorme di portatori di carica. Nel caso dei fluidi, la perdita della qualità di isolamento è temporanea e il dielettrico una volta rimosso il campo elettrico esterno ritorna nello stato di partenza. Nei solidi al contrario tale evento è in genere distruttivo in quanto viene modificato strutturalmente il solido stesso. Il campo elettrico esterno per cui un dielettrico perde le sue proprietà isolanti viene chiamato rigidità elettrica ed il suo valore è molto dipendente dalla storia del materiale, dall'umidità e da un numero elevato di concause. Per cui il suo valore non è una grandezza fissa ma è soggetta a notevoli fluttuazioni. All'inizio di questo capitolo sono dati alcuni valori indicativi della rigidità dielettrica alcuni dielettrici.

Un esempio è utile per chiarire quanto detto.

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