Fisica classica/Leggi di Laplace

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Argomento precedente: Magnetismo

Indice

1 La seconda legge di Laplace
2 La prima legge di Laplace

[modifica] La seconda legge di Laplace

Un filo percorso da una corrente I in un campo magnetico entrante nel piano del foglio

Una osservazione sperimentale dovuta a Gian Domenico Romagnosi, permette di collegare il campo di induzione magnetica alla corrente elettrica.

Consideriamo un campo di induzione magnetica entrante nel foglio (le croci indicano tale fatto per definizione: la coda di una freccia)

Consideriamo un filo percorso da una corrente $I\$ lungo $\overrightarrow{dl}\$ come in figura: se la direzione del filo è ortogonale alla direzione del campo magnetico sperimentalmente si trova che la forza che agisce su di esso sarà mutuamente perpendicolare sia alla direzione del campo magnetico che alla direzione del filo e proporzionale all'intensità della corrente ed alla lunghezza del filo.

In pratica è mostrato un generatore di f.e.m. fa scorrere la corrente nel circuito indicato, nel piano normale al filo vi è un campo magnetico di intensità $|B|\$ entrante nel foglio, per questo indicato con le x, una parte del circuito di lunghezza $dl\$ è mobile e tenuta da delle molle, si misura una forza nella direzione indicata schematicamente.

Si può quindi definire il campo di induzione magnetica, a partire da tale forza $\overrightarrow{F}\$ misurabile, come:

$|B|=\frac {|F|}{I |dl|}\$

quindi nel sistema MKSA il campo di induzione magnetica si misura in Tesla definito come:

$[B]=\frac {[N]}{[A][m]}=[T]\$

Se il filo è parallelo alle linee del campo su di esso in generale non agisce nessuna forza. Si deve a Laplace l'espressione matematica della forza di un campo magnetico su un filo percorso da corrente, detta seconda legge di Laplace:

$\overrightarrow{dF}=I\overrightarrow{dl}\times \overrightarrow{B}\$

La così detta regola della mano destra può essere di aiuto nel calcolo della direzione della forza agente. Infatti se la direzione della corrente è quella dell'indice della mano destra e quella del campo magnetico è il medio, la direzione della forza è data dalla direzione del pollice.

Il campo magnetico terrestre può dare un'idea dell'intensità tipiche: alla nostra latitudine ( $42^o\$ ) vale circa $6\times 10^{-5}\ T$ . Il campo magnetico prodotto da un magnete permanente tradizionale difficilmente supera il valore di $1\ T\$ . Campi magnetici più intensi si raggiungono mediante magneti superconduttori, ma difficilmente in condizioni statiche si riescono ad avere intensità maggiori di $25\ T$ .

[modifica] Il motore lineare

Schema di un motore lineare

L'applicazione più semplice della II seconda equazione di Laplace è il motore lineare. Cioè due rotaie percorse da una corrente $I\$ come in figura, in cui il vagone conduttore chiude la corrente circolante. Un campo magnetico uniforme viene applicato nella direzione normale al piano. Sul vagone agisce una forza di trascinamento proporzionale all'intensità del campo, alla corrente ed alla distanza tra le rotaie.

Treni superveloci basati su questo principio sono allo studio in alcune nazioni (Giappone e Germania).

I motori elettrici in generale, che funzionano sull'estensione a geometrie più complesse dei principi di funzionamento del motore lineare, sono basati sulla conversione della energia prodotta dai generatori di f.e.m. in energia meccanica: notare che il campo magnetico non fa lavoro, ma solo il generatore di f.e.m.

[modifica] Forza di Lorentz

L'espressione della seconda legge di Laplace ci permette di trovare la forza agente su una singola carica in moto.

Dal modello microscopico sappiamo che il prodotto di una corrente elettrica per il tratto di filo elementare $\overrightarrow{dl}\$ in cui scorre, può essere scritta come:

$I\overrightarrow{dl}=\overrightarrow{J} \cdot \overrightarrow{S} \overrightarrow{dl}=nq\overrightarrow{v} |S||dl| = dNq\overrightarrow{v} \$

dove $\overrightarrow{J}\$ è la densità di corrente, $\overrightarrow{S}\$ è un vettore normale alla sezione del filo di modulo pari alla sezione stessa, $n\$ è il numero dei portatori di carica per unità di volume, $\overrightarrow{v}\$ la loro velocità, $q\$ la loro carica ed in infine $dN=nSdl\$ il loro numero nel volume $Sdl\$ .

Sostituendo questa equazione nella seconda legge di Laplace, troviamo che la forza che agisce su una singola carica $q\$ , che si muova con velocità $\overrightarrow{v}\$ in campo di induzione magnetica $\overrightarrow{B}\$ sia:

$\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}\$

In generale se quindi la particella carica si muove in un campo elettrico $\overrightarrow{ E}\$ e magnetico $\overrightarrow{B}\$ l'espressione generale della forza, detta di Lorentz, che agisce su di essa, vale:

$\overrightarrow{F}=q(\overrightarrow{E}+\vec v\times \overrightarrow{B})\$

[modifica] Moto di cariche in campi magnetici

Moto di una carica in un campo magnetico

Supponiamo di avere una regione di spazio, dove $\overrightarrow{B}\$ è costante, se in essa si trova una particella di massa $m\$ , carica $q\$ (positiva) e con velocità $v\$ normale alla direzione 0di $\overrightarrow{B}\$ (entrante ne piano della figura). A causa della forza di Lorentz agirà su di essa una forza normale alla traiettoria, che non compie lavoro, quindi centripeta. In condizioni di equilibrio essendo l'accelerazione centripeta costante il moto nel piano normale al campo sarà un moto circolare uniforme con raggio di curvatura $R\$ facilmente ricavabile dalla relazione:

$qvB=\frac {mv^2}R\$

da cui:

$R=\frac {mv}{qB}\$

la velocità angolare è:

$\omega=\frac {v}R=\frac {qB}m$

Al cambiare di segno della carica il raggio di curvatura cambia di segno e il moto, se era anti orario, diventa orario. Anche al cambiare del segno di $\overrightarrow{B}\$ il verso del moto si inverte.

La velocità angolare del moto non dipende dalla velocità della particella e prende nome di frequenza di ciclotrone. Gran parte delle conoscenze sulle particelle elementari dipende dallo studio del loro moto in presenza di campi elettrici e magnetici.

I raggi cosmici non raggiungono alle nostre latitudini la superficie della terra grazie all'esistenza del campo magnetico terrestre che ne incurva la traiettoria. Nei televisori la deflessione del fascio di elettroni che produce la scansione dell'immagine secondo righe e colonne viene fatta utilizzando dei campi magnetici perpendicolari alla traiettoria iniziale degli elettroni.

Se la velocità iniziale della particella ha una componente nella direzione di $\vec B\$ solo sulla componente di $\vec v\$ perpendicolare a $\vec B\$ agisce la forza di Lorentz, l'altra componente è non modificata, per cui il moto all'equilibrio diventa un moto elicoidale con asse la direzione di $\vec B\$ . La forza di Lorentz può essere nulla se:

$\vec E+\vec v\times \vec B=0\$

Cioè se $\vec E\$ è normale alla direzione di $\vec v\$ e di $\vec B\$ e inoltre in modulo:

$v=\frac {|E|}{|B|}\$

Basato su questo principio si riescono a selezionare con estrema precisione ioni di massa qualsiasi in funzione della loro velocità. Infatti solo gli ioni che viaggiano su una traiettoria rettilinea riescono ad attraversare delle strette fenditure allineate.

L'esempio di un elettrone in moto dentro un campo magnetico chiarisce meglio quanto detto.

[modifica] Effetto Hall

Schema della misura mediante l'effetto Hall.

Sperimentalmente si ha che in un metallo o meglio in un semiconduttore immerso in un campo magnetico, se viene percorso da una corrente nella direzione perpendicolare al campo magnetico, sulla faccia perpendicolare alla direzione sia della corrente che del campo magnetico si sviluppa una differenza di potenziale. La forza di Lorentz spiega in maniera semplice tale effetto.

Per semplicità consideriamo una caso semplice, una lastrina di metallo o semiconduttore di spessore $h\$ , larghezza $w\$ e lunghezza $l\$ (non mostrata nella figura a fianco) attraversata nella direzione $x\$ da una corrente elettrica (caratterizzata per quanto abbiamo visto da una velocità di drift $\vec v_d\$ ), se nella direzione dello spessore della lastra applichiamo un campo magnetico. Tale campo tenderebbe a deviare la traiettoria degli elettroni aumentando la loro densità nella direzione della lastrina non visibile in figura. Tale processo di accumulo di cariche genera nella direzione $y\$ un campo elettrico e si raggiunge la condizione di equilibrio dinamico quando:

$E_y-v_dB_z=0\$

Il segno $-\$ in $\vec v_d\$ tiene conto del fatto che gli elettroni essendo di carica negativa hanno una velocità di drift opposta alla direzione della corrente elettrica. Sostituendo l'espressione della densità di corrente:

$E_y=-\frac {J_xB_z}{ne}\$

Tale campo elettrico è costante nella direzione $y\$ e quindi integrandolo si ha che tra la faccia posteriore e anteriore della lastra si sviluppa una d.d.p. pari a:

$V_y=-\frac {J_xB_zw}{ne}\$

Ma la densità di corrente è pari a: $J_x=I/(wh)\$ . Quindi:

$V_y=-\frac {IB_zw}{wh ne}\$

Dalla conoscenza del campo magnetico, dalla misura della differenza di potenziale e dalla corrente che scorre all'interno della piastrina è possibile misurare la quantità microscopica $1/(ne)\$ . Tale quantità viene chiamata costante di Hall $R_H\$ ed in maniera algebrica è pari a:

$R_H=\frac {V_yh}{IB_z}=-\frac 1{ne}\$

La costante di Hall dipende dal segno dei portatori di carica e nel caso dei semiconduttori l'effetto Hall, a causa del numero ridotto di portatori di carica l'effetto è particolarmente vistoso: cioè con correnti relativamente piccole e in presenza di campi magnetici abbastanza deboli le differenze di potenziale che si sviluppano possono essere facilmente misurate. Al contrario nei metalli l'effetto è poco visibile. L'effetto Hall oltre ad essere una misura di routine per determinare il drogaggio dei semiconduttori, viene usato per fabbricare semplici ed economici magnetometri che prendono il nome di sonde di Hall.

[modifica] Azione del campo magnetico su circuiti percorsi da corrente

Schema di una spira rettangolare libera di ruotare all'interno di un campo magnetico uniforme

I motori elettrici in corrente continua utilizzano in pratica quanto viene descritto nel seguito.

Consideriamo il caso particolare mostrato in figura di una spira rettangolare di lato $L_x\$ ed $L_y\$ (non indicato nella figura per evitare confusione), percorsa da corrente $I\$ (circolante in senso antiorario) e con i lati paralleli agli assi $x\$ ed $y\$ . Immaginiamo che sia presente un campo magnetico $\overrightarrow {B}\$ diretto secondo l'asse $x\$ . Assumiamo la spira rigida e libera di ruotare intorno all'asse $y\$ della figura. Concentriamo la nostra attenzione sulla interazione tra spira e campo.

Sui due lati della spira di lunghezza $L_x\$ non agisce nessuna forza essendo paralleli al campo magnetico. Viceversa sugli altri due lati agiscono due forze eguali e contrarie dirette lungo l'asse $z\$ sul lato in alto:

$F_z=IBL_y\$

sul lato opposto agisce una forza pari a:

$F_z=-IBL_y\$

Quindi in totale agisce sul centro del sistema rigido una coppia di momento:

$M_y=IBL_y\frac {L_x}2 +IBL_y\frac {L_x}2=IL_xL_yB\$

Tale momento fa ruotare il sistema intorno all'asse $y\$ . Se infatti definiamo con $\theta\$ l'angolo che la normale al piano della spira forma con la direzione del campo magnetico. L'espressione del momento della forza diviene (il braccio diminuisce allontanarsi di $\theta\$ dalla direzione dell'asse delle z):

$|M|= I|B|L_xL_y\sin \theta\$

Sui lati inizialmente paralleli all'asse dell $x\$ agiranno delle forze che tendono a deformare la spira e a cui si oppone la rigidità della spira. Se si definisce momento di dipolo di una spira percorsa dalla corrente $I\$ il vettore:

$\vec m=IL_xL_y\vec n=IS \vec n\$

Dove $S\$ è la superfice della spira ed $\vec n\$ è la normale ad essa. La regola della mano destra ci può aiutare nel definire la direzione del dipolo magnetico. Se infatti la corrente elettrica si avvolge come fanno le dita della mano destra, la direzione di $\vec m\$ è quella del pollice della mano stessa. Ovviamente se il verso è opposto opposta sarà la direzione del dipolo magnetico.

Le dimensioni del momento di dipolo magnetico sono quindi quelle di:

$[corrente][superficie]\$

quindi nel sistema SI:

$[A]\cdot [m]^2\$

La coppia di forze che agisce su una spira rettangolare è quindiesprimibile come, il prodotto vettoriale di $\vec m\$ con il vettore induzione magnetica $\vec B\$ :

$\vec M=\vec m \times \vec B\$

L'effetto di un campo magnetico su un dipolo magnetico permanente è analogo a quello provocato su una spira percorsa da corrente. Tale equivalenza di comportamento risulta valida anche per i campi magnetici generati dai dipoli magnetici, cosa che vedremo nel seguito: tale equivalenza prende nome di teorema di equivalenza di Ampere.

Una spira di momento di dipolo magnetico $\vec m\$ , immersa in un campo magnetico uniforme $\vec B\$ è quindi soggetta ad una coppia di forze di momento $\vec M=\vec m \times \vec B\$ .

[modifica] Motore in corrente continua

L'applicazione più importante di tale proprietà è il motore in corrente continua, che permette di trasformre l'energia elettrica in energia meccanica.

Principio di funzionamento di un motore in corrente continua

La corrente elettrica passa in un avvolgimento di spire che si trova nel rotore. Si definisce rotore l'insieme delle parti rotanti, libere di ruotare attorno ad un asse comune, il rotore comprende una bobina di fili conduttori detta comunemente avvolgimento. Una corrente elettrica continua alimenta l'avvolgimento. Il rotore è immerso in un campo magnetico creato dallo statore: l'insieme delle parti fisse. Lo statore contiene le espansioni polari o di un magnete permanente con due o più poli o una elettromagnete.

Un motore elettrico in corrente continua

Se il momento magnetico dell'avvolgimento del rotore non è diretto inizialmente nella direzione del campo magnetico dello statore, su di esso agirà una coppia di forze tale da farlo ruotare nel verso che corrisponde all'allineamento del momento magnetico dell'avvolgimento con il campo magnetico dello statore. Grazie alle spazzole, vedi dopo, ad ogni mezzo giro il verso della corrente circolante nell'avvolgimento cambia di verso, e quindi si ha continuità nella rotazione. L'inversione di polarità è garantita dal particolare disegno dell'avvolgimento che è in contatto mobile con i contatti fissi sullo statore: le cosidette spazzole. La coppia agente sul rotore dipende dalla sua posizione angolare, ma il momento di inerzia del rotore media in qualche maniera il momento motore variabile. Un motore in corrente continua non può iniziare a ruotare se l'avvolgimento del rotore si trova in una posizione angolare non opportuna (punto morto). Ma vi sono accorgimenti tecnici per ovviare a tale inconveniente. Durante la trasformazione, una parte dell'energia viene dispersa per l'effetto Joule. Dato il principio di funzionamento, un motore elettrico fa sempre muovere l'albero motore di moto rotatorio.

[modifica] La prima legge di Laplace

J. B. Biot e F. Savart trovarono sperimentalmente che un filo rettilineo percorso da corrente $I\$ genera nello spazio circostante un campo magnetico. Le linee del campo sono delle circonferenze concentriche al filo e la loro intensità diminuisce linearmente con la distanza $R\$ dal filo. A partire da questa osservazione sperimentale Laplace ricavò una legge di valore più generale che lega la corrente $I\$ che scorre in un tratto infinitesimo $\overrightarrow{dl}\$ di circuito elettrico al campo di induzione magnetica $\overrightarrow{dB}\$ in un punto a distanza $\vec r\$ da filo:

$\overrightarrow{dB}=\frac {\mu_{\circ}I}{4\pi } \frac {\overrightarrow{dl} \times \vec r}{r^3} \$

Tale legge prende il nome di I legge di Laplace evidenzia come il campo di induzione magnetica vari con il quadrato dell'inverso della distanza, come la legge di Coulomb, ma con un carattere vettoriale molto differente. Infatti le componenti del campo di induzione magnetica sono nulle nella direzione radiale. Le linee del campo sono delle circonferenze concentriche alla direzione del filo.

La quantità $\mu_{\circ}\$ è chiamata permeabilità del vuoto le sue dimensioni sono:

$\frac {[B][Lunghezza]}{[Corrente]}\$

nel sistema SI $\mu_{\circ}\$ vale:

$\mu_{\circ}=4\pi \cdot 10^{-7}\ \frac {T\cdot m}A\$

Ma anche si ha che:

$c=\frac 1{\sqrt{\epsilon_o\mu_{\circ}}} \$

dove $c\$ è la velocità della luce nel vuoto. Siccome nel Sistema Internazionale la velocità della luce è una grandezza definita a priori in maniera esatta ( $c=299792458\ ms^{-1}\$ ), possiamo anche esprimere la permeabilità magnetica nel vuoto come:

$\mu_{\circ}=\frac 1{ \epsilon_o c^2}\ T\cdot m/A\$

Il legame tra $c\$ e $\epsilon_o\$ , $\mu_{\circ}\$ non è casuale ma implica il forte legame tra elettromagnetismo e teoria della relatività ristretta come appare più palese nella sezione che segue.

[modifica] Campo di una carica in moto

Se consideriamo che vale l'identità:

$I\overrightarrow{dl}=\overrightarrow{J}d\tau \$

Dove $d\tau\$ è il volume infinitesimo di dimensione longitudinale $dl\$ . La I equazione di Laplace può anche essere scritta:

$\overrightarrow{dB}=\frac {\mu_{\circ}}{4\pi } \frac {\overrightarrow{J} \times \vec r}{r^3}d\tau =\frac {\mu_{\circ}nq}{4\pi } \frac {\overrightarrow{v} \times \vec r}{r^3}d\tau \$

Dove $n\$ è il numero di cariche per unità di volume e quindi $dN=nd\tau\$ è il loro numero nel volume infinitesimo. Sostituendo anche a $\mu_{\circ}\$ la sua espressione in funzione di $c\$ si ha che il campo di induzione magnetica generato da una singola carica (dividendo per $dN\$ ) vale:

$\overrightarrow{B} =\frac 1{\epsilon_oc^2}q\frac {v\times \vec r}{4\pi r^3}\$

Ma il campo elettrico generato da una carica puntiforme in un punto a distanza $r\$ da essa vale:

$\overrightarrow{E}=\frac 1{4\pi \epsilon_o }\frac {q \vec r}{r^3}\$

Quindi:

$\overrightarrow{B} =\frac 1{c^2}v\times \vec E\$

[modifica] Campo di induzione magnetica di un circuito elettrico

Il campo di induzione magnetica prodotta da un circuito filiforme $L\$ , tale cioè che la densità di corrente si possa considerare costante sulla sua sezione, può essere ottenuto integrando la I formula di Laplace lungo $L\$ . Infatti se definiamo $I\$ la corrente che circola nel circuito segue che:

$\vec B=\frac {\mu_{\circ}}{4\pi}I\oint_L\frac {\overrightarrow{dl} \times \vec r}{r^3}\$

Tale espressione è una generalizzazione della I legge di Laplace e prende il nome di equazione di Biot-Savart (dal punto di vista storico è stata derivata per prima).

[modifica] Campo di induzione magnetica di un filo rettilineo

Un filo rettilineo percorso da corrente

Un'applicazione classica della legge di Biot-Savart è il calcolo del campo prodotto da un filo rettilineo. Sia dato un filo rettilineo, come in figura, nel quale scorra una corrente $I\$ . Si voglia calcolare l'induzione magnetica in un qualsiasi punto $P\$ dello spazio a distanza $R\$ dal filo.

Scegliamo come asse $z\$ (con versore $\vec{k}\$ ) il filo stesso e come origine l'intersezione del filo con la normale passante per $P\$ . Se come asse $x\$ scegliamo la normale al filo passante per il punto $P\$ avremo che:

$\vec r=(R,0,z)\qquad \overrightarrow{dl}=(0,0,dz)\qquad \overrightarrow{dl} \times \vec r=Rdz\vec j\$

Il campo di induzione magnetica prodotto sarà quindi, applicando la equazione di Biot-Savart:

$\vec B=\frac {\mu_{\circ}}{4\pi}I\oint_L\frac {\overrightarrow{dl} \times \vec r}{r^3} = \frac { \mu_{ \circ } } {4\pi} I\int_{-\infty}^{\infty} \frac {Rdz\vec j }{\left( R^2+z^2 \right)^{3/2}}\$

Sostituendo l'integrale analitico dell'espressione precedente:

$\vec{B} =\frac{\mu _{\circ }I\vec{j}}{4\pi R}\left[ \frac z{\sqrt{% R^2+z^2}}\right] _{-\infty}^{\infty}= \frac{\mu _{\circ }I}{2\pi R}\vec{j}=\frac{\mu _{\circ }I}{2\pi R} \vec k\times \vec i\$

Quindi il campo di induzione magnetica prodotto da un filo molto lungo e rettilineo genera un campo magnetico diretto lungo circonferenze concentriche al filo. Tale campo diminuisce linearmente con la distanza dal filo stesso. La regola della mano destra, anche in questo caso, può essere di aiuto; infatti se la corrente è indicata dal pollice della mano destra le linee del campo sono rappresentate dalle altre dita della stessa mano. In genere per un qualsiasi circuito filiforme, per punti estremamente vicini al filo, il campo di induzione magnetica è approssimabile con quello di un filo infinitamente lungo.

[modifica] Campo di una spira circolare

Una spira circolare percorsa da corrente

Consideriamo una spira di raggio $R\$ con asse $z\$ coincidente con l'asse della spira e con origine nel centro della spira stessa. In un punto a distanza $z\$ dall'origine. L'elemento $d\vec l\$ genera un campo:

$d\vec B=\frac {\mu_{\circ}}{4\pi}I\frac {\overrightarrow{dl} \times \vec r}{r^3}\$

Infatti $d\vec l\$ è sempre ortogonale a $\vec r\$ ; ma per ogni elemento $d\vec l\$ ne esiste uno diametralmente opposto che dà un contributo a $d \vec B\$ eguale in modulo al precedente, ma con componente ortogonale a $z\$ opposta.

Pertanto il campo $\vec B\$ risultante sarà diretto secondo l'asse delle $z\$ ed il suo valore sarà pari alla somma delle componenti $dB_z\$ . Essendo:

$dB_z=|d\vec B|\sin \alpha=|dB|\frac Rr\$

Quindi, in totale:

$B_z=\oint dB_z= \oint \frac {\mu_{\circ}}{4\pi}I\frac {|dl|}{r^2}\frac Rr = \frac {\mu_{\circ}}{4\pi}I\frac {R}{r^3} 2\pi R\$

Essendo:

$r^2=R^2+z^2\$

$B_z=\frac {\mu_{\circ}}{2\pi(R^2+z^2)^{3/2}}\pi IR^2\$

Che con la definizione data di $\vec m=I\pi R^2\vec n\$ si può anche scrivere:

$\vec B=\frac {\mu_{\circ}\vec m}{2\pi(R^2+z^2)^{3/2}} \$

L'espressione a grande distanza è formalmente eguale a quella di un dipolo elettrico. In generale, un spira percorsa da corrente o un oggetto con momento magnetico $\vec m\$ , a distanza grande rispetto alle dimensioni fisiche dell'oggetto genera un campo di induzione magnetica pari a:

$\vec B=\frac {\mu_{\circ}}{4\pi r^5}[3(\vec m\cdot \vec r)\vec r-r^2\vec m]\$

A piccola distanza vi è una differenza sostanziale, infatti, mentre il campo elettrico nello spazio tra le cariche generanti il campo dipolare si inverte, Nel caso magnetico, non esistendo i monopoli magnetici le linee del campo sono continue senza invertirsi.

Alcuni esercizi esempio A , esempio B, esempio C, esempio D, esempio A , esempio E, esempio A , esempio F, esempio A , esempio G, precisano meglio quanto detto.

[modifica] Campo di un solenoide

Linee del campo di un solenoide

Il campo all'interno di un soleoide può essere calcolato generalizzando quanto detto per una spira circolare. Se il solenoide ha $N\$ spire ed è lungo $L\$ ed ha un raggio $R\$

Detto $z\$ l'asse del solenoide definisco il numero di spire per unità di lunghezza come:

$n=\frac NL\$

Assunto come origine delle coordinate il centro del solenoide. Un tratto infintesimo del solenoide posto nel punto di coordinate $-L/2\le z'\le L/2\$ , nell'intervallo infinitesimo $dz'\$ , vi sono quindi $ndz'\$ spire che producono sull'asse il campo:

$dB_z=\frac 12\mu_oIR^2\frac {ndz'}{[R^2+(z'-z)^2]^{3/2}}\$

Integrando:

$B_z=\frac 12\mu_oInR^2\int_{-L/2}^{L/2}\frac {dz'}{[R^2+(z'-z)^2]^{3/2}}\$

Sostituendo a $z'-z=y\$ , $dz'=dy\$ :

$B_z=\frac 12\mu_oInR^2\int_{z-L/2}^{z+L/2}\frac {dy}{[R^2+y^2]^{3/2}} = \frac 12\mu_oInR^2\left[ \frac y{R^2\sqrt{R^2+y^2}}\right]_{z-L/2}^{z+L/2} \$

$B_z=\frac 12\mu_oIn\left[ \frac {z+L/2}{\sqrt{R^2+(z+L/2)^2}}-\frac {z-L/2}{\sqrt{R^2+(z-L/2)^2}}\right]\$

Al centro per $z=0\$ l'espressione si riduce a:

$B_z=\mu_onI\$

Mentre a grande distanza $z\gg R,L\$ il solenoide si comporta come un dipolo magnetico di momento:

$\vec m=NI\pi R^2 \hat k\$

[modifica] Azioni tra fili paralleli percorsi da corrente

Consideriamo due fili molto lunghi percorsi da correnti concordi $I_1\$ ed $I_2\$ posti a distanza $d\$ .

Assumiamo come asse delle $z\$ la direzione dei due fili e come asse delle $x\$ la congiungente i due fili ed origine sul primo filo. Il primo genererà un campo pari:

$\vec B=\frac {\mu_o}{2\pi d}I_1\hat j\$

Quindi (usando la regola della mano destra) sul tratto $l_2\$ del II filo agirà una forza:

$\vec F=I_2l_2\hat k \times \vec B=I_2l_2\frac {\mu_o}{2\pi d}I_1\hat k\times \hat j= -I_2l_2\frac {\mu_o}{2\pi d}I_1\hat i\$

Attrattiva nella direzione della congiungente. Mentre sarà repulsiva se i fili sono discordi (in poche parole va in maniera opposta alla forza elettrostatica di Coulomb in quanto cariche eguali si respingono mentre cariche di segno opposto si influenzano: è anche questo un effetto relativistico infatti due cariche che si muovono alla velocità prossima a quella della luce non si influenzano in quanto le due forze l'attrattiva e la repulsiva si compensano).

La definizione di Ampère è basata su tale espressione. Infatti si definisce $1\ A$ quella corrente che circolando su due fili rettilinei distanti $d=1\ m$ da luogo ad una forza di $2\cdot 10^{-7}\ N$ per metro.

Più in generale la forza che si esercita tra due circuiti (1 e 2), di lunghezza $L_1\$ e $L_2\$ vale:

$\overrightarrow {F_{12}}=\frac {\mu_oI_1I_2}{4\pi }\int_{L_1}\int_{L_2} \overrightarrow {dl_1}\times \left(\frac {\overrightarrow {dl_1}\times \overrightarrow {r_{12}}}{r_{12}^3}\right)\$

[modifica] Interpretazione relativistica

Riprendendo l'espressione del campo di una carica puntiforme e l'espressione della Forza di Lorentz.

Se ho due cariche eguali, in moto parallelo con velocità eguale $v\$ a distanza $r\$ la forza (repulsiva che si esercita tra di loro) vale:

$\overrightarrow{F}=\frac {q^2}{4\pi \epsilon_o }\frac { \vec r}{r^3}\left( 1-\frac {v^2}{c^2}\right)\$

L'interpretazione secondo la relatività ristretta è più logica. Se mi muovo con velocità eguale a quella delle cariche, in tale sistema di riferimento le cariche sono ferme ed ho solo il campo elettrico e la forza repusiva è quella della forza di Coulomb. Mentre se sono fermo e le cariche si muovono con velocità $v\$ , la forza repulsiva elettrica viene ridotta della quantità $\left( 1-\frac {v^2}{c^2}\right)\$ . Non conoscendo la relatività chiamiamo campo magnetico la grandezza:

$|B|=-\frac {qv}{4\pi \epsilon_o c^2}\frac 1{r^2}=-\frac {\mu_o qv }{4\pi r^2}$

Il campo magnetico è in realtà un effetto relativistico che dipende sia dal sistema di riferimento che dalla limitazione della velocità della luce. Cioè se la velocità della luce fosse infinita non avrei il campo magnetico e se le cariche nel mio sistema di riferimento sono ferme non ho effetti magnetici.

Argomento seguente: Legge di Ampère