Fisica classica/Campi elettrici

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Argomento precedente: La carica elettrica

Indice

[modifica] Definizione di campo elettrico

Sia \vec{F} la forza coulombiana e sia q_{0}\ la carica elettrica di prova che intendiamo utilizzare.

Possiamo definire un campo vettoriale \vec{E} dato da: \vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_0}

Possiamo definire il campo anche come \vec{E}(\vec{r}) = \lim_{q_0 \rightarrow 0} \frac{\vec{F}(\vec{r})}{q_0}\ , tenendo presente che il limite non è da intendere in senso classico (poiché la carica è quantizzata e quindi non può essere fisicamente resa piccola a piacere) bensì significa che la carica q_0\ deve essere abbastanza piccola rispetto alle cariche che generano il campo, in maniera da modificare il meno possibile la distribuzione di carica che consideriamo.

La forza di interazione elettrostatica è una forza centrale e quindi conservativa. Cioè il lavoro fatto dalla forza elettrica non dipende dal percorso lungo il quale è stato calcolato, ma solo dagli estremi del percorso. Il campo elettrico ha le dimensioni di una forza diviso una carica elettrica, estendendo il concetto di conservatività dalle forze ai campi si può affermare che il campo elettrostatico è conservativo, cioè ammette l'esistenza di un campo scalare detto potenziale elettrico definito in maniera univoca a meno di una costante arbitraria, che vedremo nel seguito.

Le dimensioni fisiche del campo elettrico sono quelle di una forza divisa una carica. L'unità di misura è nel Sistema Internazionale il Newton per Coulomb (N C-1) o equivalentemente il Volt per metro (V m-1). Il Volt (simbolo V) verrà introdotto nel seguito.

Dal punto di vista del mondo fisico in realtà si ha che le forze tra oggetti distanti vengono mediate dai campi. Concettualmente la differenza è fondamentale, infatti mentre alla azione a distanza tra due oggetti non possiamo associare un tempo caratteristico di propagazione, il campo originando da una carica si propaga con una velocità caratteristica del campo stesso. Nel caso del campo elettrico nel vuoto tale velocità è quella della luce, per cui nella maggior parte dei casi, essendo molto elevata rispetto alle altre velocità con cui siamo abituati a lavorare appare praticamente infinita. Ma nei fenomeni elettrici variabili nel tempo la velocità della luce gioca un ruolo importante per la comprensione dell'elettromagnetismo. Oltre al ruolo concettualmente essenziale del campo, la sua introduzione permette di studiare in maniera più semplice l'elettrostatica. Infatti la presenza di cariche di due segni presenta una ovvia difficoltà nel trattare la distribuzione generale di molte cariche.

[modifica] Campo Elettrico generato da una carica puntiforme

Consideriamo il caso di una carica puntiforme q\ posta nell'origine delle coordinate ed un carica q_o\ posta nel punto P\ a distanza r\ dall'origine.

Con la legge di Coulomb possiamo scrivere:

\vec{F} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_0 q}{r^2}\hat{u_n}

dove \hat{u_n}\ è il versore del raggio. In questo semplice caso, dalla definizione data di campo elettrico segue che:

\vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r^2} \hat{u_n}

Se la carica q\ fosse stata non nell'origine, ma nel punto P'\ di coordinate r'\ semplicemente l'espressione del campo cambierebbe in:

\vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{(r-r')^3} (\vec {r}-\vec {r'})\

Avendo indicato con \hat {u_n}= \frac {\vec {r}-\vec {r'}}{r-r'}\ il versore che identifica la direzione tra \vec r'\ ed \vec {r}\ .


[modifica] Espressione del campo in coordinate cartesiane

La rappresentazione in coordinate cartesiane permette di calcolare in maniera analitica il problema. Viene fatto il calcolo esplicito per mostrare l'utilità della formula compatta appena indicata Sia P=(x_0,y_0,z_0)\ il punto in cui risiede la carica che genera il campo elettrico. Il punto dove calcoliamo un campo ha coordinateP = (x,y,z)\ .

Il versore \hat{u_n} ha componenti: \hat{u_n} = \left( \frac{x-x_0}{r-r'}, \frac{y-y_0}{r-r'}, \frac{z-z_0}{r-r'} \right). Una volta ottenute le componenti del versore possiamo scomporre il campo in componenti lungo gli assi:

E_x = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q(x-x_0)}{\left\{ (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 \right\}^{\frac{3}{2}}}

E_y = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q(y-y_0)}{\left\{ (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 \right\}^{\frac{3}{2}}}

E_z = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q(z-z_0)}{\left\{ (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 \right\}^{\frac{3}{2}}}

Questa è l'espressione esplicita del campo elettrostatico generato dalla carica q\ posta nel punto di coordinate r'\ nel punto di coordinate r\ .

[modifica] Sovrapposizione dei Campi Elettrici

Se invece di avere una singola carica avessimo più cariche il campo elettrico è semplicemente pari alla somma dei campi generati dalle singole cariche. Tale proprietà non è banale in quanto non tutti campi di forze godono di tale principio elementare di sovrapposizione.

Vi è da aggiungere che anche il campo elettrico in presenza di materia non rispetta più tale principio. Infatti, quando i campi raggiungono intensità molto elevate, la loro azione può produrre effetti irreversibili sulla materia stessa. Quindi a tale irreversibilità si accompagna una non sovrapposizione degli effetti. La ragione di questo fatto può dipendere da vari fenomeni:

a) La materia sulla terra è fatta di molecole, cioè aggregati di atomi, tenute insieme da forze di natura elettrica. Quando i campi esterni eguagliano o superano tali forze di coesione le molecole stesse vengono spaccate.

b) Le forze elettriche determinano la coesione del nucleo con gli elettroni, quando quindi i campi esterni sono confrontabili con i campi interni agli atomi, i campi esterni spaccano gli atomi.

c) Se sono presenti cariche libere i campi le accelereranno, se nel processo raggiungono velocità così elevate che la loro energia cinetica è sufficiente a ionizzare gli atomi che urtano alla fine del loro cammino, tali elettroni liberati nel processo, a loro volta vengono accelerati e quindi si produce una moltiplicazione a valanga.

Vi è da osservare che la non sovrapponibilità degli effetti in ogni caso riguarda il mondo macroscopico con la sua complessità, ma a livello microscopico la sovrapposizione degli effetti è invece sempre valida per quanto riguarda il campo elettrico. In ogni caso la trattazione inizialmente riguarda i campi elettrici nel vuoto o con presenza molto scarsa di materia. Quindi tale principio generale di sovrapposizione lo considereremo inizialmente valido. Se non fosse valido non potremmo fare in maniera semplice somme o integrali come faremo nella trattazione seguente.

[modifica] Distribuzione discreta di carica

Nel caso di n cariche disposte nello spazio il principio di sovrapposizione si traduce dal punto di vista matematico, nella espressione:

\vec{E}(\vec{r}) = \sum_{i = 1}^n \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_i}{r_i^2} \hat{u_i}

Dove indichiamo con qi la i-esima carica della distribuzione con posizione r_i=(x_i,y_i,z_i)\

In modo del tutto analogo scriviamo le componenti del campo:

E_x = \sum_{i = 1}^n\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_i(x-x_i)}{\left\{ (x-x_i)^2 + (y-y_i)^2 + (z-z_i)^2 \right\}^{\frac{3}{2}}}

E_y = \sum_{i = 1}^n\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_i(y-y_i)}{\left\{ (x-x_i)^2 + (y-y_i)^2 + (z-z_i)^2\right\}^{\frac{3}{2}}}

E_z = \sum_{i = 1}^n\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_i(z-z_i)}{\left\{ (x-x_i)^2 + (y-y_i)^2 + (z-z_i)^2 \right\}^{\frac{3}{2}}}

Si suggeriscono alcuni esercizi sulla sovrapposizione degli effetti: i primi due non necessitano del concetto di campo: A, B; mentre gli altri utilizzano il concetto di campo: C, D, E.

[modifica] Caso sistema con una distribuzione continua di carica

Fino ad adesso abbiamo trattato casi in cui riuscivamo a contare le particelle cariche. Ma nelle esperienze pratiche si deve tenere conto che il numero di particelle è molto elevato. Quindi introduciamo una nuova entità:

Sia dτ un volumetto infinitesimo tale che contenga un numero abbastanza elevato di cariche. Si definisce densità di carica la quantità: \rho = \frac{dq}{d\tau}, ovvero la quantità di carica inclusa nel volumetto infinitesimo.

Supponiamo di voler misurare il campo in un punto di P \in\mathbb{R}^3 di coordinate (x,y,z)\ e di avere una distribuzione di carica generatrice del campo. Isoliamo un volumetto che contiene una carica dq a coordinate (x',y',z')\ . Abbiamo che il campo infinitesimo generato dalla distribuzione di carica sarà:

d\vec{E}(\vec{r}) = \frac{dq}{4\pi\epsilon_0 r^2} \hat{u} = \frac{\rho d\tau}{4\pi\epsilon_0 r^2} \hat{u}

Il campo totale sarà ottenuto con una quadratura su tutto lo spazio:

\vec{E}(\vec{r}) = \int d\vec{E}(\vec{r}) = \iiint_{\tau}\frac{\rho(x',y',z') dx'dy'dz'}{4\pi\epsilon_0 r^2} \hat{u}

Analogalmente alla distribuzione discreta possiamo ottenere le componenti del campo:


E_x = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iiint_{\tau} \frac{\rho(x',y',z')(x-x')dx'dy'dz'}{\left\{ (x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2 \right\}^{\frac{3}{2}}}

E_y = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iiint_{\tau} \frac{\rho(x',y',z')(y-y')dx'dy'dz'}{\left\{ (x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2 \right\}^{\frac{3}{2}}}

E_z = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iiint_{\tau} \frac{\rho(x',y',z')(z-z')dx'dy'dz'}{\left\{ (x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2 \right\}^{\frac{3}{2}}}

Oltre alla densità di carica volumica si definiscono le densità di carica superficiale e lineare:

\sigma = \frac{dq}{d\Sigma}

\lambda = \frac{dq}{dl}

Electric Field of a line.PNG

Il campo elettrico generato in un punto P\ generico dello spazio posto alla distanza \overrightarrow{r}\ dall'origine O\ da una distribuzione lineare di lunghezza L\ vale:


\overrightarrow{E} (\overrightarrow{r})= \frac 1{4\pi \varepsilon_o} \int_0^L \frac{ \lambda dl}{|r-r_l|^3} ( \overrightarrow r-\overrightarrow {r_l})\

Dove \overrightarrow{r_l}\ è il vettore posizione del generico elemento dl\ della linea con densità di carica \lambda \

Sono suggeriti alcuni esempi riguardanti la distribuzione lineare di carica su una sbarretta isolata, coppia di sbarrette, un anello carico. La distribuzione superficiale in due casi un disco isolante ed un disco conduttore.

Argomento seguente: La legge di Gauss

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