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1 Circuiti in Corrente alternata

[modifica] Circuiti in Corrente alternata

[modifica] Segnali periodici

Una grandezza si dice periodica se:

$f(t)=f(t+T)\$ che hanno e si definisce $T\$ il periodo. Una grandezza si dice alternata se è periodica ed ha valore medio nullo cioè se:

$\int_0^Tf(t)dt=0\$

Cioè se all'interno del periodo assume sia valori positivi che negativi che hanno lo stesso peso. Tutte le grandezze periodiche od alternate si possono descrivere come sommatorie di funzioni sinusoidali o cosinusoidali:

$f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin (n\omega t + \varphi_n) \$

(1)

Dove la pulsazione $\omega=2\pi/T\$ , e i veri termini si chiamano I, II eccetera armoniche del segnale periodico.

Tale sviluppo in serie (serie di Fourier) sempre possibile (vi sono strumenti elettronici e software che fanno automaticamente tali operazioni) permette di trattare separatamente le varie componenti sinusoidali.

Una grandezza alternata in particolare ha $a_0\$ definito in eq.1 nullo. Per una grandezza alternata dato che il valore medio non ha senso si preferisce definire il valore quadratico medio od efficace definito come:

$f_{eff}=\sqrt{\frac 1T\int_0^Tf(t)^2dt}\$

In particolare se:

$f(t)=A\sin (\omega t+\varphi)\$

si avrà che:

$f_{eff}=\frac A{\sqrt 2}\$

[modifica] Reti elettriche con generatori cosinusoidali

Simbolo del generatore di corrente alternata

Immaginiamo di avere un generatore di corrente cosinusoidali tipo l'alternatore visto nel capitolo precedente cioè un generatore che fornisca una f.e.m. del tipo:

$V(t)=V_o\cos \omega t\$

Un generatore di questo tipo si rappresenta come in figura, ovviamente per quanto detto precedentemente è caratterizzato dal valore massimo $V_o\$ o dal valore efficace.

Ad esempio la alimentazione delle nostre case è a una frequenza $\nu=\omega/(2\pi)=50\ Hz$ , é sinusoidale, ed ha una ampiezza $V_o=311\ V$ , ma viene indicata con il suo valore efficace di $V_{eff}=220\ V$ .

Se un tale segnale alimenta un circuito composto da sole resistenze di valore totale $R\$ quello che abbiamo detto sinora sulla legge di Ohm, si applica semplicemente dicendo che il circuito sarà percorso da una corrente:

$I(t)=\frac {V_o}R\cos \omega t\$

Generatore di corrente alternata su un carico resistivo

Quindi la potenza fornita dal generatore, coincide con quella dissipata per effetto Joule e istante per istante vale:

$P_f=V(t)I(t)\$

Cioè in media:

$P_m=\frac 1T\int_0^TP_fdt=I_{eff}V_{eff}\$

La ragione quindi per cui si parla di grandezze efficaci in maniera da trovare la corrispondenza con la corrente continua che produce gli stessi effetti termici.

L'aggiunta di condensatori e induttanze cambia sostanzialmente le cose, a parte i problemi legati ai transitori che esistono ugualmente nei circuiti in corrente alternata, e che qui vengono trascurati per non complicare ulteriormente la trattazione si ha un evidente sfasamento tra corrente e tensione.

Generatore di corrente alternata su un carico capacitivo

Infatti consideriamo il circuito mostrato in figura.

La carica ai capi del condensatore, in condizioni stazionarie, assume il valore periodico pari a:

$Q(t)=CV_o\cos \omega t\$

e quindi:

$I(t)=\frac {dQ}{dt}=-\omega CV_o\sin \omega t=\omega CV_o\cos (\omega t+\pi/2)\$

Cioè la corrente è in anticipo di $\pi/2\$ rispetto alla tensione.

Effetto del carico capacitivo

Come si vede nella rappresentazione grafica riportata a fianco in cui in linea continua è rappresentato:

$cos (\omega t)\$

In linea punteggiata:

$cos (\omega t+\pi/2)\$

e in linea tratteggiata:

$cos (\omega t-\pi/2)\$

Analogamente collegando un generatore di corrente alternata ai capi di una induttanza essendo:

$V_o\cos \omega t=L\frac {dI}{dt}\$

Segue da una semplice integrazione che:

$I(t)=\frac {V_o}{\omega L}\sin \omega t=\frac {V_o}{\omega L}\cos (\omega t-\pi/2)\$

in questo caso la corrente è in ritardo rispetto alla tensione come si vede nella curva punteggiata della figura precedente.

La combinazione di circuiti complessi con $L\$ , $C\$ ed $R\$ sarebbe troppo complicata con una analisi di questo tipo. Quello che si evince \'e che collegando ai capi di un generatore di f.e.m. alternata i vari possibili elementi circuitali nel circuito scorre una corrente elettrica alternata alla stessa frequenza, di ampiezza dipendente dai vari elementi circuitali, ma in genere sfasata.

[modifica] Il metodo simbolico

Tale metodo basato sull'algebra dei numeri complessi permette di studiare le reti in c.a. con un metodo formalmente simile alle reti in corrente continua, utilizzando l'algebra dei numeri complessi.

Nel metodo simbolico qui descritto usato per studiare le reti elettriche in condizioni stazionarie l'unità immaginaria pura si rappresenta con $j\$ :

$j=\sqrt{-1}\$

Non si usa $i\$ in quanto genererebbe confusione con le correnti.

Ricordo l'identità di Eulero:

$e^{j\theta}=cos \theta +j\sin \theta\$

Consideriamo una grandezza sinusoidale ad esempio la corrente che scorre in un circuito alimentato da un generatore tale che:

$V(t)=V_o\cos (\omega t)\$

In generale avrò che:

$I(t)=I_o\cos (\omega t + \varphi)\$

Se associo a tale grandezza la variabile complessa (la cui parte reale coincide con quella precedente):

$I(t)=I_o[\cos (\omega t + \varphi)+j\sin (\omega t + \varphi)]\$

Applicando la identità di Eulero avrò che:

$I(t)=(I_oe^{j\varphi })e^{j\omega t}=I_ce^{j\omega t}\$

La parte dentro parentesi $I_c\$ é un numero complesso non dipendente dal tempo, mentre il resto \'e una grandezza che dipende dal tempo.

Se utilizziamo tale corrente complessa per calcola d.d.p. ai capi dei tre componenti passivi che conosciamo risulta che:

$V(t)=RI_ce^{j\omega t}=RI(t)\$

Per una induttanza essendo:

$V(t)=L\frac {dI}{dt}=L\frac d{dt} \left( I_ce^{j\omega t}\right)= j\omega L \left( I_ce^{j\omega t}\right) =j\omega LI(t)\$

Per un condensatore essendo:

$V(t)=\frac QC=\frac 1C \int I(t)dt=\frac 1C \int \left( I_ce^{j\omega t}\right)dt= \frac 1{j\omega C}I_ce^{j\omega t}=\frac {I(t)}{j\omega C}\$

Se si definisce come estensione della resistenza elettrica una grandezza complessa $Z\$ detta impedenza che vale per $R\$ :

$Z_R=R\$

Per una induttanza:

$Z_L=j\omega L\$

Per una capacità:

$Z_C=\frac 1{j\omega C}=-\frac j{\omega C}\$

Si ha una legge formalmente simile per i tre elementi circuitali passivi:

$V(t)=I(t)Z\$

Si dimostra facilmente, generalizzando quanto visto per le resistenze, come la serie di $n\$ impedenze è pari alla somma delle impedenze dei singoli componenti:

$Z_s=\sum_{i=1}^nZ_i\$

Mentre se si hanno $n\$ elementi in parallelo, si comportano come se l'inverso impedenza è pari alla somma degli inversi delle impedenze di ogni singolo elemento:

$1/Z_p=\sum_{i=1}^n 1/Z_i\$

In generale quindi la $Z\$ equivalente di un circuito si compone di una parte reale (indicata spesso con $R\$ ) ed una parte immaginaria detta reattanza indicata con $X\$ :

$Z=R+jX\$

Riepilogando quanto detto sinora un generatore di f.e.m. alternata:

$V=V_o\cos (\omega t)\$

ed un generico circuito in cui sia presenti in qualsiasi maniera resistenze, induttanze e capacità si può rappresentare come una impedenza $Z\$ . La corrente che scorre nel circuito vale:

$I=I_o\cos (\omega t +\varphi)\$

con

$I_o=\frac {V_o}{|Z|}\$

e

$\varphi =-arctg \frac {Z_{imm}}{Z_{reale}}\$

Notare come anche:

$Z_{reale}=|Z|\cos \varphi\$

(2)

$Z_{imm}=-|Z|\sin \varphi\$

(3)

[modifica] La potenza assorbita

Da quanto detto quindi la potenza istantanea fornita dal generatore in un generico circuito in c.a. vale:

$P(t)=V(t)I(t)=V_o\cos (\omega t)I_o\cos (\omega t +\varphi)\$

Applicando le formule di somma del coseno:

$P(t)=V_oI_o[\cos^2 (\omega t)\cos \varphi-\cos (\omega t)\sin (\omega t) \sin \varphi]\$

Facendo la media su un periodo, il primo temine variabile nel tempo:

$\frac 1T\int_0^T \cos^2 (\omega t)dt=\frac 12\$

mentre:

$\frac 1T\int_0^T \cos (\omega t)\sin (\omega t)dt=0\$

essendo una funzione a media nulla con periodo $T/2\$ , come si ricava facilmente dallo studio della funzione. Quindi la potenza media fornita dal generatore vale:

$P_m=\frac {I_oV_o }2\cos \varphi=V_{eff}I_{eff}\cos \varphi\$

(4)

I contatori di energia elettrica tengono conto della potenza media fornita dal generatore (cioè del termine in $\cos \varphi\$ ) fino ad un valore di $\cos \varphi\$ non eccessivo. Per cui è buona norma aggiustare le carico in maniera da rendere $\varphi\$ prossimo a $0\$ .

[modifica] La risonanza

Un elementare circuito risonante serie

Se un generatore di f.e.m alternata viene posto ai capi della serie di una resistenza una capacità ed una induttanza si ha quello che si chiama il circuito risonante serie.

Notiamo che dal punto delle equazione differenziale di partenza abbia notevoli analogie con l'equazione di un oscillatore armonico forzato. Infatti la sua equazione caratteristica é:

$L\frac {dI}{dt}+RI+\frac QC=V_o\cos (\omega t)\$

Una volta che si sostituisca a $I\$ :

$I=\frac {dQ}{dt}\$

Diviene:

$L\frac {d^2Q}{dt^2}+R\frac {dQ}{dt}+\frac QC=V_o\cos (\omega t)\$

La cui omogenea non differisce algebricamente dall'equazione dell'oscillatore armonico:

$m\frac {d^2x}{dt^2}+\lambda \frac {dx}{dt}+kx=0\$ \ </math> Infatti analogamente si definisce:

$\omega_o=\frac 1{\sqrt{LC}}\$

Se l'analizziamo dal punto di vista del metodo simbolico:

$Z=R+j\omega L-\frac j{\omega C}\$

Quindi usando lo stesso metodo visto per i circuiti precedenti risulta che:

$I_o=\frac {V_o}{\sqrt{R^2+\left( \omega L-\frac 1{\omega C}\right)^2}}\$

(5)

Che è chiaramente una funzione con un massimo pronunciato alla pulsazione di risonanza, cioè per:

$\omega_o L=\frac 1{\omega_o C}\$

$\omega_o=\frac 1{\sqrt{LC}}\$

e la cui ampiezza per tale valore della pulsazione vale semplicemente:

$I=\frac {V_o}R\$

Lo sfasamento tra corrente e tensione vale:

$\varphi=-arctan \frac {\left( \omega L-\frac 1{\omega C}\right)}R\$

Tale funzione é nulla alla frequenza di risonanza e varia da $90^o\$ a bassa frequenza (in cui domina l'impedenza capacitiva) e $-90^o\$ per alte frequenze in cui domina l'impedenza induttiva.

Analogamente che nel caso meccanico si definisce fattore di merito $Q\$ la misura del picco di risonanza definito come:

$Q=\frac {\omega_o}{\omega_+-\omega_-}=\frac {\omega_o}{\Delta \omega}\$

(6)

Dove $\omega_+\$ ed $\omega_-\$ sono le due pulsazioni per cui $I\$ si ridotto rispetto al valore di picco di $\sqrt 2\$ (cioè al suo valore efficace). La curva a campana non é simmetrica ma se il $Q\$ è elevato si può approssimare con una curva simmetrica in maniera che:

$\omega_+-\omega_o\approx \omega_o-\omega_-=\frac {\Delta \omega}2\$

Imponendo che:

$\frac {V_o}{ \sqrt{R^2+\left( \omega_+ L- 1/(\omega_+ C)\right)^2}}=\frac {V_o}{\sqrt 2 R}\$

segue che:

$R^2+\left( \omega_+ L- \frac 1{\omega_+ C}\right)^2=2R^2\$

$\left( \omega_+ L-\frac 1{\omega_+ C}\right)^2=R^2\$

$\omega_+ L-\frac 1{\omega_+ C}=R\$

$\omega_+L\left( 1-\frac 1{\omega_+^2 LC}\right)=R\$

$\omega_+L\left( 1-\frac {\omega_o^2}{\omega_+^2}\right)=R\$

$\omega_+L\left( 1+\frac {\omega_o}{\omega_+}\right)\left( 1-\frac {\omega_o}{\omega_+}\right)=R\$

Ma $1+\frac {\omega_o}{\omega_+}\approx 2\$ quindi:

$2L\left( \omega_+-\omega_o \right)\approx R\$

Per cui:

$\Delta \omega=2\left( \omega_+-\omega_o \right)=\frac RL\$

e quindi:

$Q=\frac {\omega_o L}R=R\sqrt {\frac CL}=\frac 1{\omega_oC R}\$

Nel caso del circuito risonante parallelo cioè nel circuito indicato in figura

Un elementare circuito risonante parallelo

La resistenza $R_s\$ limita la massima corrente che scorre nel circuito. Se in particolare $R_s\$ é grande il circuito é alimentato a corrente di ampiezza costante $I_o\$ .

$I(t)=I_o\cos \omega t\$

In queste condizioni il parallelo dei tre elementi circuitali vale:

$\frac 1Z=\frac 1R_p+j\omega C+ \frac 1{j\omega L}\$

Quindi la tensione ai capi del circuito, usando il metodo simbolico, vale:

$V=IZ=I_o\frac 1{\frac 1R_p+j\omega C+ \frac 1{j\omega L}}\$

Quindi l'ampiezza della tensione ai capi dei tre elementi in parallelo vale:

$V_o=\frac {I_o}{\sqrt {1/R_p^2+\left(\omega C-\frac 1{\omega L} \right)^2}}\$

che é formalmente simile all'eq.5 infatti la tensione (invece della corrente) ha un massimo per:

$\omega_o C=\frac 1{\omega_o L}\$

la fase é nulla alla frequenza di risonanza e varia tra $90^o\$ e $-90^o\$ . Il fattore di merito definito per la larghezza della curva di risonanza della tensione vale, con ragionamenti analoghi:

$Q=R_p\omega_o C\$

Cioè il fattore di merito é tanto più alto quanto più basse sono le perdite ai capi del sistema in parallelo.

Argomento seguente: Equazioni di Maxwell

Fisica classica/Correnti alternate

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