Fisica classica/Lenti e specchi

Le leggi della riflessione e della rifrazione sono perfettamente simmetriche. In realtà le leggi della rifrazione contengono le leggi della riflessione. La riflessione si può definire come una rifrazione tra due mezzi il cui indice di rifrazione relativo vale $n_{1,2}=-1\$. In genere tutte le leggi degli specchi e delle lenti conservano tale simmetria.

Specchi

È possibile mostrare geometricamente che, data una sorgente di luce sull'asse di uno specchio sferico concavo, se si considerano raggi parassiali, cioè quelli che formano angoli molto piccoli con l'asse dello specchio (la normale passante per il centro. In base alla proprietà che un angolo esterno di un triangolo è eguale alla somma dei due angoli interni non adiacenti, dalla costruzione geometrica si ha:

$\alpha +\theta =\beta \$

$\gamma =\alpha +2\theta \$

Eliminando $\theta \$ dalle due equazioni si ha che:

$\alpha +\gamma =2\beta \$

Essendo i raggi parassiali posso confondere il seno e la tangente dell’angolo con il valore dell’angolo stesso. Dalla costruzione geometrica:

${\frac {l}{p}}+{\frac {l}{q}}=2{\frac {l}{R}}={\frac {l}{f}}\$

da cui:

${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {2}{R}}\$

La derivazione è stata fatta per $p>R/2\$. Se $p<R\$, non vi è nessun punto in cui i raggi convergono, ma convergono i prolungamenti immaginari dei raggi dietro lo specchio. La formula è sempre valida, ma $q\$ in tal caso è negativo, cioè al di là dello specchio ( si parla quindi di immagine virtuale). Notiamo la convenzione qui usata che p e q (non è l'unica in alcuni testi si usa la stessa conevenzione per specchi e lenti), se sono dal lato dello specchio sono positivi, mentre al di là sono negativi.

Se lo specchio è convesso la formula vale nella stessa maniera, ma R diviene negativo (per convenzione).

Come si nota nella formula vi è completa simmetria tra $p\$ ed $q\$. Si definisce fuoco $f=R/2\$, il punto in cui convergono i raggi paralleli parassiali (cioè provenienti da distanza infinita) all’asse dello specchio o in generale all’asse ottico. Tale definizione di fuoco vale per qualsiasi sistema ottico complesso.

In realtà un paraboloide di rotazione è la figura geometrica più adatta a far convergere in un unico punto i raggi parassiali. Negli strumenti ottici moderni si usano specchi di forma parabolica per focalizzare i raggi.

Lenti

Se invece di uno specchio si considera una superficie sferica rifrangente, di separazione tra due mezzi, di indice di rifrazione n1 ed n2, con analoghi ragionamenti geometrici si può ottenere:

${\frac {n_{1}}{p}}+{\frac {n_{2}}{q}}={\frac {n_{2}-n_{1}}{R}}\$

Dove R è il raggio di curvatura della superficie di separazione; la distanza dell’immagine è misurata dall’altra parte rispetto allo specchio.

La combinazione di due mezzi rifrangenti, cioè una lente, se abbastanza sottile, ha un comportamento matematicamente simile a uno specchio. Se i due raggi di curvatura della lente sono $R_{1}\$ ed $R_{2}\$, ed n l’indice di rifrazione relativo, considerando che l’immagine in un mezzo diventa l’oggetto dell’altro mezzo rifrangente, si mostra con semplici operazioni geometriche, dette $p\$ ed $q\$ le distanze oggetto e le distanze immagine, che:

${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=(n-1)\left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)={\frac {1}{f}}$

Cioè una equazione formalmente simile all'equazione degli specchi. Notare come in questo caso i p sono positivi se si trovano sul lato sinistro, mentre i q sono positivi sul lato destro (quindi per i q si è adottata una convenzione diversa che per gli specchi.

Il termine fuoco deriva dalla proprietà delle lenti come degli specchi di concentrare la luce del Sole (posto praticamente all'infinito) sul fuoco, fino ad incendiare oggetti combustibili.

Determinare il fuoco di una lente come di uno specchio non richiede in realtà l'algebra ma si può determinare anche sperimentalmente. Infatti basta fare attraversare una lente o fare incidere su uno specchio un fascio di raggi parassiali e paralleli all'asse ottico e determinare dove vanno a incontrarsi tutti i raggi sull'asse ottico. La distanza focale è quindi un parametro essenziale per definire le proprietà di una lente sottile.

Spesso per quanto riguarda le lenti usate negli occhiali, al posto della distanza focale si preferisce parlare di potenza delle lenti, che viene misurata in diottrie, potenza e distanza focale sono semplicemente l'uno l'inverso dell'altro:

$D={\frac {1}{f}}$

Notare come le lenti convergenti abbiano diottrie positive, mentre le lenti divergenti le diottrie siano negative.

Un esempio numerico chiarisce meglio il concetto: immaginiamo di avere $R_{1}=R_{2}=5.5\ cm$, $n=1.33\$ (vetro) una lente di questo tipo ha una distanza focale di 8.3 cm e quindi è di 12 diottrie. In questo caso se vogliamo che la lente sia sottile (un numero ragionevole è in questo caso 5 mm) il diametro esterno della lente deve essere di circa 2 cm (disegnando in sezione la lente si dimostra facilmente). Per le lenti sottili, in generale più è piccola la distanza più il diametro della lente deve essere piccolo.

L'immagine a fianco, in cui si è scambiata la posizione dell'immagine e dell'oggetto rispetto alla figura precedente, mostra l'ingrandimento di una lente. Infatti la dimensione dell'immagine non è fissa: se avvicinamo la lente all'oggetto e di conseguenza allontaniamo il punto in cui proiettiamo l'immagine (ad esempio uno schermo), l'immagine diventa più grande.

Si chiama ingrandimento il rapporto:

$I=H/h\$

dove H è l'altezza dell'immagine e h quella dell'oggetto. Misurare tali dimensioni non è sempre possibile. Non si possono misurare facilmente oggetti molto lontani oppure troppo piccoli. In tali casi l'ingrandimento può essere determinato per mezzo delle distanze p e q. Infatti il raggio luminoso che passa per il centro della lente, e che non viene deviato, individua 2 triangoli simili che hanno vertice comune al centro della lente. In virtù dei triangoli simili H/h = q/p, e, dal momento che I = H/h, avremo anche che I = q/p. Continuando ad avvicinare la lente all'oggetto illuminato, si arriva ad un punto in cui l'immagine sarà molto lontana. Se la distanza lente-oggetto è pari alla distanza focale, l'immagine si formerà all'infinito. Al contrario un oggetto posto all'infinito formerà la propria immagine alla distanza focale. Una lente posta a 2 f dall'oggetto, forma l'immagine alla distanza 2 f. In questo caso il rapporto di ingrandimento è pari a 1.