Consideriamo un punto P in moto nello spazio, e supponiamo che il moto del punto sia individuato dalla conoscenza delle:
![{\displaystyle \ x=x(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46fd359718b0f9461c41c8bb8edd33d34ce6a718)
![{\displaystyle \ y=y(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9614721844625ec893cd0e19502930a06e81fa7b)
![{\displaystyle \ z=z(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a4a332f70f5adeb33ee6bbd5217084b46013de0)
rispetto ad una terna mobile di moto più generale (traslazione e rotazione).
Il problema che ora ci proponiamo è quello di determinare le velocità e le accelerazioni del punto P rispetto ad un sistema di assi fissi dalla conoscenza delle velocità e delle accelerazioni rispetto agli assi mobili.
La risoluzione di questo problema richiede quindi la conoscenza delle seguenti grandezze:
- Parametri del moto della terna mobile.
- Parametri del moto del punto P rispetto alla terna mobile.
,x,y,z è il sistema di assi mobilii ed il suo moto è individuato dalle componenti
,
,
della velocità di traslazione
del punto
rispetto agli assi fissi, e dal vettore rotazione
diretto come l'asse istantaneo di rotazione e definito dalle sue tre componenti p, q, r rispetto agli assi mobili.
Se
è l'origine degli assi fissi avremo:
![{\displaystyle {\vec {O_{f}P}}={\vec {O_{f}O_{m}}}+{\vec {O_{m}P}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38b3991d2af2d4b3b563fe41e4fa850169c7f97a)
La velocità assoluta è data da:
![{\displaystyle {d({\vec {O_{f}P}}) \over dt}={d({\vec {O_{f}O_{m}}}) \over dt}+{d \over dt}(x{\hat {\mathbf {i} }}+y{\hat {\mathbf {j} }}+z{\hat {\mathbf {k} }})={d{\vec {O_{f}O_{m}}} \over dt}+x{d{\hat {\mathbf {i} }} \over dt}+y{d{\hat {\mathbf {j} }} \over dt}+z{d{\hat {\mathbf {k} }} \over dt}+{\dot {x}}{\hat {\mathbf {i} }}+{\dot {y}}{\hat {\mathbf {j} }}+{\dot {z}}{\hat {\mathbf {k} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae0a264578d483aa2b21b1292e83812117bbd50a)
|
Il termine
![{\displaystyle {\vec {V_{r}}}={\dot {x}}{\hat {\mathbf {i} }}+{\dot {y}}{\hat {\mathbf {j} }}+{\dot {z}}{\hat {\mathbf {k} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47c781f69cc6b9c082247bf87f3869c4ebc237be)
di quest'ultima equazione rappresenta la velocità del punto P qualora la terna
fosse fissa, cioè rappresenta la velocità di P relativa alla terna mobile ed è quindi chiamata velocità relativa.
mentre il termine:
![{\displaystyle {\vec {V_{t}}}={\vec {V_{o}}}+{\vec {\Omega }}\wedge {\vec {OP}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d83dd52cf51073897328ef1c6fe8950dfc75584c)
rappresenta la velocità del punto P come se fosse rigidamente collegato con la terna mobile. Questo termine è noto come velocita di trascinamento
. Concludendo possiamo dire che la velocità assoluta è data:
|
La derivata rispetto al tempo della formula precedente rappresenta ovviamente l'accelerazione assoluta. Pertanto:
Sviluppando otteniamo tre termini:
![{\displaystyle (1)[{d{\vec {V_{o}}} \over dt}+{\vec {\Omega }}\wedge {(x{d{\hat {\mathbf {i} }} \over dt}+y{d{\hat {\mathbf {j} }} \over dt}+z{d{\hat {\mathbf {k} }} \over dt})}+{d{\vec {\Omega }} \over dt}\wedge {\vec {OP}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74a71db3fb19eba169e776c6e854aa9924a2cc98)
![{\displaystyle (2)[{\dot {x}}{d{\hat {\mathbf {i} }} \over dt}+{\dot {y}}{d{\hat {\mathbf {j} }} \over dt}+{\dot {z}}{d{\hat {\mathbf {k} }} \over dt}+{\vec {\Omega }}\wedge {({\dot {x}}{\hat {\mathbf {i} }}+{\dot {y}}{\hat {\mathbf {j} }}+{\dot {z}}{\hat {\mathbf {k} }})}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97571a75a359d6c53842664c192843bc9595a919)
![{\displaystyle (3)[{\vec {a_{r}}}={\ddot {x}}{\hat {\mathbf {i} }}+{\ddot {y}}{\hat {\mathbf {j} }}+{\ddot {z}}{\hat {\mathbf {k} }}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34f3bc492d4d0cab363edd233b15ec3707361848)
Il primo termine, ricordando che
ed analoghe per
e
, rappresenta l'accelerazione di trascinamento di P come rigidamente connesso con
xyz:
|
Il secondo termine, ricordando sempre che
, è quello che si chiama l'accelerazione complementare o di Coriolis:
|
Il terzo termine è l'accelerazione di di P rispetto ad
xyz come se questo fosse fermo nello spazio ed è, quindi, l'accelerazione relativa:
|
Se la terna mobile si muove di moto di traslazione uniforme, cioè
e
, l'accelerazione assoluta del punto coincide esattamente con l'accelerazione relativa. Se la terna mobile si muove unicamente di moto traslatorio, cioè
, si ha:
|
Qualora la terna si muova solamente di moto rotatorio uniforme rispetto ad un asse,
, vale:
|