Meccanica razionale/Dinamica/Sistemi di punti

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equazioni del moto per un sistema di punti e teorema del baricentro[modifica]

Se consideriamo un sistema S di punti materiali, e sia la massa e la velocità del generico punto , l'equazione del moto per questo punto può esere scritta:

(6)

Essendo la forza esterna applicata a questo punto mentre è il risultante di tutte le azioni che i punti circostanti esercitano sul punto considerato. Se scriviamo la precedente equazione per tutti i vari punti avremo n equazioni vettoriali che sommate si riducono alla unica

(7)

Questa equazione proiettata in tre assi dà le seguenti tre equazioni scalari:

(8)

Ma il risultante delle forze interne per il principio di azione e reazione è un sistema nullo, cioè , in quanto le forze interne a due a due costituiscono dei sistemi nulli.

Allora le equazioni (8) divengono:

Ricordando la definizione di baricentro di un sistema di masse cioè come quel punto G tale che le sue coordinate sono date dalle seguenti espressioni:

e considerando

E tenendo conto che la massa totale del sistema è data da si ottengono le tre seguenti equazioni

da cui deriva il teorema fondamentale del baricentro. Cioè che il baricentro del sistema si muove come un punto materiale avente la massa totale del sistema e su cui agisce una forza eguale alla somma vettoriale delle forze agenti su tutti i vari punti di massa.

Concludendo possiamo dire che se è la quantità di moto totale del sistema dato da

il teorema della quantità di moto si esprime dicendo che il derivato delle quantità di moto è uguale al risultante delle sole forze esterne applicate al sistema, cioè

Momento delle quantità di moto[modifica]

Consideriamo un punto 'C' ed un punto materiale a cui compete il vettore quantità di moto . Il momento di è per definizione il vettore:

Il momento risultante rispetto a 'C' è dato da:

eseguiamo il derivato:

Tenendo conto della relazione:

e derivando si ottiene:

che sostituite nell'espressione del momento della quantità di moto dà:

ma osservando che:

e che il termine vettoriale:

e che per il teorema del baricentro:

otteniamo in definitiva:

E tenendo presente che è il momento delle forze esterne rispetto a 'C', possiamo scrivere:

È da notare che il termine è zero solo se 'C' è fermo o è il baricentro, allora solo in questo caso possiamo scrivere semplicemente:

Concludendo che il vettore derivato del momento della quantità di moto è uguale al momento delle forze esterne rispetto al punto fisso o rispetto al baricentro.