Il moto di P è noto rispetto alla terna
tutte le volte che sono date le sue coordinate x,y,z, come funzioni dell'ascissa temporale t:
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e396d005907a15fc1e7ee4d80c0405b6c254566b)
In forma vettoriale potremo dire che le precedenti equazioni si possono riassumere nell'unica
![{\displaystyle {\vec {OP}}={\vec {OP}}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/500128b777f2bfaa836dfb69e56bdc8cf613cdd3)
Consideriamo il caso che il punto P si muova su di una traettoria assegnata l, e scelto un sistema di ascissa curvilinea s, diremo che il moto del punto dal punto P è completamente definito quando diamo le
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=x(s)\\y=y(s)\\z=z(s)\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54aad9e6295f1d95892f1f6d6d86ea7abae9aa70)
e la legge oraria
![{\displaystyle \ S=S(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55fa4353eec88b535c4e6234302f510f7ccafd65)
Il sistema (2) e (3) è completamente equivalente alle (1). Le equazioni (2) dipendono esclusivamente da come è fatta la traiettoria, mentre la (3) esprime unicamente la legge oraria di 'P' lungo la 'l', cioè in qual maniera nel tempo 'P' percorre gli spazi sulla 'l'.
Se è nota la legge oraria s=s(t) si definisce come velocità scalare la derivata:
![{\displaystyle {ds \over dt}={\dot {s}}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09d3729eab24d2591fcdef1d255e781734920759)
Si dice che il moto di P è uniforme lungo la traettoria definita dalle (1) quando:
![{\displaystyle {\dot {s}}(t)=cost}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/383d73c000dfda89402bf117c72574eba47ecb5c)
Supponendo che la traiettorie di P sia data mediante le equazioni (2) e (3), sono noti i coseni direttori della tangente alla curva nel punto P mediante le seguenti formule:
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}T_{x}={\frac {dx \over ds}{\sqrt {({dx \over ds})^{2}+({dy \over ds})^{2}+({dz \over ds})^{2}}}}={dx \over ds}\\T_{y}={dy \over ds}\\T_{z}={dz \over ds}\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6121f7657a6119b125c3e5e98ade35151a36629)
Definiamo quindi il vettore unitario della tangente il vettore:
![{\displaystyle {\vec {T}}={\vec {i}}T_{x}+{\vec {j}}T_{y}+{\vec {z}}T_{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/107825be3a640281051f6044055ab90e6bf5c653)
Si chiama quindi velocità vettoriale la quantità
![{\displaystyle {\vec {v}}={\dot {s}}(t)\cdot {\vec {T}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a7b85d31773c2b7c29992fb41d16dc407e343f0)
che deriva direttamente dalla derivazione rispetto al tempo delle (2), tenendo conto della (4).
Si definisce per accelerazione del punto P la derivata rispetto al tempo della velocità vettoriale:
![{\displaystyle {\bar {\mathbf {a} }}={d \over dt}{\bar {\mathbf {v} (t)}}={d \over dt}({\dot {s}}{\bar {\mathbf {T} }})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac61aa3a20df551e1e3e4f7303ea233b6b2ee72c)
Eseguendo la derivazione abbiamo:
![{\displaystyle {\bar {\mathbf {a} }}={\ddot {s}}{\bar {\mathbf {T} }}+{\dot {s}}{d \over dt}{\bar {\mathbf {T} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3bcba454b1ea6f0cb03fe0e6a11e75104c0610c)
e ricordando che:
![{\displaystyle {\bar {\mathbf {T} }}={d \over ds}x(s){\hat {\mathbf {i} }}+{d \over ds}y(s){\hat {\mathbf {j} }}+{d \over ds}z(s){\hat {\mathbf {k} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c04387fdd04e085d97b26ef0f3cd1312ff4bc288)
e derivando rispetto a t:
![{\displaystyle {d \over dt}{\bar {\mathbf {T} }}={\hat {\mathbf {i} }}{d^{2} \over ds^{2}}x(s){d \over dt}s(t)+{\hat {\mathbf {j} }}{d^{2} \over ds^{2}}y(s){d \over dt}s(t)+{\hat {\mathbf {k} }}{d^{2} \over ds^{2}}z(s){d \over dt}s(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bf4bf9e9b3813d446cc2eb75968d681aa45da4f)
![{\displaystyle {d \over dt}{\bar {\mathbf {T} }}={\dot {s}}({\hat {\mathbf {i} }}{d^{2} \over ds^{2}}x(s)+{\hat {\mathbf {j} }}{d^{2} \over ds^{2}}y(s)+{\hat {\mathbf {k} }}{d^{2} \over ds^{2}}z(s))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/195424b911db815a160f9ae85661ce8936dafb9a)
Il vettore
![{\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }}{d^{2} \over ds^{2}}x(s)+{\hat {\mathbf {j} }}{d^{2} \over ds^{2}}y(s)+{\hat {\mathbf {k} }}{d^{2} \over ds^{2}}z(s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b252496392737d21d5313471dc6ff5cb0decbfcf)
è un vettore che ha per coseni direttori quelli della normale principale alla curva nel punto P e modulo:
![{\displaystyle {\frac {1}{\rho }}={\sqrt {\left({d^{2} \over ds^{2}}x(s)\right)^{2}+\left({d^{2} \over ds^{2}}y(s)\right)^{2}+\left({d^{2} \over ds^{2}}z(s)\right)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f36e98165332aabbc07fc366bdfa293b2ea1d612)
che è, come noto, la curvatura della curva nel punto P. Per cui in definitiva si ottiene per l'accelerazione vettoriale:
![{\displaystyle {\vec {a}}={\ddot {s}}{\vec {T}}+{\frac {{\dot {s}}^{2}}{\rho }}{\vec {N}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6fcc6222d09ce2beef83f88e2979d85a13940d6)
Il termine
è l'accelerazione tengenziale, mentre il termine
è l'accelerazione normale o centripeta in quanto diretta sempre secondo la normale principale alla curva traiettoria sul punto considerato.
Si chiama moto uniforme quello per cui
e quindi
, e di conseguenza l'unica accelerazione presente è quella normale.
I moti rettilinei uniformi sono quelli caratterizzati da
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|
per cui
.