Meccanica razionale/Richiami di calcolo vettoriale

Wikibooks, manuali e libri di testo liberi.
Jump to navigation Jump to search
Figura 1

Definizione di vettore[modifica]

Un vettore è una grandezza definita dalle seguenti entità:

  • modulo
  • direzione
  • verso

Consideriamo la figura 1: diremo che il modulo è rappresentato dalla distanza AB, la direzione è individuata dalla direzione della retta passante per A, B ed il verso è quello che va da A verso B.

Rappresentazione cartesiana[modifica]

Scelta a piacere una terna cartesiana ortogonale (O, x, y, z) chiameremo componenti del vettore:

lungo x, y, z le seguenti quantità:

Il modulo di questo vettore è dato dalla seguente quantità:

L'orientamento del vettore, cioè direzione e verso, rimane completamente individuato dai coseni direttori:

Vettori unitari[modifica]

Chiamasi vettore unitario o versore, il vettore avente modulo , e poiché:

si vede che le componenti del vettore unitario sono i coseni direttori stessi.

Definiamo come i tre vettori unitari fondamentali, i tre vettori unitari che hanno l'orientamento dei tre assi cartesiani e li individuiamo rispettivamente in

Operazioni sui vettori[modifica]

Somma[modifica]

Dati vettori e scelto ad arbitrio il punto costruiamo la poligonale (in generale, sghemba), con la condizione che sia l'estremo del vettore applicato in , l'estremo del vettore applicato in , allora chiameremo risultato o somma dei il vettore

Nella rappresentazione cartesiana si ottiene:

Prodotto scalare[modifica]

Si definisce come prodotto scalare fra due vettori la quantità scalare:

Nella rappresentazione cartesiana e

e ricordando che i coseni direttori sono:

per cui:

Il polinomio è, il coseno dell'angolo fra le direzioni di e ; da questo è quindi facile vedere che se il prodotto scalare in quanto

Prodotto vettoriale[modifica]

Per quanto abbiamo detto precedentemente se sono le componenti di , e sono i vettori fondamentali unitari, possiamo scrivere:

Premesso ciò, si definisce prodotto vettoriale o vettore, fra due vettori e , il vettore definito nella seguente maniera:

Il versore determina la direzione del prodotto vettoriale, normale al piano formato da e .

Prodotto misto e prodotto vettoriale doppio[modifica]

Si definisce prodotto misto dati tre vettori

che è una quantità scalare. Il prodotto misto si annulla se è parallelo a o a

Valgono le seguenti proprietà commutatrici:

Si definisce il prodotto vettoriale doppio il vettore:

Infatti e sono numeri che moltiplicati rispettivamente per i vettori e danno dei vettori.

In coordinate cartesiane si può scrivere sinteticamente:

Prodotto vettore dei vettori unitari fondamentali[modifica]

Si ottengono le seguenti formule:

Vettori applicati[modifica]

Si chiama vettore applicato, un qualsiasi vettore applicato in un determinato punto dello spazio.

-Chiamasi coppia l'insieme di due vettori aventi modulo uguale e rette di applicazione parallele a versi opposti. La distanza fra le due rette è chiamata braccio della coppia.
b)
Momento di un vettore rispetto ad un punto.
Il momento di un vettore applicato rispetto ad un punto è il vettore definito nella seguente maniera. Se è il punto rispetto al quale si vuole calcolare il momento, dicesi momento di rispetto a il vettore che ha per modulo:
e direzione normale al piano e .

Il verso è definito quello di un osservatore che giacente lungo la normale al piano di e vede andare verso con senso indicato dalla regola della mano destra.

Differenziazione ed integrazione di vettori[modifica]

Differenziazione[modifica]

Una funzione vettoriale di una o più variabili scalari è generalmente chiamata campo vettoriale. La derivata di una funzione vettoriale di una sola variabile è definita da:

.

Ora durante l'incremento il vettore può cambiare semplicemente in direzione, restando il suo modulo inalterato. Ed allora avremo:

Ovvero può variare il modulo, rimanendo la direzione inalterata. E questo può essere espresso sinteticamente da:

Regole di differenziazione[modifica]

Operatori differenziali[modifica]

Vogliamo ricordare brevemente i principali operatori differenziali che si usano nei vari campi della Meccanica.
Si definisce l'operatore differenziale il vettore:

mentre l'operatore differenziale "Laplaciano" definito da:

è uno scalare.


Se e una funzione scalare dei punti dello spazio si chiama gradiente di o il vettore:

Se è una funzione vettoriale con componenti si chiama divergenza di la quantità scalare:

Sempre nel caso che sia una funzione vettoriale di componenti si chiama rotore di il vettore definito da:

N.B. Notare la differenza tra operatori vettoriali (aventi le componenti moltiplicate dai versori) e gli operatori scalari (privi di un versore associato)