Definizione di vettore[modifica]
Un vettore è una grandezza definita dalle seguenti entità:
Consideriamo la figura 1: diremo che il modulo è rappresentato dalla distanza AB, la direzione è individuata dalla direzione della retta passante per A, B ed il verso è quello che va da A verso B.
Rappresentazione cartesiana[modifica]
Scelta a piacere una terna cartesiana ortogonale (O, x, y, z) chiameremo componenti del vettore:

lungo x, y, z le seguenti quantità:

Il modulo di questo vettore è dato dalla seguente quantità:
![{\displaystyle |{\vec {v}}|={\overline {AB}}={\sqrt[{2}]{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601ef23255b6a06c83ad4389d74298e822c32d8)
L'orientamento del vettore, cioè direzione e verso, rimane completamente individuato dai coseni direttori:
![{\displaystyle \alpha ={v_{x} \over {\sqrt[{2}]{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/188d67b46a5207eed6d7a574fefee7acd650842b)
![{\displaystyle \beta ={v_{y} \over {\sqrt[{2}]{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eb428acdd92330f9e2c2ce0d1241449d712d67a)
![{\displaystyle \gamma ={v_{z} \over {\sqrt[{2}]{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2195632a43aad5393f4dd358119e9ee0596eb40)
Vettori unitari[modifica]
Chiamasi vettore unitario o versore, il vettore avente modulo
, e poiché:

si vede che le componenti del vettore unitario sono i coseni direttori stessi.
Definiamo come i tre vettori unitari fondamentali, i tre vettori unitari che hanno l'orientamento dei tre assi cartesiani
e li individuiamo rispettivamente in
Operazioni sui vettori[modifica]
Dati
vettori e scelto ad arbitrio il punto
costruiamo la poligonale (in generale, sghemba),
con la condizione che
sia l'estremo del vettore
applicato in
,
l'estremo del vettore
applicato in
, allora chiameremo risultato o somma dei
il vettore
Nella rappresentazione cartesiana si ottiene:



Prodotto scalare[modifica]
Si definisce come prodotto scalare fra due vettori
la quantità scalare:

Nella rappresentazione cartesiana
e

e ricordando che i coseni direttori sono:
![{\displaystyle \alpha _{1}={v_{x} \over {\sqrt[{2}]{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}\qquad \alpha _{2}={w_{x} \over {\sqrt[{2}]{w_{x}^{2}+w_{y}^{2}+wz^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ba482d1179473bd7da8db610cdc35db661b270f)
![{\displaystyle \beta _{1}={v_{y} \over {\sqrt[{2}]{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}\qquad \beta _{2}={w_{y} \over {\sqrt[{2}]{w_{x}^{2}+w_{y}^{2}+w_{z}^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7ac747114306658d8fb5c217b2aa7a1f782947b)
![{\displaystyle \gamma _{1}={v_{z} \over {\sqrt[{2}]{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}\qquad \gamma _{2}={w_{z} \over {\sqrt[{2}]{w_{x}^{2}+w_{y}^{2}+w_{z}^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6436840a4b8cdd1895dcd35b0dfc0b24133dabd)
per cui:

Il polinomio
è, il coseno dell'angolo fra le direzioni di
e
; da questo è quindi facile vedere che se
il prodotto scalare
in quanto
Prodotto vettoriale[modifica]
Per quanto abbiamo detto precedentemente se
sono le componenti di
, e
sono i vettori fondamentali unitari, possiamo scrivere:

Premesso ciò, si definisce prodotto vettoriale o vettore, fra due vettori
e
, il vettore definito nella seguente maniera:

Il versore
determina la direzione del prodotto vettoriale, normale al piano formato da
e
.
Prodotto misto e prodotto vettoriale doppio[modifica]
Si definisce prodotto misto dati tre vettori

che è una quantità scalare. Il prodotto misto si annulla se
è parallelo a
o a

Valgono le seguenti proprietà commutatrici:

Si definisce il prodotto vettoriale doppio il vettore:

Infatti
e
sono numeri che moltiplicati rispettivamente per i vettori
e
danno dei vettori.
In coordinate cartesiane si può scrivere sinteticamente:

Prodotto vettore dei vettori unitari fondamentali[modifica]
Si ottengono le seguenti formule:

Vettori applicati[modifica]
Si chiama vettore applicato, un qualsiasi vettore
applicato in un determinato punto
dello spazio.
- -Chiamasi coppia l'insieme di due vettori aventi modulo uguale e rette di applicazione parallele a versi opposti. La distanza
fra le due rette è chiamata braccio della coppia.
b)
- Momento di un vettore rispetto ad un punto.
- Il momento di un vettore applicato rispetto ad un punto è il vettore definito nella seguente maniera. Se
è il punto rispetto al quale si vuole calcolare il momento, dicesi momento di
rispetto a
il vettore che ha per modulo:

- e direzione normale al piano
e
.
Il verso è definito quello di un osservatore che giacente lungo la normale al piano di
e
vede
andare verso
con senso indicato dalla regola della mano destra.
Differenziazione ed integrazione di vettori[modifica]
Differenziazione[modifica]
Una funzione vettoriale di una o più variabili scalari è generalmente chiamata campo vettoriale.
La derivata di una funzione vettoriale
di una sola variabile
è definita da:
.
Ora durante l'incremento
il vettore
può cambiare semplicemente in direzione, restando il suo modulo inalterato. Ed allora avremo:

Ovvero può variare il modulo, rimanendo la direzione inalterata. E questo può essere espresso sinteticamente da:

Regole di differenziazione[modifica]



Operatori differenziali[modifica]
Vogliamo ricordare brevemente i principali operatori differenziali che si usano nei vari campi della Meccanica.
Si definisce l'operatore differenziale
il vettore:

mentre l'operatore differenziale "Laplaciano" definito da:

è uno scalare.
Se
e una funzione scalare dei punti dello spazio
si chiama gradiente di
o
il vettore:

Se
è una funzione vettoriale con componenti
si chiama divergenza di
la quantità scalare:

Sempre nel caso che
sia una funzione vettoriale di componenti
si chiama rotore di
il vettore definito da:


N.B. Notare la differenza tra operatori vettoriali (aventi le componenti moltiplicate dai versori) e gli operatori scalari (privi di un versore associato)